Лекции / VTA_lektsia_14
.pdfФ-03-Лекция 14. Степенные ряды. П.1 Степенные ряды.
ОПР. Степенным рядом называют функциональный ряд вида:
|
|
n |
x a |
c |
|
|
n |
n 0 |
|
(1),
где cn - его коэффициенты, a – центр ряда.
Ниже будут рассматриваться для простоты степенные ряды при
a
0
вида
|
|
n |
n |
c x |
|
n 0 |
|
(1 )
,
полученный из (1) параллельным переносом на a по оси ox .Структуру области сходимости степенного ряда подчеркивает Теорема 1 (Абеля 1)
|
|
|
|
|
|
, то он сходится и абсолютно для всех x на |
|||||||||
Если степенной ряд (1 ) сходится в точке x x0 |
|||||||||||||||
интервале D x : x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОК. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
x |
n |
|
|
|
x : x x |
M 0 : n с x |
n |
c x |
n |
|
|
M |
|
Mq |
n |
, q 1. |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
n |
|
n |
0 |
|
|
x |
n |
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Таким образом, в каждой точке x x0 ; x0 |
|
ряд из модулей мажорируется рядом |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится абсолютно в каждой |
|||||
сходящейся геометрической прогрессии, поэтому ряд 1 |
точке интервала x0 |
; x0 |
. |
Опр. Радиусом сходимости степенного ряда
1 |
|
|
|
называют число
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R sup |
|
x |
: |
|
c x |
n |
сходится |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
n 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
Если R , то говорят, что степенной ряд сходится на всей числовой оси, если R 0 |
, |
|||||||||
ряд сходится только в одной точке x 0 |
. Если R 0 |
конечное число, то степенной ряд |
то |
|
1 |
|
|
|
сходится в каждой точке интервала |
R; R |
, который называется интервалом его |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
сходимости. Для ряда (1) интервалом сходимости является интервал a R; a R . |
|||||||||||||||||||
По определению числа R , для всех |
x : x R |
|
1 |
|
расходится. На концах |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
степенной ряд |
|||||||||||||
интервала x R ряд (1 ) может как сходится, так и расходится. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Для ряда |
|
радиус сходимости R |
и он сходится при любых x . |
||||||||||||||||
n! |
|||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
Действительно, для функционального ряда с общим членом an |
(x) |
|
применим признак |
||||||||||||||||
n! |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Даламбера для абсолютной сходимости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
an 1 (x) |
|
x |
|
|
|
1 |
1, n n (x) 2 x |
, т.е. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
an (x) |
|
n 1 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд сходится при любых x .
Пример 2. Для ряда
|
|
n x |
|
n |
n |
n 1 |
|
радиус сходимости
R
0
и он сходится только при
x
0
.
Действительно, по радикальному признаку абсолютной сходимости функционального ряда с общим членом an (x) nn xn имеем:
|
an (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
n x 1, n no (x) |
, т.е. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
ряд расходится для всех x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3. Для ряда |
|
|
радиус сходимости R 1 . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n |
|
|
|
|
|||
Действительно, для x0 |
1 |
ряд |
сходится и поэтому R 1. Если R 1 |
, то по |
|||||||||||
n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
R 1 |
|
|
|
|
x |
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
определению sup : 0 |
x |
R 1 , для которого ряд |
0 |
сходится. |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||||
Но это неверно, поскольку общий член ряда не стремится к нулю, т.е. R 1 |
|
||||||||||||||
Поскольку ряд (1) в точке |
x x0 |
сходится, его члены ограничены (даже стремятся к |
нулю): M : cn (x0 |
a) |
n |
M для всех n. Для каждого x |
|
|
|
|
ряд M t n сходится (ряд геометрической прогрессии). |
||
n 0 |
|
|
|
|
|
ряд cn (x a) |
n |
также сходится. |
|
||
n 0 |
|
|
D величина t |
x a |
1 и |
|
x0 a |
|||
|
|
Тогда по признаку сравнения
Формулы вычисления радиуса сходимости. Формула Коши-Адамара:
1 |
lim n |
c |
|
||
R |
n |
n |
|
(2)
Пусть r lim |
n |
cn |
. Для доказательства формулы применим к функциональному ряду с |
||
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
общим членом an (x) cn x |
n |
радикальный признак Коши в форме абсолютной сходимости: |
|||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Для любой точки x0 |
, в которой ряд 1 сходится, то |
Взяв sup по что для x0
|
|
|
|
|
lim n |
a (x ) |
x |
lim |
|
n |
n 0 |
0 |
n |
x0 , получим неравенство
1 |
|
1 |
|
1/ r R |
|
1 rR |
|
r |
r |
2 |
2r |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
n c r x |
1 x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
n |
0 |
0 |
|
r |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R |
1 . Предположим, что R |
1 |
Rr 1 |
и докажем, |
|||||||
r |
|||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||
R |
|
ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
Для этого применим к ряду
|
0 |
n |
n |
||
c |
x |
|
n 1 |
|
|
радикальный признак Коши:
lim n |
a |
(x |
) |
n |
n |
0 |
|
|
|
|
x |
lim n |
c |
0 |
n |
n |
|
|
r x |
r |
1 rR |
|
||
0 |
|
2r |
|
|
1
. Последнее указывает на то, что степенной
ряд сходится в точке x0 : x0
R , что противоречит определению числа R , т.е.
r |
1 |
|
R |
||
|
Аналогично, с помощью признака Даламбера можно получить формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда в виде:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
cn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
(3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
R |
c |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
Пример 4 Найти радиус сходимости ряда |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 x |
( 1) |
x |
2 |
... |
( 1)( 2) ( n 1) |
x |
n |
... (биномиальный ряд) |
||||||
2! |
|
|
|
n! |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
( 1)...( n) |
|
|
|
n! |
|
n |
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 1 |
|
|
|
|
||||
c |
(n 1)! |
|
( 1)...( n 1) |
n 1 |
1 |
R |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства степенных рядов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. равномерная сходимость степенного ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится равномерно на любом отрезке |
||||||||||
Если R радиус сходимости ряда 1 , то ряд |
1 |
||||||||||||||||||
r; r , 0 r R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, степенной ряд 1 сходится и абсолютно для x r и на этом отрезке |
|
|
|||||||||||||||||
мажорируется сходящимся числовым рядом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x r; r c |
x |
n |
c |
|
r |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
2. непрерывность суммы степенного ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сумма степенного ряда |
1 |
|
непрерывна в любой точке интервала сходимости |
|
R; R |
|
. |
||||||||||||
Действительно, x R; R r : 0 r R : x r; r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Поскольку сходимость ряда на отрезке r; r |
равномерная, а члены ряда – непрерывные |
функции, результат следует из теоремы о непрерывности суммы равномерно сходящегося функционального ряда.
3. Если ряд |
|
|
расходится в точке x |
R |
(x R) |
|
|
|
|
|
|
равномерно не сходится на |
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
, то ряд 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
интервале 0; R R; 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если сходимость ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 на промежутке 0; R была равномерной, то, согласно теореме о |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переходе к пределу в равномерно сходящихся рядах, существовал |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
cn x |
n |
cn R |
n |
и ряд cn R |
n |
сходится. Последнее противоречит условию. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x R 0 |
n 0 |
|
|
|
n 0 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Если ряд |
1 |
сходится в точке x R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
равномерно сходится на отрезке |
||||||||||||||||||||||||
|
|
(x R) , то ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; R ( R; 0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; R |
|||||||||||
Действительно, cn x |
n |
cn R |
n |
Ряд cn R |
n |
равномерно сходится на отрезке |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
монотонная и равномерно ограниченная |
|||||||||||||||||||
(числовой ряд). Последовательность bn (x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
на отрезке |
|
|
|
|
1 . Тогда результат следует из признака Абеля для равномерной |
||||||||||||||||||||||||||||||||
0; R : |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. теорема Абеля 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
имеет радиус сходимости R |
и сходится при x R x R , то |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Если ряд 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim cn x |
n |
cn R |
n |
|
|
|
lim cn x |
n |
|
|
( 1) |
n |
cn R |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x R 0 n 0 |
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
x R 0 n 0 |
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из свойства 4. вытекает равномерная сходимость ряда на отрезке |
0; R |
, а возможность |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
предельного перехода устанавливает теорема о переходе к пределу для равномерно |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
сходящихся рядов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6.Интегрирование степенных рядов на интервале сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
cn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|||
Если R радиус сходимости ряда 1 |
и f (x) cn x |
|
, x R; R , то f (t)dt |
|
|
x |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
n 0 |
n |
1 |
|
|
Если
R
и ряд
1 |
|
|
|
сходится при
x R
(x
R)
, то
R |
|
c |
|
|
|
0 |
|
( 1) |
n |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||||||
f (x)dx |
|
n |
R |
f (x)dx |
|
|
n |
R |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
n 0 |
n 1 |
|
R |
n 0 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Действительно, |
x R; R r : 0 r R : r; r |
|
|
на отрезке |
||||||||||||
R; R и сходимость ряда 1 |
||||||||||||||||
r; r |
равномерная. Возможность почленного интегрирования равномерно сходящегося |
|||||||||||||||
ряда устанавливает соответствующая теорема для функциональных рядов. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ряд 1 сходится в точке x R , то результат следует из равномерной сходимости ряда |
||||||||||||||||
на отрезке 0; R |
|
и последующего его интегрирования. |
|
|
7. Дифференцирование степенного ряда.
Если
Если
R R
|
|
|
|
радиус сходимости ряда 1 и f (x) cn x |
n |
, |
|
|
|||
|
n 1 |
|
|
и ряд для производной сходится в точке x |
xR; R
R x
, то f (x) ncn xn 1 .
n 1
R , то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (R) |
|
n |
n 1 |
|
f ( R) |
|
|
n 1 |
n |
|
n 1 |
|
|
|
|
nc R |
|
|
|
( 1) |
|
nc R |
|
|
|
|
|||
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, x R; R r : 0 |
r R : r; r R; R |
|
|
|
|
на отрезке |
||||||||
и сходимость ряда 1 |
||||||||||||||
r; r равномерная. Возможность почленного дифференцирования равномерно |
|
сходящегося ряда устанавливает соответствующая теорема для функциональных рядов.
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ряд |
|
n 1 |
сходится в точке x R |
x R) |
, то результат следует из его |
|
||||||||||||||||||||
|
nc x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равномерной сходимости ряда на отрезке 0; R |
R; 0 и возможности предельного |
|
||||||||||||||||||||||||
перехода при x R 0 |
x R 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Теорема о единственности степенного ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть два степенных ряда 1 cn x |
n |
и |
1 |
|
bn x |
n |
|
с радиусами сходимости 0 R R |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
R ; R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|||
имеют на интервале |
|
|
одинаковую сумму f (x) . Тогда c |
b , n . |
|
|||||||||||||||||||||
Док. На отрезке r; r , 0 r R |
|
оба ряда сходятся равномерно и допускают |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференцирование неограниченное число раз. Их разность (cn bn )xn 0, x r; r . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
Возможность перехода к пределу x 0 |
приводит к равенству c0 |
b0 и после деления на |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
к равномерно сходящемуся ряду (cn bn )x |
n 1 |
0, x r; r , предельный переход |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
к котором приводит к равенству c1 b1 |
. Повторяя подобное действие m раз, придём |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к равномерно сходящемуся ряду (cn bn )x |
n m |
0, x r; r и после предельного |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перехода x 0 - к равенству cm bm , m 0,1, 2,3...
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1.Степенные ряды. Теорема об абсолютной сходимости степенного ряда в интервале сходимости.
2.Теорема Абеля о равномерной сходимости степенного ряда.
3.Формулы Коши-Адамара и Даламбера для радиуса сходимости степенного ряда.
4.Свойства степенных рядов: равномерная сходимость степенного ряда и непрерывность его суммы.
5.Свойства степенных рядов: связь между сходимостью степенного ряда на концах интервала сходимости и равномерной сходимостью ряда на отрезке.
6.Свойства степенных рядов: интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
7.Теорема о единственности для степенного ряда.