- •Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
- •Знакочередующийся ряд.Теорема Лейбниц
- •Теорема Лейбница
- •Оценка остатка ряда лейбницевского типа
- •Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •Примеры
- •Монотонность в признаке Лейбница
- •Монотонность в знакочередующихся рядах
- •Исследование ряда на абсолютную сходимость
- •Преобразование Абеля
- •Признаки Дирихле и Абеля
- •Доказательство признака Дирихле
- •Доказательство признака Абеля
- •Пример применения признака Дирихле
- •Пример применения признака Абеля
- •Зависимость суммы условно сходящегося ряда от порядка суммирования
- •Перестановка элементов условно сходящегося ряда
- •Группировка членов ряда
- •Пример применения группировки членов ряда
- •Пример применения группировки членов ряда
- •Вопросы к экзамену
- •Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Математический анализ 3 семестр
Лекция 9
Знакопеременные числовые ряды.
6 ноября 2014 года Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Иванова Татьяна Михайловна
Знакочередующийся ряд.Теорема Лейбниц
|
|
Пусть числовой ряд un |
сколь угодно далеко содержит как положительные, так и |
n 1 |
|
отрицательные слагаемые, |
т.е. N m n N : um un 0. Такой ряд называется |
знакопеременным. Важным частным случаем знакопеременного ряда является
знакочередующийся ряд:
|
|
|
(1) |
v1 v2 v3 v4 ... 1 n 1 vn ... 1 n 1 vn , |
где все vn 0. |
n 1
Теорема Лейбница (Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда).
Если последовательность vn монотонно стремится к нулю, то знакочередующийся ряд
(1) сходится.
Имеет место оценка остатка ряда лейбницевского типа: |
|
rn |
|
|
|
S Sn |
|
vn 1. |
|
|
|
|
Теорема Лейбница
Доказательство.
1. |
S |
2k |
|
1 |
v |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
... |
|
v |
2k 1 |
v |
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
v |
|
|
|
|
v |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
v v |
|
v |
|
v |
|
|
... v |
|
|
|
v |
|
|
v |
|
v |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2k 1 |
|
|
2k |
|
|
|
2k 1 |
|
2k 2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
S2k |
v2k 1 |
v2k 2 |
S2k |
|
S |
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim S2k |
S, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
k 1 монот. неубыв., |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. S2k |
v1 |
v2 |
v3 |
v4 |
v5 ... v2k |
2 v2k 1 v2k v1 |
|
|
k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
S2k |
|
|
ограничена сверху, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. S2k 1 |
S2k |
v2k 1 |
lim S2k 1 |
lim |
S2k |
v2k 1 |
lim S |
2k S. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S ряд |
|
|
|
|
|
|
сходится. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Таким образом, lim S |
|
|
|
|
|
|
1 n 1 v |
|
|
|
|
|
n 1
Оценка остатка ряда лейбницевского типа
S |
2k 1 |
v |
|
|
v |
v |
|
... |
|
v |
v |
|
, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
2k |
2k 1 |
|
|
|
S2k 1 |
монот.невозр. |
||||||
S2 k 1 1 v1 |
v2 v3 ... v2k v2k 1 v2k 2 |
v2k 3 |
|
|
||||||||||||||
S2k 1 |
|
k 0 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такимобразом, |
S2k 1 |
|
|
S ,а S2k |
|
S |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
монот.невозр |
|
|
монот.неубыв |
|
|
|
|
|
||||
S2k S S2k 1 0 S S2k |
S2k 1 S2k v2k 1 |
|
|
S Sn |
|
vn 1. |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
S |
|
S S |
|
0 S |
|
S S |
|
S |
|
v |
|
|
|||||
|
2k 2 |
2k 1 |
2k 1 |
2k 1 |
2k 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2k 2 |
|
|
|
|
|
Примеры:
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится при 0, т.к. |
|
|
0, |
||
|
|
|
|
||||||
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
монот.убыв |
|
1 |
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
сходится, т.к. |
|
0. |
|
||||
|
ln n |
|
|
||||||
n 1 |
|
|
ln n монот.убыв |
|
|
|
Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Ряд un называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его членов
n 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
un |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема. Если сходится ряд |
|
un |
|
, то ряд |
un также сходится. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
||||
Доказательство. Ряд |
|
un |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
N : m n N |
|
|
uk |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
сходится |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k n 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для этих же номеров m и n имеет место |
|
|
|
|
uk |
|
|
|
uk |
|
для |
un |
|
выполнено |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k n 1 |
|
k n 1 |
n 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
условие Коши ряд un |
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если сам un сходится, |
а ряд |
|
|
|
un |
|
|
расходится, то un называется условно |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
сходящимся.
Примеры
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
сходится абсолютно, т.к. |
|
|
сходится |
2 1 , |
|
n |
|
n |
2 |
|||||
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
||
|
сходится условно, т.к. сам он лейбницевского типа, |
||||||||
|
|
||||||||
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
1
аряд n расходится.n 1
Монотонность в признаке Лейбница
Покажем, что от требования монотонности vn нельзя отказаться.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
n |
|
1 |
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Исследуем ряд |
|
|
n 1 |
|
|
. Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 n |
|
|
|
|
1 n |
|
1 n |
|
n |
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
1 2n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
эквив. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
расходится. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
1 |
n |
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
n |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
При этом |
|
сходится, ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
расходится. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Монотонность в знакочередующихся рядах
Однако нельзя сказать, что монотонность vn всегда необходима:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
n |
|
1 |
n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Исследуем ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 n 1 |
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 n |
|
n n |
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
эквив. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
сходится. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
2 |
1 |
n |
n |
n |
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
При этом |
|
|
сходится, ряд |
|
|
|
|
сходится. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследование ряда на абсолютную сходимость
При исследовании рядов на абсолютную сходимость можно применять все
признаки, установленные для рядов с положительными членами.
Напомним, что при доказательстве этих признаков установлено, что значение q 1 в них свидетельствует о нарушении необходимого условия сходимости ряда. Таким образом, при q 1 нет не только абсолютной, но даже условной сходимости, поскольку общий член ряда не стремится к нулю.
|
|
1 |
n |
|
3n 1 |
n |
||
|
|
|
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
Пример: Исследовать на сходимость ряд |
n |
2 |
1 |
|
n 3 |
. |
||
n 1 |
|
|
|
Имеем q lim n |
|
1 |
|
|
3n 1 |
n |
3 1. Согласно радик. призн. Коши, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
2 |
1 |
n 3 |
|||||
n |
|
|
|
|
модуль общего члена |
|
1 |
|
|
3n 1 |
n |
не стремится к 0 и сам он |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
2 |
1 |
n 3 |
|||||
|
|
|
|
|
не стремится к 0 ряд расх.
Преобразование Абеля
|
|
|
|
Bn |
|
|
|
сумм ряда |
an , а |
|
|||
Пусть An n 1 последовательность частичных |
n 1 |
|||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
последовательность частичных сумм ряда an . |
Возьмем m n 1, тогда |
|
|
|||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
m |
Bn 1 Bn an 2 |
Bn 2 Bn 1 ... am Bm Bm 1 |
||||
akbk an 1bn 1 ... ambm an 1 |
||||||
k n 1 |
|
|
|
|
|
|
перегруппируем an 1Bn an 1 an 2 Bn 1 ... am 1 am Bm 1 |
am Bm |
|
|
|
||
m 1 |
|
|
|
|
|
|
an 1Bn am Bm ak ak 1 Bk . |
|
|
|
|
|
|
k n 1 |
|
|
|
|
|
|
m |
|
m 1 |
|
|
|
|
Преобразование Абеля: ak bk |
an 1Bn am Bm ak ak 1 Bk . |
|
|
|
||
k n 1 |
|
k n 1 |
|
|
|
|