Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Математический анализ 3 семестр
Лекция 5
Поверхностные интегралы.
09 октября 2014 года Лектор: Профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Поверхностный интеграл 1 рода
v
Ω
u
Разбиение поверхности:
x x(u, v) |
z |
|
|
y y(u, v) |
S |
|
|
z z(u,v) |
|
|
|
(u, v) |
|
y
x
T { 1, 2 ,..., n} U {S1, S2 ,..., Sn}
Характеристика разбиения:
(U ) Max Sup ( x, y)
1 i n x, y Si
Поверхностный интеграл 1 рода
Пусть на поверхности S задана числовая функция f(x,y,z). На каждом участке поверхноcти Si выбираем по точке ξi и составляем
интегральную сумму
n
S( f ,U ) f (ξi ) | Si |
i 1
(| Si | площадь участка поверхности Si )
f (x, y, z)dS lim S( f ,U )
S
(U ) 0
Поверхностный интеграл 1 рода
(1) |
dS | S | |
(| S | площадь поверхности S) |
|
|
|
S |
|
|
|
(2) |
( f (x, y, z) g(x, y, z))dS f (x, y, z)dS g(x, y, z)dS |
|||
|
S |
|
S |
S |
(3) |
f g |
f ( x, y, z)dS g(x, y, z)dS |
|
|
|
|
S |
S |
|
(4) |
| f (x, y, z)dS | | f (x, y, z) | dS |
|
||
|
S |
S |
|
|
(5) |
Если U {S1, S2 ,..., Sn} |
разбиение S, то |
|
|
|
|
n |
|
|
|
f (x, y, z)dS f (x, y, z)dS |
|
||
|
S |
i 1 |
S |
|
|
|
|
i |
|
Поверхностный интеграл 1 рода
Формулу для вычисления поверхностного интеграла 1 рода приведем без доказательства. Здесь будем использовать следующие
обозначения |
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
||
r |
|
|
, |
|
, |
|
|
, |
r |
|
|
, |
|
, |
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
u |
|
|
u u |
|
|
|
v |
|
|
v |
|
v |
|
|
|
||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|||||||
E | r |2 , |
G | r |2 |
, |
F (r , r ). |
||
|
u |
|
v |
|
u v |
Элемент площади поверхности |
|
|
|||
dS | |
|
|
| dudv |
|
EG F 2 dudv. |
r |
r |
|
|||
|
u |
v |
|
|
|
f (x, y, z)dS f (x(u, v), y(u,v), z(u, v))dS
S |
|
Поверхностный интеграл 1 рода
N ru rv
Поверхностный интеграл 1 рода
Случай поверхности, заданной как график явной функции z=φ(x,y)
z (x, y)
S
|
|
u |
|
1,0, |
/ x |
|
, |
x u |
|
r |
|
|
|||
|
|
|
0,1, |
/ y |
|
, |
|
|
|
||||||
|
v |
||||||
y v |
|
r |
|
|
|||
|
(u, v) |
E 1 ( / x)2 , |
|||||
z |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(u, v) |
G 1 |
|
, |
||||
|
|
( / y) |
|
||||
F ( / x)( / y),
EG F 2 1 ( / x)2 ( / y)2 .
f (x, y, z)dS f (x, y, (x, y)) |
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dxdy |
|||
S |
|
|
|
x |
|
y |
|
Поверхностный интеграл 1 рода
Пример. Вычислить |
|
zdS, |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
где S – поверхность геликоида x u cos v |
|||
|
|
|
|
|
|
|
y usin v |
|
|
|
|
|
|
|
z v |
|
|
|
|
|
|
|
(0 u a,0 v 2 ) |
ru |
{cos v,sin v,0}, |
|
ru rv {sin v, cos v,u} |
|
{ usin v,u cos v,1} |
||
rv |
|
||
|
|
|
| dudv 1 u2 dudv |
|
dS | r |
r |
|
|
u |
v |
|
Поверхностный интеграл 1 рода
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
zdS v |
1 u2 dudv 1 u2 du vdv |
||||||||||||||||
S |
|
0 u a |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
0 v 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
1 u |
2 |
|
1 |
ln(u |
1 u |
2 |
) |
|
|
a |
v2 |
|
2 |
|||
|
|
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|||
|
|
2 a 1 a2 ln a 1 a2 |
|
|
|
||||||||||||
Ответ: zdS 2 a |
1 a2 |
ln a |
1 a2 |
S
Поверхностный интеграл 1 рода
Пример. Вычислить
(x y z)dS,
S
где S - поверхность
x2 y2 z2 a2 , z 0 (a 0).
|
z |
S |
z (x, y) a2 x2 y2 |
|
|
|
y |
a |
a |
{(x, y) : x2 y2 a2} |
x