Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Математический анализ 3 семестр
Лекция 3
Тройной интеграл .
25 сентября 2014 года Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Гришин Сергей Анатольевич
Примеры измеримых областей в пространстве
1. Параллелепипед |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пb1 ,b2 ,b3 |
|
x, y, z |
|
R3 : a x b , a |
2 |
y b , a z b |
|
|||||||
|
a1 ,a2 ,a3 |
|
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 3 |
3 |
|||||
|
|
a1 |
,a2 ,a3 |
|
2 |
3 |
|
3 |
|
|
||||
|
|
Пb1 |
,b2 |
,b3 |
b |
a |
b a |
|
b |
a |
|
|
||
Цилиндры
2. Цилиндры. TDa,b D a;b x, y, z : x, y D, z a;b Мера цилиндра: TDa,b b a D
Цилиндры
Пусть разбиение D на прямоугольники: П .
Тогда (П |
|
|
|
) ступенчатое тело, вписанное в |
D |
,b . |
||||||||
|
a;b |
T a |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d ( ) 0 |
|
|
|
|
Его объем равен (b a) |
|
П |
D |
|
||||||||||
|
|
|
(b a) |
|
|
|
||||||||
Стандартная область по оси Z
3. Стандартная область по оси Z:
VDf ,g x, y, z : x, y D, g(x, y) z f (x, y)
Мера области: (VDf ,g ) f (x, y g(x, y))dxdy
D
Стандартная область по оси Z
Пусть разбиение области D на прямоугольники: П |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим mg inf |
|
g(x, y), m f |
inf |
f (x, y) |
||||||||
|
|
|
|
( x, y) П |
|
|
|
( x, y) П |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
M g |
sup |
|
g(x, y), M f |
sup |
f(x, y). |
||||
|
|
|
|
( x, y) П |
|
|
|
( x, y) П |
|
|||
Тогда |
П M g ;m f |
вписанное ступенчатое тело, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
П mg ; M f |
|
описанное тело, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m f M g ) П ( f (x , y ) g(x , y )) П (M f gg ) П
Область с измеримыми сечениями
4. Тело Gc с измеримыми сечениями.
Множество точек Dp x, y : x, y, p G измеримы для каждого p a,b и ее мера Dp S( p) непрерывная функция переменной p.
Множества G p x, y, z : x, y Dp , z p назовем сечением тела Gc
плоскостями z p. Gc G p
p a,b
b
Мера (Gc ) S( p)dp
a
Область с измеримыми сечениями
|
разбиение отрезка a;b точками x1, x2 ,...xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
D |
|
, G G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
D |
|
, D |
|
|
|
p |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
i |
|
p x ;x |
p |
i |
p x ;x |
|
|
|
|
i |
|
|
p x ;x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i |
|
|
|
i i 1 |
|
i |
i |
i |
i 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
i i 1 |
|
|
i |
i |
i 1 |
|
i |
|
i |
|||||
|
i |
i 1 |
|
|
i |
|
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
D |
|
(G ) x |
|
x |
|
D |
|
||||||
D |
x ; x |
G D x ; x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Dxi |
0(1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Di |
Di Dxi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
i |
0(1)(b a) |
|
|
c |
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
S(x ) x |
|
G |
|
|
|
|
|
S(x ) x 0(1)(b a) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример вычисления меры
Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
|
|
z x y, z xy, x y 1, x 0, y 0. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Рассмотрим сечение тела плоскостями y p |
0;1 . |
|||||||||||||||||
Область Dp на плоскости XOZ ограничена кривыми: |
|
|||||||||||||||||
|
|
z x p, z px, x 1 p, x 0. |
|
|
|
|||||||||||||
Площадь трапеции |
|
D |
p |
|
p 1 p(1 p) |
1 p |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 p2 |
1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
2 1 p p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда (G) 1 |
1 1 p p2 |
p3 dp |
7 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
Тройной интеграл
Пусть G измеримая область в R3 , G П ее разбиение на |
||
|
|
|
|
|
|
параллелепипеды, P П произвольная точка,
Sf (G ) f (P ) (П ) интегральная сумма функции f (x, y, z),
соответствующая разбиению G .
Опр. Тройным интегралом функции f (x, y, z) называют число, равное
f (x, y, z)dxdydz d lim( ) 0 S f (G )
G
Если предел существует, то функция называется интегрируемой на измеримой области G.