- •Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
- •Понятие числового ряда и его сходимости
- •Исследование сходимости ряда по определению
- •Исследование сходимости ряда по определению
- •Связь сходимости последовательности и ряда
- •Необходимое и достаточное условие сходимости ряда (Критерий Коши)
- •Следствия критерия Коши
- •Расходимость гармонического ряда
- •Следствия критерия Коши
- •Следствия критерия Коши
- •Арифметические свойства сходящихся рядов
- •Знакоположительные ряды
- •Критерий сходимости знакоположительного ряда
- •Ряд, образованный геометрической прогрессией
- •Признаки сравнения
- •Замечания к признакам сравнения
- •Признак сравнения в предельной форме
- •Признак Даламбера
- •Признак Даламбера
- •Признак Даламбера
- •Радикальный признак Коши
- •Радикальный признак Коши
- •Признак Коши
- •Признаки Раабе и Гаусса
- •Применение признаков Раабе и Гаусса
- •Интегральный признак Коши-Маклорена
- •Интегральный признак Коши-Маклорена
- •Интегральный признак Коши-Маклорена
- •Пример: Применение признака сравнения в предельной форме.
- •Вопросы к экзамену
- •Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Математический анализ 3 семестр
Лекция 8
Знакопостоянные числовые ряды.
30 октября 2014года Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Иванова Татьяна Михайловна
Понятие числового ряда и его сходимости
Пусть имеется |
числовая последовательность u ,u |
2 |
,...,u |
n |
,... u |
n |
|
. |
Символ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 u2 |
... un ... un |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
будем называть числовым рядом, а элементы последовательности |
|
– его членами. |
|||||||||||||||||||||
Общий член |
ряда |
un есть функция натурального |
|
аргумента. Рассмотрим теперь |
|||||||||||||||||||
последовательность частичных сумм ряда (1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S u , |
S |
2 |
u u |
2 |
,..., |
S |
n |
u u |
2 |
... u |
n |
,... |
|
S |
n |
|
. |
||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
Определение. Если существует конечный или нет предел последовательности частичных
|
|
|
|
lim S |
|
S, то он называется суммой ряда (1), при этом пишут |
|
u |
|
S. |
||||
сумм |
|
|
|
n |
|
n |
||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
Если |
|
S |
|
, то ряд (1) называют сходящимся, если же |
|
S |
|
или не существует, то |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
ряд называют расходящимся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследование сходимости ряда по определению
Пример:
Доказать по определению, что ряд сходится, и вычислить его сумму:
1
n 1 4n2 1.
Решение:
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
Sn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
4k |
|
1 |
|
|
2k 1 2k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
k 1 |
|
|
k 1 |
|
|
|
2 k 1 |
2k 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
... |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
3 |
3 |
5 |
5 |
7 |
2n 1 |
|
2n 1 |
2 |
|
2n 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lim Sn lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2n 1 |
2 |
|
|
|
|
4n |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследование сходимости ряда по определению
Пример:
Доказать по определению, что ряд 1 n расходится.
n 1
Решение:
Можно указать две подпоследовательности последовательности частичных сумм, имеющие
различные пределы: |
S2m 1 1 1, |
Следовательно, последовательность частичных сумм |
|
|
|
||
|
S2m 0 |
0. |
|
предела не имеет, и ряд расходится.
Связь сходимости последовательности и ряда
Понятия сходимости ряда и последовательности тесно связаны. Так сходимость ряда
|
|
un есть сходимость |
последовательности его частичных сумм Sn n 1 . Верно и |
n 1 |
|
обратное. Для любой последовательности an n 1 можно построить такой ряд, для которого члены этой последовательности являются частичными суммами:
u1 a1,
u2 a2 a1,
...
un an an 1,
...
|
|
Тогда частичными суммами ряда un будут элементы последовательности an n 1 : |
|
n 1 |
|
S1 a1, |
S2 a2 ,..., Sn an ,... |
Необходимое и достаточное условие сходимости ряда (Критерий Коши)
Теорема (Критерий Коши).
|
|
m |
|
|
0 N N : m n N |
uk |
. |
Ряд un сходится |
k n 1 |
|
n 1
(это условие называется условием Коши для ряда)
Доказательство: следует из связи сходимости ряда со сходимостью последовательности
его частичных сумм. По Критерию Коши для последовательностей |
Sn n 1 сходится |
|||||||||
0 N N : m n N |
|
Sm Sn |
|
|
|
|
||||
|
|
|||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
||||
0 N N : m n N |
|
uk |
|
. |
||||||
|
|
k n 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Следствия критерия Коши
|
|
|
|
|
|
Следствие 1 (Необходимое условие сходимости ряда). |
Если ряд un сходится, то |
||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
lim un 0. |
|
|
(2) |
|
|
n |
|
|
|
|
Доказательство: если ряд сходится, то в частности |
из условия Коши при m n 1 |
||||
получим, что |
|
|
|
|
|
|
N N : n N |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
uk |
|
т.е. |
|
|
|
|
k n 1 |
|
|
0 N N : n N un 1 ,
что равносильно тому, что lim un 0 .
n
Таким образом, невыполнение условия (2) гарантирует расходимость ряда un .
n 1
Расходимость гармонического ряда
Однако выполнения условия lim un 0 не достаточно для того, чтобы обеспечить |
|||
|
|
|
n |
|
|
|
Пример: гармонический ряд. |
сходимость ряда un . |
|
||
n 1 |
|
|
|
|
1 |
|
. Для него выполнено необходимое условие сходимости: |
Рассмотрим ряд |
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
1 |
0. |
Однако, согласно критерию Коши, этот ряд расходится. В самом деле, |
lim |
|
||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
отрицание условия Коши имеет вид: 0 : N |
m n N : |
uk |
. |
Возьмем |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k n 1 |
|
|
|
|
1 , |
рассмотрим любое |
N, и пусть n N 1, |
m 2N 2. |
|
Очевидно, m n N. |
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 1 |
|
|||||||
|
|
1 |
|
... |
1 |
|
1 |
... |
1 |
|
. |
||||||||||
|
|
m |
|
2 N 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k n 1 k |
|
k N 2 k |
|
N 2 |
|
2N 2 |
|
2N 2 |
|
2N 2 |
|
|
|
2N 2 2 |
|
||||
Таким образом, 1 : N |
m 2N 2 n N 1 N : |
|
m |
|
. Ряд расходится. |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k n 1 k |
|
|
|
|
|
|
|
Следствия критерия Коши
|
def |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Ряд rn uk называется n-ым остатком ряда uk . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
k n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
остатков rn n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следствие 2. Последовательность |
сходящегося |
ряда uk является |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
бесконечно малой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: если ряд uk |
сходится, то из условия Коши, взятого со значением |
, |
|||||||||||||||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
при переходе m получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 N N : n N |
uk |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
||
|
|
0 N N |
|
|
|
: n N |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
lim r |
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствия критерия Коши
Следствие 3. Изменение конечного числа членов ряда uk не меняет его сходимости.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: Пусть ряд uk получен из uk изменением конечного числа членов. |
||||||||||||||||
|
|
|
k 1 |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
найдется такой |
номер |
N1, |
начиная |
|
с |
которого |
члены |
обоих рядов |
будут |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неразличимы. Если |
uk сходится, для него будет выполнено |
условие Коши, в котором |
||||||||||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N N ( ) .Тогда |
и |
для |
ряда |
uk оно |
точно |
будет |
|
выполнено, |
если |
|||||||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N max N1, N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
: m |
|
uk |
|
|
uk |
|
ряд uk |
|
||||||
0 N max N1, N |
n N |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k n 1 |
|
|
k n 1 |
|
|
k 1 |
|
сходится.
Замечание. Аналогично можно показать, что изменение конечного числа членов ряда
uk не меняет его расходимости. Рекомендуется выполнить в качестве упражнения.
k 1