Lab_rab_3
.pdf4)графики переходных процессов,
5)результаты обработки экспериментальных характеристик, выводы.
6.Контрольные вопросы.
1.Назовите способы описания динамических свойств АСР.
2.Запишите передаточную функцию звена, описываемую дифференциальным уравнением
4 |
d 2 y |
+ y = 5x + 2 |
dx |
||
dt |
2 |
dt |
|||
|
|
||||
3.Для предыдущего примера запишите операторное уравнение при ненулевых начальных условиях у(0) = 1, у’(0) = 2.
4.Назовите основные временные характеристики АСР. Какова взаимосвязь между ними?
5.Объясните смысл термина «кривая разгона».
6.Назовите основные группы типовых звеньев АСР и характерные особенности передаточных функций. Приведите примеры.
7.Каким образом по переходной функции инерционного звена определить его параметры?
8.В чем отличие апериодического звена второго порядка от колебательного звена?
9.Каким образом по переходной функции колебательного звена определить его параметры?
10.Каким образом по переходной кривой консервативного звена определить его параметры?
11.В чем особенность дифференцирующих звеньев?
12.Назовите типовые дифференцирующие звенья.
13.Каким образом по переходной функции реального дифференцирующего звена определить его параметры?
14.По каким признакам определяются дифференцирующие звенья?
15.Каким образом по виду переходной кривой определить параметры типовых интегрирующих звеньев?
16.Как влияют начальные условия на установившееся значение выходного сигнала?
Литература
1.Теория автоматического управления. Под ред. Нетушила А.В. ч. 1, М.: Высшая школа, 1968. -424 с.
2.Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирова-
ния. -М.: Наука, 1975. -768 с.
Приложение 1 Формулы обратного преобразования Лапласа
Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) ви-
да
|
m |
|
|
n |
|
B(p) |
|
F(p) = |
∑b i p i |
|
/ |
∑a j p j |
= |
||
A(p) |
|||||||
i=0 |
|
j=0 |
|
||||
необходимо найти корни р1, р2 … рn полинома знаменателя А(р) = 0. Вид оригинала существенно зависит от корней полинома А(р). Рассмотрим несколько случаев:
1. Корни pi, i = 1, n |
- действительные и различные, тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
B(p i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) = ∑ |
|
|
e pi t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
A' (p i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Если из n корней А(р) = 0 имеются 2r комплексно-сопряженных р1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
p1 , р2, p 2 |
|
… pr, p r |
, а остальные корни действительные и различные, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
B(p |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
B(p |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (t) = ∑2 Re |
|
|
|
|
|
e pi t |
+ |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
e pk t |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
A' (p i ) |
|
|
|
|
|
k =2r +1 |
A' (p k ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
где Re[ ] – действительная часть. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. Один из корней нулевой р1 = 0, остальные – различные. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Тогда А(р) = А1(р). р и оригинал имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(0) |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
B(p i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) = |
|
1(t) + ∑ |
|
|
|
|
|
e pi t . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A' (p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
i =2 |
p |
i |
|
i |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Уравнение А(р) = 0 имеет корень кратности q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
р1 = р2 = … = рq, остальные корни различные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Разложение F(p) на сумму простых дробей имеет вид: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1q |
|
|
n |
||||
|
|
F(p) = |
|
|
B(p) |
|
|
|
= |
|
|
|
M11 |
|
|
+ |
|
|
M12 |
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
+ |
∑ |
M i |
, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p − p1 ) q −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(p − p1 ) q A1 (p) |
|
(p − p1 ) q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p − p1 ) |
i=q +1p − p i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
где M1k = |
1 |
|
|
|
|
|
d k −1 |
|
|
|
B(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
B(p i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
M i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
dp k |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A' (p i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(k − 1)! p→p1 |
|
A1 (p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
k −1 |
|
p t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Известно, что |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
e 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p − p1 ) |
k |
|
|
(k −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Отсюда cледует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
M11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||
|
|
f (t) = |
|
t q −1e p1t |
+ |
|
|
|
|
|
t q −2 e p1t |
|
+ ... + M1q e p1t |
+ ∑M i e p1t . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(q −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
(q − 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=q+1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приложение 2 Пример определения аналитического выражения переходного процесса
Требуется найти аналитическое выражение переходного процесса, описываемого дифференциальным уравнением
|
|
d 2 y |
+ 2 |
dy |
+ 5y = 5x |
|
при у(0) = 1, |
у’(0) = 2. |
|
|
|||||||||
|
|
dt 2 |
dt |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Операторное уравнение звена: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Y(p) = W(p) X(p) + Fн(p) = |
|
B(p) |
+ |
Pн (p) |
= |
|
5 |
+ |
p + 4 |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pA(p) |
|
A(p) p(p 2 + 2p + 5) |
|
p 2 + 2p + 5 |
||||||
где W(p) = |
B(p) |
= |
|
5 |
|
|
, X(p) = |
1 |
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
p 2 + 2p + 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
pA(p) |
|
|
|
p |
|
|
|
|
||||||||||
Pн(p) = a2 y0 p + a1 y0 + a2 y’0 = p + 2 +2 = p + 4.
Отсюда изображение сигнала:
Y(p) = |
5 |
+ |
|
p + 4 |
= H(p) + Fн (p) |
|
|
|
|
||||
p(p 2 + 2p + 5) |
p 2 |
+ 2p + 5 |
||||
|
|
|
Оригинал: y(t) = h(t) + fн(t).
Корни характеристического уравнения А(р) = р2 + 2р + 5 = 0 равны
р1,2 = -1 ± j 2.
Определение h(t):
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
= |
M1 |
|
+ |
|
M 2 |
|
+ |
|
M 3 |
|
|
|
. |
p1t |
|
|||||
H(p) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(t) = 2 Re[M1 e |
|
] + M3. |
||||||||
|
|
|
2 + 2p + 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
p(p |
|
p − p1 |
|
p − p 2 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
B(p1 ) |
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(0) |
|
|
|
||||||||
M1 = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
(2 |
− j) |
, |
|
M3 = |
|
= 1 , |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
p1A' (p1 ) (−1 + j2) j4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(0) |
|
|
|
|||||||||||||
ep1 t = e(-1 + j2) t = - |
1 |
(2 cos 2t + sin 2t) e-t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
h(t) = 1 - |
|
1 |
(2 cos 2t + sin 2t) e-t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Аналогично найдено выражение для fн(t): |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
fн(t) = |
1 |
(2 cos 2t + 3 sin 2t) e-t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Окончательно находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
у(t) = 1 - |
1 |
(2 cos 2t + sin 2t) e-t + |
1 |
(2 cos 2t + 3 sin 2t) e-t. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Содержание |
|
|
|
С. |
1. |
Цель работы |
3 |
2. |
Описание установки |
3 |
3. |
Порядок выполнения работы |
3 |
4. |
Теоретическая часть |
3 |
4.1. Способы описания динамических свойств АСР |
3 |
|
4.1.1 Дифференциальные уравнения |
5 |
|
4.1.2 Передаточная функция |
6 |
|
4.1.3 Временные характеристики |
8 |
|
4.2. Типовые звенья АСР |
9 |
|
5. |
Требования к оформлению отчета |
10 |
6. |
Контрольные вопросы |
11 |
Литература |
11 |
|
Приложение 1. Формулы обратного преобразования Лапласа |
12 |
|
Приложение 2. Пример определения аналитического выражения |
|
|
|
переходного процесса |
13 |
Приложение 3. Динамические характеристики типовых звеньев |
14 |
|