Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Математический анализ 3 семестр
Лекция 7
Основные формулы векторного анализа. Формулы Остроградского и Стокса.
23 октября 2014 года Лектор: Профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Формула Остроградского
Михаил Васильевич Остроградский (24.09.1801 – 01.01.1862)
Формула Остроградского
|
a |
|
|
Определение дивергенции: |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a |
P,Q, R |
|
div a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
y |
z |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Формула Остроградского |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
adS (div a)dxdydz |
|
|
|
Граница области ориентирована внешней нормалью!
Формула Остроградского
Принцип объединения
|
|
|
|
|
1 2 |
2 |
(div a)dxdydz (div a)dxdydz |
||
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(div a)dxdydz |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
adS adS |
adS |
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
adS |
(div a)dxdydz |
|
Формула Остроградского
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правильная область в направлении оси Oz |
|
|
|
a {0,0, R} |
|
|
|||||||||||||
|
n2 S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
z z2 (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
adS |
Rdxdy |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S3 |
|
|
|
|
|
Rdxdy Rdxdy Rdxdy |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
|
S2 |
|
S3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(x, y, z1 |
(x, y))dxdy 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
z z1(x, y) |
|
D |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
R(x, y, z2 (x, y))dxdy |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
R(x, y, z2 (x, y)) R(x, y, z1(x, y)) dxdy |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формула Остроградского
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правильная область в направлении оси Oz |
|
|
|
|
|
a {0,0, R} |
|
|||||
n2 S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z2 |
(x, y) |
|
|
|
|
R |
|
|||||
|
div a |
z |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S3
S1
n1
D
z z1(x, y)
(div a)dxdydz
R
z dxdydz
dxdy |
z2 |
( x, y ) |
R dz |
|
|
||
D |
z ( x, y ) |
z |
|
|
1 |
|
|
R(x, y, z2 (x, y) R(x, y, z1(x, y) dxdy
D
Формула Остроградского
Итак, для правильной в направлении оси Oz области
|
|
|
a {0,0, R} |
adS (div a)dxdydz |
|
|
|
|
Аналогично, для правильной в направлении оси Ox области
|
|
|
|
a {P,0,0} |
adS (div a)dxdydz |
||
|
|
|
|
Точно также, для правильной в направлении оси Oy области
|
|
|
|
a {0,Q,0} |
adS (div a)dxdydz |
||
|
|
|
|
Следовательно, если область правильная в направлении каждой из
координатных осей, то |
|
|
|
adS (div a)dxdydz |
|
Формула Остроградского
Пример 1. Вычислить
I x2dydz y2dzdx z2dxdy,
S
где S – внешняя сторона границы куба
0 x a, 0 y a, 0 z a.
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
}, |
|
||
a |
|
||||||||
|
I adS, |
a |
{x |
, y |
, z |
div a 2x 2 y 2z |
|||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
a |
y |
I 2 (x y z)dxdydz 2 xdxdydz |
|||||||
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
2 ydxdydz 2 zdxdydz 6 xdxdydz |
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
a2 |
|
a4 |
I 3a |
4 |
|
xdxdydz xdx dy dz |
a a |
||||||||
2 |
2 |
|
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Формула Остроградского
Пример 2. Вычислить
I x3dydz y3dzdx z3dxdy,
S
где S – внешняя сторона сферы
|
z |
|
|
|
|
x2 y2 z2 a2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
, y |
3 |
3 |
|
|
|
|
3x |
2 |
3y |
2 |
|
3z |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
a y |
|
I adS, |
a |
{x |
|
, z |
}, div a |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
S |
I 3 (x |
|
y |
|
z |
)dxdydz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x r cos cos |
|
|
2 |
2 |
|
a |
|
|
r2dr 3 (2 ) 2 a |
5 |
12 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
I 3 d cos d r2 |
|
a5 |
|||||||||||||||||||||||
|
y r cos sin |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z r sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Остроградского
Объем тела
a r {x, y, z} div a 3
|
|
rdS 3 dxdydz 3V( ) |
|
|
|
1 1
V( ) 3 rdS 3 rndS