Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Лекции / VTA_lektsia_8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

326.27 Кб

Скачать

☆

Лекция 8. Поверхностные интегралы.

П.1 Поверхностный интеграл первого рода.

ОПР. ОкрестностьюU (S ) поверхности S называют множество точек в пространстве,

являющихся внутренними хотя бы для одного шара радиуса с центром в точке поверхности S .Рассматривается скалярная функция F(x, y, z) непрерывная в окрестности

U (S ) кусочно-гладкой поверхности S , заданной параметрическими уравнениями:
	x x(u, v),
		y y(u, v), (u, v) D
		y y(u, v), (u, v) D
		uv
		z z(u, v)
		z z(u, v)

Пусть D	- ступенчатая область, соответствующая разбиению		области Duv на

прямоугольники П , , пересекающиеся только в граничных точках. Через S обозначим образ прямоугольника П при отображении r r(u,v) . По предположению S имеет площадь, которую обозначим dS . Пусть M , набор произвольных точек

M S .

ОПР. Интегральной суммой функции F(x, y, z) по поверхности S , соответствующей разбиению D называют величину

SF (r, ) F (M )dS .

ОПР. Поверхностным интегралом первого рода функции F(x, y, z)

называют величину (если она существует)
	d 0
	F (x, y, z)ds lim	SF (r, )	(5)

по поверхности

Теорема 2 (необходимое условие существования интеграла) Если интеграл по поверхности существует, то функция F(x, y, z)

поверхности S .

СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРАЛА первого рода.

1. линейность:		( 1F1	2 F2 )ds 1		F1ds 2		F2 ds
1. линейность:		( 1F1	2 F2 )ds 1		F1ds 2		F2 ds
	S			S		S

ограниченная на

2. аддитивность по множеству: если S S1 S2 пересекающихся только по граничным точкам,

и S1 , S	2	- два куска имеющих площадь и
то	Fds Fds Fds .
S1 S2		S1	S2

3. оценка интеграла: если m m

min F (P) P S

S(D, r) S

и M max F (P) , то справедлива оценка P S

Fds M S(D, r) .

4. теорема функции F

о среднем для поверхностного интеграла: в предположении непрерывности

~	~

(x, y, z) существует точка M S , для которой Fds F (M ) S(D, r) .

S
ТЕОРЕМА 2. Если функция F(x, y, z) непрерывная в окрестности	U	(S )

кусочно-гладкой поверхности S , заданной параметрическими уравнениями

x x(u,v),

y y(u,v), u,v D

, то поверхностный интеграл первого рода существует и

z z(u,v)

вычисляется по формуле:

F (x, y, z)ds S

	u	v
	F (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) r (u,v) r (u,v) dudv
D

(6)

ДОК. Поверхностный интеграл в (6) с учетом аддитивности и теоремы о среднем можно представить в виде:

F (x, y, z)ds

Fds

F (M )dS

F (M

)

dudv

(u ,v

) u v

где точка M dS

имеет координаты

F (M ) ru

(u ,v ) rv

r (u

, v ), u , u

, v

В силу непрерывности F

и гладкости поверхности S имеем:

F (M

) r (u

, v ) r (u

, v

) u v

F (M

) r (u

, v

) r (u

, v

) u v

o(1)

В правой части равенства находится интегральная сумма для интеграла (6) и

существование ее предела обеспечивается условиями теоремы.

Если поверхность S

задается явно (2), то поверхностный интеграл вычисляется по

формуле:

F (x, y, z)ds

F (x, y, f (x, y))

1 f x (x, y) 2

f y (x, y) 2 dxdy

(6)*

Пример 2. Вычислить интеграл

ds , где S

- граница тела

z 1 .

РЕШЕНИЕ. Коническая поверхность
S1 : z				x2 y 2 , x, y D x2 y2 1 ,
x		y		ds 2 x		y		dxdy =	2
x	2	y	2	ds 2 x	2	y	2	dxdy =	2 d
	2		2		2		2
S				D					0
1

	1 z
			x
1
	r	3	dr =
		3

0

z
			2
		y
	2	.
2		.
2

Поверхность круга

S2 : z 1, (x, y) D ,

1 zx

z y 1,

dxdy

x2 y 2 ds = (1

Тогда

2) .

П.3 Поверхностные интегралы второго рода.

Рассмотрим непрерывную функцию R(x, y, z)

заданную в окрестности гладкой,

двусторонней, ориентированной внешней нормалью поверхности S с уравнением

z f (x, y) . Разбиение D П области Dxy

порождает разбиение поверхности на части

S , проекция которых на плоскость xoy совпадает с П . Части поверхности S

ориентированы так, что направление обхода их границы согласовано с внешней нормалью поверхности, т.е. обход по границе S происходит в положительном направлении (против

часовой стрелки). Площадь П при этом также ориентирована: она берется со знаком ,

если обход П	, соответствующий обходу S		, происходит по отношению нормали

плоскости xoy в положительном направлении. В противном случае, площадь приобретает знак минус (правило ориентации S ).

С учетом правила ориентации строится интегральная сумма S (R, S ) R(M ) s(П ) .

Ее предел при

, если он существует, обозначается через Rdxdy и называется

поверхностным интегралом в направлении оси oz , соответствующим выбранной

ориентации поверхности S		. Аналогично строятся поверхностные интегралы в

направлении других осей

Q(x, y, z)dxdz,	P(x, y, z)dydz
S	S

и их сумма

Pdydz Qdxdz

Rdxdy

. Последний называют поверхностным интегралом второго рода

без указания направления проекции.

Вычисление интеграла		P(x, y, z)dxdy
Вычисление интеграла		P(x, y, z)dxdy
	S

для поверхности

(x, y), (x, y) Dxy

ориентированной внешней нормалью, происходит сведением его к двойному интегралу по формуле

R(x, y, z)dxdy R(x, y, z(x, y))dxdy (7)

S Dxy

и R(x, y, z)dxdy R(x, y, z(x, y))dxdy , если поверхность ориентирована внутренней

S Dxy

нормалью.

Пример 3 Вычислить интеграл x2 y2 zdxdy , где

ориентированная внешней нормалью. Решение.

нижняя часть сферы

x	2	y	2	z	2

R	2

По формуле (7) и z R2 x2 y2 , получим

x			y			R		x			y						2					sin					R			R			r		dr		R		R		r		dr
																	2										R										R
		2		2			2			2			2	dxdy cos							2				2	d r			5			2		2			r	5		2		2
		2		2			2			2			2								2				2				5			2		2				5		2		2
D																		0									0									4	0
D																		0									0										0
xy
																			R; 0 tdt rdr
Замена переменной t																R2 r2			R; 0 tdt rdr														приведет к интегралу
			R			(R		t		)		dt				R		7		2R			7	R		7		2 R			7
		t			2	(R	2	t	2	)	2	dt
					2		2		2		2
	4		0												4		7				5				3				105

Поверхностный интеграл R(x, y, z)dxdy второго рода можно свести к поверхностному

интегралу первого рода по формуле:

	R(x, y, z)dxdy		R(x, y, z) cos ds , где cos			1		(8)



S		S			1	z 2	z 2
						x	y
(для поверхности ориентированной внешней нормалью, cos 0 )
Действительно, для разбиения D				П	и соответствующего разбиения поверхности

S S

имеем

	x		y
	1 z	2	z	2	dxdy
	1 z		z		dxdy
П

(П ) cos

, где

cos

направляющий косинус

нормали к поверхности в некоторой промежуточной точке

для интеграла)

Интегральная сумма для интеграла второго рода:

(R, S

)

R(M

) (П )

R(M

) cos S

(R cos

, S

)

S (теорема о среднем

o(1)

представляется в виде интегральной суммы для интеграла первого рода для функции

R cos плюс (по непрерывности) бесконечно малая при d 0	. Предельный переход
завершает доказательство формулы (8).

Для интеграла

Pdyddz Qdxdz Rdxdy

формула (8) примет вид:

	Pdydz Qdxdz Rdxdy (Pcos Q cos R cos )ds
S	S

(8)*

Для поверхности, заданной параметрическим уравнением (1), поверхностный интеграл сводится к двумерному интегралу по области Duv :

	Pdydz Qdxdz Rdxdy (P A Q B R C)dudv
S	D
	uv

(7)*

где A, B,C определяются формулами (3), а Вычисление объема стандартной областиVDf

P , g

P(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) и т.д.

через поверхностный интеграл.

Мы хотим установить формулу вычисления объема области

f ,g	(x; y, z) R	3	: (x, y) D, g(x, y) z f (x, y) с использованием интеграла по
VD	(x; y, z) R
поверхности:
			V f ,g	zdxdy ,	(9)
			D

где S S1 S2 S3 поверхность ограничивающая область, ориентированная внешней нормалью.

Объем стандартной областиVDf , g вычисляется через двойной интеграл

VD	( f (x, y) g(x, y))dxdy zdxdy zdxdy . С другой стороны zdxdy 0
f ,g
	D	S	2	S	S	3
			2	1		3
поскольку S3		цилиндрическая поверхность с направляющей D и образующей,

параллельной оси oz , проектируется в D , имеющей меру ноль.

Приведем еще одну формулу, связывающую объем области, ограниченной поверхностью S , ориентированной внешней нормалью, вычисляемый через поверхностный интеграл первого рода:

V1 x cos y cos z cos ds 3 S

ЗАМЕЧАНИЕ. Если поверхность S задается явно уравнением

(10)

(x, y) , x,

y D

выбрана верхняя ее сторона en		1
выбрана верхняя ее сторона en		1 f	f
		2	2
		x	y
Pdydz Qdxdz Rdxdy = R(x, y, f (x, y)) f x
S	D

		;1 , то
f x ; f y

P(x, y, f (x, y)) f y Q(x, y, f (x, y)) dxdy .

Интеграл по нижней стороне поверхности отличается знаком.

ПРИМЕР

Вычислить интеграл

xdydz

ydzdx

zdxdy

, где

- внешняя сторона сферы

x	2	y	2	z	2
	2		2		2

РЕШЕНИЕ.

a	2	.

Внешняя нормаль

	S
e	(M )
n

	1	x,
	a	x,
	a

, функция

F(x,

y, z)

= x.

y.z

скалярное произведение

P(x, y.z)cos Q(x, y, z)cos R(x, y, z)cos

= a . Тогда

xdydz S

ydzdx

zdxdy

= a		ds
= a		ds
	S

= 4 a	3

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1.Поверхность в пространстве, способы ее задания. Площадь поверхности и способ ее вычисления.

2.Поверхность вращения и вычисление ее площади.

3. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства. Формула вычисления интеграла. 4. Ориентированная поверхность. Поверхностный интеграл второго рода.

Формула вычисления интеграла.

Соседние файлы в папке Лекции

#
17.05.2024382.65 Кб0VTA_Lektsia_13.pdf
#
17.05.2024302.83 Кб0VTA_lektsia_14.pdf
#
17.05.2024576.23 Кб0VTA_lektsia_2.pdf
#
17.05.2024450.44 Кб0VTA_lektsia_5.pdf
#
17.05.2024443.26 Кб0VTA_lektsia_7.pdf
#
17.05.2024326.27 Кб0VTA_lektsia_8.pdf
#
17.05.2024505.71 Кб0VTA_lektsia_9.pdf