Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

103

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2319 20 21 22 23 > Следующая >>>

4. Непрерывная двумерная случайная величина (X, Y) распределена равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2a и 2b , параллельными координатным осям.

Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности

распределения составляющих; в)				показать, что СВ			X и Y − независимы и
rx y = 0 .					(X, Y)
5. Двумерная случайная				величина	(X, Y)			задана плотностью
		1			x 2	+	y 2	= 1
	f (x, y) =		, внутри эллипса
распределения	f (x, y) =	6π	, внутри эллипса		9		4
			вне	этого эллипса.
	0,		вне	этого эллипса.

а) Найти плотности распределения составляющих и показать, что X и Y − зависимые.

б) Найти корреляционный момент μ x y .

Указание. Воспользоваться свойством определенного интеграла: если подынтегральная функция нечетна и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, то определенный интеграл равен нулю.

6. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной

случайной	величины	(X, Y):	f (x, y) =	1	× sin(x + y)		в	квадрате

0 £ x £ π ; 0 £ y £ π ;			2
		вне квадрата f (x, y) = 0 .				Найти	математические
2	2
ожидания и дисперсии составляющих.
7. Плотность распределения			двумерной			непрерывной		случайной
	k(x + y), при (x, y) D
величины f (x, y) =		при (x, y) D,
	0,
где D −
	треугольная	область плоскости, координаты точек которых
положительны, но лежат ниже прямой x + y = 1. Определить:

а) нормировочный множитель k ;

б) математические ожидания и дисперсии составляющих X и Y ; в) коэффициент корреляции между X и Y ;

г) вероятность события X + Y < 1 ;

	2
д) плотность распределения СВ X .
8. Плотность распределения двумерной непрерывной случайной
величины f (x, y) = k × x × y,	при (x, y)Î D,
0,	при (x, y)Ï D,

где D = {(x , y ): 0 < x < a I 0 < y < b}. Определить:

а) нормировочный множитель k ;

б) математические ожидания и дисперсии X и Y ;

в) коэффициент корреляции между X и Y ;

	a
г) вероятность P X <		;

	2

д) функцию распределения случайной величины Y .

9. Независимые случайные величины x1 и x 2 имеют математические ожидания m1 и m2 и дисперсии σ12 , σ22 соответственно. Рассмотрим новые случайные величины Y1 = X1 + X 2 и Y2 = X1 − X . Найти коэффициент корреляции между случайными величинами Y1 и Y2 .

3.2.13. Решить задачи на условные законы распределения составляющих двумерной случайной величины

1. Задана дискретная двумерная случайная величина (X, Y)

	Y	3	6
X		3	6
X
10		0,25	0,10
14		0,15	0,05
18		0,32	0,13

Найти: а) условный закон распределения Y при условии,					что X = 6 ;
б)построить линию регрессии X на Y .				величина (X, Y)
2.	Непрерывная	двумерная	случайная		равномерно
распределена внутри		прямоугольного		треугольника с	вершинами
O(0;0); A(0;8); B(8;0). Найти: а)двумерную плотность вероятности системы;
б) плотности и условные плотности распределения составляющих.
3.	Плотность совместного		распределения непрерывной		двумерной

случайной величины (X, Y) f (x, y)= C e−x 2 −2xy−4 y2 .

Найти: а) постоянный множитель C ; б) плотность распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих.

Двумерная

случайная

величина

(X, Y) задана

плотностью

при

+ y

< r

распределения f (x , y ) =

πr 2

при

+ y

> r

Найти условные законы распределения вероятностей составляющих.

Плотность

совместного

распределения

непрерывной двумерной

случайной величины f (x, y)= cos x × cos y в квадрате 0 ≤ x ≤

;

0 ≤ y ≤

; вне

квадрата f (x, y)= 0 . Доказать, что X и Y независимые случайные величины. Найти линию регрессии Y на X .

6. Плотность распределения двумерной непрерывной случайной

	при (x, y) D,
3(x + y)	при (x, y) D,
величины f (x, y) =	при (x, y) D,

0

где D = {(x, y) : x ³ 0; y ³ 0; x + y £ 1}.

Найти функцию регрессии X на Y .

3.2.14.Решить задачи на предельные теоремы теории вероятностей

1.Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что любая случайная величина X отклонится от своего математического ожидания:

а)менее чем на три среднеквадратических отклонения; б)не менее, чем на 3sx ,

в)не менее, чем на 2 sx .

2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

				X	0,1	0,4		0,6
				p	0,2	0,3		0,5
Используя неравенство					Чебышева,		оценить вероятность		того,	что
X − M(X)	<		.
X − M(X)	<	0,4	.								1 .
3. Вероятность появления события							в каждом испытании		равна		1 .
											4

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний. Сравнить с результатом вычисления по интегральной теореме Лапласа.

4. Дано P(X - M(X) < e)³ 0,9 и D(X) = 0,009 . Используя неравенство Чебышева, найти ε .

5.В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время T лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время T окажется: а)меньше трех; б)не меньше трех.

6.Сколько раз необходимо подбросить монету, чтобы вероятность

отклонения относительной частоты выпадения «герба» от 1 на величину, не

превосходящую 0.1, была бы не менее 0.9?

7. Последовательность независимых случайных величин X1 , X 2 ,K, X n ,K задана законом распределения

X n

−

1 −

Применимо ли к заданной последовательности теоремы Чебышева?

8. Ответить на вопрос задачи 14.7 для последовательности случайных величин

X n	− a		a
P		n	n +1

		2n +1	2n +1

9.В условиях примера 14.5 определить: какую сумму a нужно иметь в кассе для того, чтобы вероятность того, что ее не хватит для выплаты всем стоящим, стала равна 0,005?

10.Железнодорожный состав состоит из n вагонов; вес каждого вагона в

тоннах – случайная величина X с математическим ожиданием m x и средним квадратическим отклонением σx . Число вагонов n - большое (несколько десятков). Локомотив может везти вес не больше q (тонн); если вес состава больше q (тонн), приходится прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что одного локомотива не хватит для перевозки состава.

ОТВЕТЫ

3.2.1.

1.1. 13800; 1.2. 2300; 1.3. 3628800; 1.4. 126126; 1.5. а)32; б) 62; 1.6. 28; 1.7. 9864000; 1.8. 253; 1.9. 56; 1.10. 256; 1.11. 725760; 1.12. 1024; 1.13. 124; 1.14. 9000000; 1.15. 105840; 1.16. 840; 1.17. 362160; 1.18. 60466176; 1.19. 28800; 1.20. Да; 1.21 1200; 1.22 1225; 1.23 170.

3.2.2.

2.1. a(a + b); 2.2. 5/36; 2.3. 0,1; 2.4. а)0,384; б)0,096; в)0,008; 2.5. 2/9; 4/9; 2.6. 1/90; 1/81; 2.7. 1/120; 2.8. 1/120;1/30; 2.9. 165 ; 2.10. 5/21; 2.11. 0,579;

0,9973; 2.12. 1 4 ; 2.13. 1 3

; 2.14.

;

155

;

775

; 2.15. 11/90.

376992

3.2.3.

62832

3.1. 2/3; 3.2. 1/3; 3.3. а)0,63; 3.4. 0,2; 3.5. 0,134;

3.6. 2/3;

2/3;

3.7. ½;

3.8. (1 + 3 × ln 2) 8 » 0,38 ;

3.9. 0,16;

3.10. 0,81; 3.11.

0,6 ×(1- ln 0,6);

3.12.

;

(a − 2r)2

a − r

102 − 52

3.13.

; 3.14.

≈ 0,2 ; 3.15.

; 3.16.

; 3.17.

= 0,75 ;

3.18.

a 2

102

; 3.19. 0,05; 3.20. 102.

3.2.4.

a(a −1)

a + b

(a + b)(a + b −1)

4.1. 0,2;

4.2

;

1 6×1

4.3. 0,58; 0,42; 4.4 0,188; 0,452;

5 5

0,336; 0,788; 4.5. 0,432; 4.6. 0,7; 4.7.

;

; С3 ×

;

4.8. n

³ 5 4.9.

72 9

13 раз; 4.10.15/16; 2/3; 4.11. 0,96; 4.12. 3/5;

3/5;

3/10; 4.14. Общества A ,

PA = 0,544 >1 2

4.15. 0,46;

4.16 не менее

230

пар; 4.17.1/60; 0,1;

4.18.

4p - 3

3 3

4.20. ≈ 0,759 4.21.1 − (1

− p)

;

4.19.

3!×

12p

4.22.5/1764; 4.23. 1/30; 4.24. 0,75; 4.25. 0,75; 4.26. 0,75<0,8.

3.2.5.

n + 2

2(m + 1)

5.1. 0,86; 5.2. (21/80); 5.3.

; 5.4.

; 5.5. 0,85; 5.6. 57/85;

2(n + 1)

(n +1)(n + 2)

28/85; 5.7. 18/59;21/59;20/59; 5.8. 7/18; 5.9. 0,5; 5.11. 3/7; 5.12.114/197; 1/591;

5.13. P( С-1)= 6/11, Р(С-11)= 5/11; 5.14. 0,4; 5.15. a + b ; 5.16. 0,458; 5.17. 4/29; 5.18. 10/19; 5.19. 1/1050; 5.20. 0,7; 5.21.5/6;6/11.

3.2.6.

;

6.1. 2

2 ; 6.2. 0,31; 0,48; 0,52; 0,62; 6.3. 0,19; 6.4. ≈ 0,279 ;

6.5.

2 1

2 l − x 3

3/16;

6.6.

0,26;0;

6.7.

= С4

; 6.8.

;

1 8

6.9. С8

×С6 ×С

4 ×С

; 6.10. По локальной теореме Лапласа: а) »0,0415;

б)

»0,2523; по формуле Бернулли: а) »0,04395;

б) »0,2051; 6.11. »0,04565;

»0,8882; »0,1056; »0,8944; 6.12. »0,272 и »0,2816; 6.13. »0,95945;

6.14.

»0,6826; 6.15. 100; 6.16. 177; 6.17. »0,0000572; 6.18. 0,18; 0,09; 6.19. 3;

6.20.

»0,1813; 6.21. »0,00119; 6.22. »0,00044;

6.23.»0,00333;

6.24.»0,00054;

6.25.

»0,11409; 6.26. »0,2385.

3.2.7.

x ≤ 0

F(x) = 5 6 ,

7.1.

5/6

1/6

0 < x ≤ 1,

x > 1

M(X) =

; D(X) = 0,1389.

7.2.

M(X) = 2; D(X) =

;

7.3.

1,8;

0,94;

0,97;

7.4.

= 2, x 2

= 3 ;

M(X + Y) = 3,5

M(2X − 3Y) = 10

M(X − Y + 5) = 1,7

7.6.

;

D(X + Y) = 1,33

D(2X - 3Y) = 9,52

D(X - Y + 5) = 1,33

7.7.	7	n;	35			n		; 7.8. 50 × С54 × 0,94 × 0,1 » 16 ;
7.7.	2	n;	12			n		; 7.8. 50 × С54 × 0,94 × 0,1 » 16 ;
	2		12
7.9.
7.9.				X							1											2													3
				P				0,8 × 0,6												1 - 0,8 × 0,6											(1 - 0,8 × 0,6)2
7.10.

																																				M(X)=3,5;σ(X)=												35		;
							X				1					2						3					4				5				6	M(X)=3,5;σ(X)=												35		;
							X				1					2						3					4				5				6									3
							P				1					1						1					1				1				1									3
											1					1						1					1				1				1

7.11.											6					6						6					6				6				6
											6					6						6					6				6				6
																																											M(X)=1,5;D(X)=1,08;

									X					0																	1							2
									X					0																	1							2
7.12.									P					0,4 × 0,1										0,6 × 0,1 + 0,4 × 0,9														0,6 × 0,9
7.12.
					X						1				2								3								4							5
						P			0,9						0,09								0,009								0,0009						0,0001					M(X)=1,1111;D(X)=0,123;
																								0, x ≤ 2,																		M(X)=1,1111;D(X)=0,123;
																								0, x ≤ 2,																		1																1

		C = 0,5;D = −1; f (x) = 0,5, 2																													< x ≤ 4; 0;0,5; 0,5; 3;
		C = 0,5;D = −1; f (x) = 0,5, 2																													< x ≤ 4; 0;0,5; 0,5; 3;
7.13.																								0, x > 4																	3 ;			7.14.							0,25;					7.15.			2π ;

	0;		4,5;								P(− 3 < X < 1) = 0,5 +																							1	arcsin			1	;	P(1 < X < 3) = 0,5 −														1	arcsin		1
7.16.	0;		4,5;								P(− 3 < X < 1) = 0,5 +																								arcsin				;	P(1 < X < 3) = 0,5 −															arcsin			;
																																		π				3																π		3
											1											1											f (x) =					1						1
7.17.				а)α =										;						β =								;									π(1 + x2 )					;				;							математическое
7.17.				а)α =							2			;						β =						π		;									π(1 + x2 )					;			2	;							математическое
ожидание не существует, а дисперсия бесконечна;
																			x ≤ 0,
			0,																x ≤ 0,
																																2 −
											x																								2
									2		x																								2
7.18.	F(x) = sin												,				0 < x ≤ π,																			≈ 0,146				;	7.19. 2,5.
	F(x) = sin												,				0 < x ≤ π,																			≈ 0,146
											2																				4
											2								x > π												4
				1,															x > π

	3.2.8.
	8.3.																																											M(X) = 2,222
	8.3.																Х					0									1				2			3			4
																	Х					0									1				2			3			4
																																													D(X) = 0,619
																		Р			0,008								0,159						0,476			0,317			0,04				D(X) = 0,619

	8.4. 0,27; 0,865; 0,325.
	3.2.9.
	9.1.			a + b						;		(b − a)2										;			b −					a	; 9.2. M(T) = 1;											D(T) =					1		;			1	; 9.3. 2/3;
			2											12

																						2					3																	3							4

9.4. 0; 9.5.

(a + b)× (c + d)

;

9.6. M(X) =

; D(X) =

; s(X) =

;

f (x) =

x < 0;

9.7.

−8x , x ³ 0;

F(x) =

−8x ,

x ³ 0 ; 9.8. 0,233; 9.9. 0,37;

1 - e

e − 1

P(X < M(X)) = P 0 < X <

;

9.10. 0,292; 0,466; 0,19; 9.11.

e ;

9.12. 0,6826;							9.13.							(0,383; » 0,4) ;																	9.14. (- 5; 25); 9.15. 8,02%; 9.16. 0,0823;
0,0027;		9.17.					0,00133												кг2;						9.18. P(								X			< 15)× P(								Y		< 4) = 2F(2,5)× 2F(1) = 0,6741;
0,0027;		9.17.					0,00133												кг2;						9.18. P(								X			< 15)× P(								Y		< 4) = 2F(2,5)× 2F(1) = 0,6741;
P =1− (1− 0,6741)2 = 0,8938;																					9.19. m=3,														s=2; 9.20. m= -2,																	s=5; 9.21. »0,3863;

9.22. s ×			p	;			9.23.											D(X) =										2		×106 ;								»0,05;									»0,17;						9.24.				M(X) = 3;
9.22. s ×		2		;			9.23.											D(X) =												×106 ;								»0,05;									»0,17;						9.24.				M(X) = 3;
		2																							9
							2				3																			2		3
P(X<M(X))=1 −												; P(X>M(X))=																					;
P(X<M(X))=1 −												; P(X>M(X))=																					;
							3																							3
	3.2.10.
																																													2
															y							2				1																			2				,	0 < y < 1,


	10.1.				10.2																2													g(y) = p 1- y2
	10.1.				10.2										p																			g(y) = p 1- y2
															p					0,3						0,7															0,									y Ï(0,1)
																																									0,									y Ï(0,1)

10.3. g(y) =																	1

				3p (y -											2										4
													2)					+ (y - 2)
													2)			3		+ (y - 2)									3
																																																							)
						(b + a )(b											2	+ a			2	)													b		7	− a				7										2	+ a	2		2
10.4. M(Y) =						(b + a )(b												+ a				)		; D(Y) =											b			− a					−			(b + a)(b							+ a
10.4. M(Y) =																								; D(Y) =											7(b − a )								−
	pX				p(b									4									)						pX						7(b − a )																4
	pX				p(b									+ ab + a									)						pX									p									2			2							2
				2									2									2											2							2		(b - a)						×(4b			+ 7ab + 4a )
10.5.	M						=																		; D									=
10.5.	M	4					=								12										; D						4			=				720
		4													12																4							720
10.6.
	a) g(y)							1										1									б) g(y) = e												y f (ey )								(− ∞ < y < ∞);
10.7.					=					× f					ln								;																						,
10.7.					=					× f					ln								;																						,
								y
								y										y
				1
в) g(y) =				1					× f (3 y ), 0 < y < ¥; г) g(y) = 2y × f (y2 ), 0 < y < ¥


					y2
		33			y2

3.2.11.

		1		1		9		3		f (x, y) =	¶2 F		(−2x −3y )
11.2.	P X <		; Y <		=		; 11.3.		; 11.4.			= 6 e		;
		2		3		16		128			¶x ¶y

£ y £

;

11.5. C = 0,5; F(x, y) = 0,5[sin x + sin y - sin(x + y)] 0 £ x £

; 0

−x−y

2 × 2

x ³ 0; y

³ 0

11.6. 2 π ; 11.7. f (x, y)

= ln

;

P =

;

x < 0 или y < 0

× 2

(x, y) R,

f (x, y) =

(β − a)(δ − γ)

при

(x, y) R,

, при y (γ, δ),

11.8.

= δ − γ

;

(α, β)

при y (γ, δ),

f1 =

, при x

β − a

при x (α, β)

X, Y − независимы, так как f (x, y) = f1 (x)× f 2 (y)

+ y

£ r

f (x, y) =

, при x

pr 2

при x

+ y

> r

2 r 2 - x 2

2 r 2 - y2

f1 (x) =

, при

< r,

f 2 (y) =

, при

< r,

p r 2

11.9.

p r 2

³ r,

при

P (x 2 + y2 )< r12 }=

r12

r 2

3.2.12.

12.1.

0,4

0,6

0,4

0,35

0,25

rxy

= 0,1031

12.2.

	Y		2		3			4				5					6				7				8					9			10				11		12
	X		2		3			4				5					6				7				8					9			10				11		12
	X
	0		1/36		0			1/36				0					1/36				0				1/36					0			1/36				0		1/36
	1		0	2/36				0				2/36					0				2/36				0					2/36			0			2/36			0
	2		0		0			2/36				0					2/36				0				2/36					0			2/36				0		0
	3		0		0			0				2/36					0				2/36				0					2/36			0				0		0
	4		0		0			0				0					2/36				0				2/36					0			0				0		0
	5		0		0			0				0					0				2/36				0					0			0				0		0
	M(X) = 7; M(Y) =									35	; D(X) =							36		; D(Y) =						665			; r			= 0 .
	M(X) = 7; M(Y) =										; D(X) =									; D(Y) =									; r			= 0 .
							18										6								324					x y
							18										6								324
12.3.
	Y		2		3			4				5					6				7				8					9			10				11		12
	X		2		3			4				5					6				7				8					9			10				11		12
	X
	- 5		0		0			0				0					0				1/36				0					0			0				0		0
	- 4		0		0			0				0					1/36				0				1/36					0			0				0		0
	- 3		0		0			0				1/36					0				1/36				0					1/36			0				0		0
	- 2		0		0			1/36				0					1/36				0				1/36					0			1/36				0		0
	-1		0	1/36				0				1/36					0				1/36				0					1/36			0			1/36			0
	0		1/36		0			1/36				0					1/36				0				1/36					0			1/36				0		1/36
	1		0	1/36				0				1/36					0				1/36				0					1/36			0			1/36			0
	2		0		0			1/36				0					1/36				0				1/36					0			1/36				0		0
	3		0		0			0				1/36					0				1/36				0					1/36			0				0		0
	4		0		0			0				0					1/36				0				1/36					0			0				0		0
	5		0		0			0				0					0				1/36				0					0			0				0		0
	M(X) = 7; M(Y) = 0; D(X) = D(Y) =																						35	; r				= 0 .
	M(X) = 7; M(Y) = 0; D(X) = D(Y) =																							; r				= 0 .
																					6						x y
																					6
12.4.
						1			; − a ≤ x ≤ a; − b ≤ y ≤ b,
									; − a ≤ x ≤ a; − b ≤ y ≤ b,
	а) f (x, y) = 4ab
					0,							x			> a		или				y	> b
					0,							x			> a		или				y	> b


					1		, при							x		≤ a,														1	,		при		y			≤ b,
					1																									1
	б) f1 (x) =																								(y) =
					2a																в) f 2									2b
					2a																в) f 2									2b
				0,				при					x			> a.												0,					при	y				> b.
				0,				при					x			> a.												0,					при	y				> b.


		f1 (x ) =		2								, f 2 (y) =							1								внутри эллипса и
12.5.				2			9 − x 2												1			4 − y 2
12.5.				9π			9 − x 2												2π			4 − y 2
				9π															2π
		f1 (x) = 0,					f 2 (y) = 0 вне его;
		f (x, y) ¹ f1 (x )f 2 (y) X, Y - зависимые СВ; mx,y = 0
12.6. M(X) = M(Y) = π ; D(X) = D(Y) = π2																									+ 8π − 32 .
							4																		16

12.7.

k = 3; M(X) = M(Y) =

; D(X)= D(Y)=

;

320

при x < 0

- x 2

= -

;

; f

(x) =

3 ×

при 0 £ x £ 1,

x y

при x > 1

12.8. k =

; M(X) =

; M(Y) =

; D(X) =

a 2

; D(Y) =

;

y 2

при 0 ≤ y ≤ b

rx y = 0;

;

f 2 (y) =

b 2

при y < 0 или y > b

3.2.13.

13.3 C =

; f1 (x) =

e −0,75 x 2

; f 2 (y) =

e−3y2

;

4π

ϕ(x y) =

e−(x + y)2

; ψ(y x ) =

e −0,25 (x +4 y)2 .

при

r 2 − y 2 ,

при

r 2

− x 2 ,

13.4. ϕ(x y)= 2

r 2 − y 2

ψ(y x) = 2 r 2 − x 2

− x

при

r 2 − y 2 .

при

(1 − y)(y + 2)

13.6. M(X Y = y) =

(0 ≤ y ≤ 1)

3(y + 1)

3.2.14.

;

³ 0,909 ; 14.3. ³ 0,94; 0,999936 ; 14.4. 0,3

14.5.

14.1. 9 9 4 ; 14.2.

³ 0,36;

£ 0,64 ;

14.6.

250 и

более

раз;

14.7.

Применима;

14.9. 3691;

P{Q > q}

- n × m x

14.10.

= 0,5 - F

n sx

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2319 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.05.2019378.37 Кб3УМК по дисциплине Римское право.doc
#
17.03.2015683.52 Кб13УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб103УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб49УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf