Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Лекции / VTA_Lektsia_13

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

382.65 Кб

Скачать

☆

Ф-03-Лекция 13. Функциональные последовательности и ряды. П.1 Функциональные последовательности.

ОПР. Областью определения D функциональной последовательности множество значений x R , для которых определены все функции fn (x) , ОПР. Областью сходимости Dсх функциональной последовательности f

f n (x) называется n 1,2,... n (x) называется

множество значений x Dсх , для которых существует lim				f n (x) f (x) (поточечная
		n
сходимость), т.е.
0, x D	сх	N N (x, ) : n N f	n	(x) f (x)	(1)
	сх		n		(1)
ОПР. Функциональная последовательность f n (x) сходится к функции f (x) на						D Dсх

равномерно, обозначение fn0 N

D (x)

N (

f )

(x) , : n

если

N , x D	f	(x) f (x)
	n

(2)

Отличие сходимости от равномерной сходимости проявляется в том, что в первом случае число N зависит от точки x и может неограниченно расти при изменении x, а во втором - N выбирается единым для всех x D .

Необходимый и достаточный признак равномерной сходимости последовательности

	D
f	(x) f (x) 0	N N ( ) : n N sup f	(x) f (x)
n		n
		x D

(3)

Пример 1. Последовательность f n (x)

сходится к f (x)

на множестве Dсх

R / 0

Действительно,

0, x D N

1: n N n

(x) f (x)

сх

n x

Эта сходимость равномерная на любом множестве вида

; a

, a 0

Действительно,

0 N

: x

D, n N n

f (x)

n x

Пример 2. Последовательность

f n (x) x

на множестве D

1;1 сходится к функции

0, x 1;1

неравномерно, поскольку sup f n (x) f (x)

sup

f (x)

1 для

f (x)

1, x

x D

x ( 1;1)

любого n .
Пример 3. Последовательность	f	n	(x)
Пример 3. Последовательность		n
множестве D 0; , но неравномерно,
sup f n (x) f (x) 1.
x D


	n sin(nx),


		0, x
		0, x

поскольку

x			0;
x			0;


	;
n	;


lim		f	n	(
n			n
n

сходится к

f (x)	x 1/ n	2

(x) 0

1 и

на

Пример 4. Последовательность f	n	(x)	x	2	на отрезке
			2
						0;1 сходится к функции
		1	n x

f (x) 0 не только поточечно, но и равномерно.

(1 n

)

Действительно, f

0 x

В точке x

0;1 функция

(x)

(1 n

)

(x)

достигает максимальное значение на отрезке 0;1 , равное

1 n

, x 0;1 .

Тогда sup

fn (x) f (x)

max

1 n

для n N

x 0;1

КРИТЕРИЙ КОШИ равномерной сходимости.

Последовательность функций f n (x) сходится на множестве D равномерно в том и только в том случае, если

0 N N : n N и m n sup f m (x) f n (x) x D

Свойства равномерно сходящихся последовательностей. 1. О возможности предельного перехода по x .

(4)

Теорема 1. Пусть fn (x) f (x)

и lim fn

(x) an

. Тогда lim an

A, lim

f (x) A

x a

Док. Заметим, что x a

предполагает,

что x D , поэтому a

предельная точка для D .

Пусть xk

, xk

D : lim xk

a - произвольная последовательность (предел по Гейне).

Из условия

lim

(x) a

0 N

: k N

(x ) a

/ 3 (*)

x a

Тогда из (4)

0 N

( ) : m, n N

) f

)

/ 3, k

Переходя в последнем неравенстве к пределу по k , получим

/ 3

. Последнее

означает фундаментальность последовательности

и существование у нее предела

A lim a и неравенства

A a

/ 3, n N

(**)

. Предельный переход в том же

неравенстве по

, приведет к неравенству

f	n	(x	) f (x	) / 3, k
	n	k	k

(***)

Объединяя неравенства (*), (**), (***) для

n, k max(N ; N		; N	)
1	2	3

получим

f (x ) A f (x ) f

(x ) f

(x ) a

Последнее означает, что lim

f (x) A .

x a

2. Об ограниченности предельной функции.

Теорема 2. Если последовательность ограниченных на множестве D функций f n (x)

равномерно сходится на D к функции f (x) , то функция f (x)

ограничена на D.

ДОК. Из ограниченности

fn (x) следует, что существуют константы Cn , для которых

f n (x) Cn x D . Из условия равномерной сходимости f n (x) следует, что

для 1	N : x D, n N	f	n	(x) f (x) 1	.

Тогда f (x) f N (x) f (x) f N (x) CN 1, для всех x D . 3. О непрерывности предельной функции.

Теорема 3. Если последовательность непрерывных на множестве D функций f n (x) равномерно сходится на D к функции f (x) , то функция f (x) также непрерывна на D.

ДОК. Пусть x0 - произвольная точка множества D . Из равномерной сходимости следует,
что 0 N N : n N	и x D f (x) f n (x)	, в частности,	f N (x0 ) f (x0 )
	3			3
Из непрерывности функции	f N (x) в точке x0 следует, что

: x D : x x0

f N (x) f N (x0 )

. Тогда

x D :

x x

f (x) f (x0 ) f (x) f N (x)

f N (x) f N (x0 )

f N

(x0 ) f (x0 )

Упражнение. На каком множестве последовательность функций f n

(x)

сходится

1 x

равномерно?

4. Интегрирование равномерно сходящихся последовательностей Теорема 4. (О интегрировании функциональной последовательности)

Пусть f n (x) последовательность непрерывных на a;b функций равномерно сходится к функции f (x) . Тогда для любого x0 a;b функциональная последовательность

x			x
n (x)	f n (t)dt	равномерно сходится к функции (x)	x	f (t)dt .
n (x)	f n (t)dt	равномерно сходится к функции (x)		f (t)dt .
		x
x			0
x
0

ДОК.

Из равномерной сходимости

0 N N		: n N

x a;b
	x	f n (t)

x
	0

f n	(x) f (x)

		b a

f (t) dt		x x
f (t) dt	b a	x x	0
			0

. Тогда n (x) (x)

для всех x a;b

	x f n (t) f (t) dt
	x0
.

4. возможность дифференцировать равномерно сходящиеся последовательности. Теорема 5. (О дифференцировании последовательности функций)

Пусть f n (x) последовательность непрерывно дифференцируемых на a;b причем последовательность из производных f n (x) равномерно сходится на a,b к функции F(x) и существует x0 a;b , для которого числовая

последовательность f n (x0 ) сходится, причем lim f n (x0 ) A .

Тогда последовательность f n (x) равномерно сходится на a,b к функции

функций,

f (x) A		x	F (t)dt	и поэтому f

	x				(x) F(x) .
		0				x0
						x0
ДОК. Воспользуемся теоремой 4: последовательность						x f n (t)dt f n	(x) f n (x0 )

равномерно сходится к функции xx F (t)dt . Тогда последовательность f n (x) равномерно
								0
сходится к A							x	F (t)dt .

						x
						x
							0
5. Достаточные условия равномерной сходимости последовательности
Теорема 6 (Дини) (без доказательства)
Функциональная последовательность fn (x) , x a;b удовлетворяет условиям:
А)	f	n	(x) C		a;b			;
	f		(x) C		a;b
Б) x a;b					числовая последовательность fn (x) монотонная;
В) предельная функция f (x) lim fn (x) C a;b .
								n
			a;b
Тогда fn (x)				f (x)

П.2 Функциональные ряды.


ОПР. Функциональный ряд an (x)
n 1
сходится последовательность	Sk (x)

(1) сходится на множестве D , если на этом множестве

k an (x) его частичных сумм, т.е. существует

n 1

функция S(x) , определенная на D , для которой lim Sk (x) S (x
	k

ОПР. Функциональный ряд an (x) сходится на множестве D
n 1
последовательность Sk (x) сходится к	S(x) равномерно на D .

)

равномерно, если

Справедлив КРИТЕРИЙ КОШИ равномерной сходимости функционального ряда: Ряд (1) сходится на D равномерно в том и только в том случае, если

0 N N

: n, m N, m n и x D

(x) a

n 1

(x) ... a

(x)

( 1)

n 1

Пример 5. Исследовать на равномерную сходимость ряд

n 1

( 1)

n 1

Ряд знакочередующийся, поэтому его остаток

(x)

оценивается

n m 1

(x)

, x ; и, по определению, ряд сходится равномерно для

m 1

всех x . Ряд сходится условно для всех x .

Пример 6. Найти область сходимости функционального ряда

n 1

Для каждого x члены ряда положительные, применим радикальный признак Коши:

n a	(x)	x	2	1	n	2
n a	(x)	x			x
n
				n

сходится, при

x	2	1
	2

расходится. При

x	2	1
	2

ряд расходится

по невыполнению необходимого признака, т.е.			D	1;1
по невыполнению необходимого признака, т.е.			сх
любом отрезке	a;b	1;1
любом отрезке

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов 1. О возможности предельного перехода

. Сходимость равномерная на

		D
Теорема 7. Если функциональный ряд an (x)
	n 1

1) числовой ряд an	сходится и имеет сумму A ;
n 1

2) lim f (x) A

x a

(x)

и n lim an (x) x a

, то

Док. см. теорему 1 для равномерно сходящейся последовательности частичных сумм ряда. Таким образом, для равномерно сходящихся рядов знак предела и суммы могут быть переставлены:


lim an		(x) lim an (x)
x a	n 1	n 1	x a

2. существование мажорирующего ряда

Теорема 8. (Достаточный признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

Если для функционального ряда fn (x), x D найдется сходящийся числовой ряд

n 1

an , an

0 , для которого

(x)

x D, n n

0 (мажорирующий ряд). Тогда ряд

n 1

fn (x) сходится равномерно на D .

n 1

Док. 0 N : m, n N

fm 1 (x) fm 2 (x) ... fn (x) fk (x)

, x D

k m 1

т.е. ряд сходится равномерно на множестве D по признаку Коши.

В качестве мажорирующего ряда иногда удается взять ряд с общим членом n

sup an (x)

x D

если числовой ряд n

сходится.

n 1

Пример 7. Исследовать на равномерную сходимость ряд

на отрезке

;

n 1

Для любого x

;

an (x)

сходится по

и мажорирующий ряд

n 1

признаку Даламбера.

Пример. Сколько слагаемых ряда

следует взять, чтобы вычислить его

(2n 1)x

n 1 3

сумму с точностью

0, 01

для всех

Для любых

ряд мажорируется числовым рядом

. Тогда остаток ряда

n 1

1 (2n

1)x

m 1

m 0, 01

50 m 4

n m 1

1/ 3)

2 3

Таким образом, указанную точность обеспечивают 4 слагаемые ряда. 3. непрерывность суммы ряда

Теорема 9. Если члены

an (x) функционального ряда (1) непрерывные функции на D , ряд

(1) равномерно сходится на D и имеет сумму S(x) , то S(x) - непрерывная на D функция. ДОК. Следует из теоремы 3 для функциональных последовательностей, поскольку

частичные суммы ряда Sk (x)

непрерывны и равномерно сходятся к S(x) , которая в силу

этого непрерывна.

Пример 8. Исследовать на непрерывность функцию f (x)

на области

n 1 1

сходимости ряда.

(1 x

)

Для x 0 f (x) x

. При x 0

f (0)

)

n 1

1 x

4.Интегрирование равномерно сходящихся рядов. Теорема 10. (Об интегрировании функционального ряда)

Пусть ряд

an (x) n 1

(1) из непрерывных на

a,b

функций

a	n	(x)
	n

равномерно сходится на

отрезке

Тогда для любого

x	0	a;b
	0

функциональный ряд

n 1

(x)

, где

n (x)

an (t)dt , сходится равномерно на отрезке a,b .

ДОК. Из равномерной сходимости ряда (1) следует, что

N N : n N , m n, x a;b an (x) an 1 (x) ... am

(x)

b a

Тогда

(x)

n 1

(x) ...

(x)

(t)

an 1 (t) ... am (t)

x x0

для всех x a;b .

b a

Пример 9. Найти сумму ряда (n 1)(n 2)x

, x

1,1 .

n 1

Ряд сходится абсолютно и равномерно на любом отрезке

a, a

, 0 a 1

, поскольку

имеется мажорирующий ряд для ряда, составленного из модулей:

(n 1)(n

2) x

(n 1)(n 2)a

. Мажорирующий ряд сходится, например, по признаку

	a		(n 2)(n 3)a	n 1		(n 3)
		1
Даламбера:	n						a
	a		(n 1)(n 2)a		n	(n 1)

		n

Интегрируем почленно ряд на отрезке 0; x

x					x
(n 1)(n 2)t		n	dt (n 2)x	n 1	, (n
(n 1)(n 2)t			dt (n 2)x		, (n
0	n 1		n 1		0	n 1
0					0

	n
a 1
дважды:

2)t	n 1
2)t	dt x
	n 1

n 2

x	3

1 x

x 1;1

Для получения суммы исходного ряда достаточно дважды продифференцировать полученный результат:

						1			2
	x		2	x 1		1		2	2
	x			x 1		x 1		2	(x 1)	3
										3

5. дифференцирование равномерно сходящихся рядов
Теорема 11.

Пусть для функционального ряда an (x)											известно, что
										n 1
1) функции an (x)							непрерывно дифференцируемы на отрезке a,b ;
					(x) из производных равномерно сходится на a,b и имеет сумму g(x) ;

2) ряд an
				n 1

3) существует точка x0 a;b , для которой числовой ряд an (x0 ) сходится и имеет
											n 1
сумму А.
								равномерно сходится на a,b и имеет непрерывно дифференцируемую
Тогда ряд an (x)
				n 1
									g(x) для x a;b .
сумму f (x) , причем f (x)									g(x) для x a;b .
ДОК. По условию 2) и теореме 6 последовательность частичных сумм
				k				k		k
Sk		(x) xx				an (t)dt = an (x) an (x0 )					равномерно сходится к функции xx g(t)dt .
				n 1	0			n 1		n 1	0
				n 1				n 1		n 1

Из условия

f (x) A

3) следует, что ряд

	x	g(t)dt . Тогда f

x			(
	0

an

n 1 x) g

(x) (x)

сходится равномерно на a,b

для x a;b .

и имеет сумму

6. Признаки равномерной сходимости знакопеременных функциональных рядов Теорема 12. Признак равномерной сходимости Дирихле.


Для функционального ряда an (x) bn (x), x D	выполняются условия:
n 1
А) x D последовательность an (x) монотонная;
D
Б) an (x) a(x) 0 ;

В) Частичные суммы ряда bn (x) равномерно ограничены, т.е. существует константа
n 1
k
M 0 , для которой x D, k bn (x) M .
n 1

Тогда функциональный ряд an (x) bn (x) равномерно сходится на D .
n 1
Теорема 14. Признак равномерной сходимости Абеля

Для функционального ряда an (x) bn (x), x D	выполняются условия:
n 1

А) x D последовательность an (x) монотонна;

Б) последовательность an (x) равномерно ограничена в совокупности, т.е.

M 0 : x D, n a

(x) M

;

В) ряд bn (x)

сходится равномерно на D .

n 1

Тогда функциональный ряд

an (x) bn (x)

равномерно сходится на D .

n 1

Пример 10. Дзета-функция Римана

Сумма ряда

(x), x 1; (*) называется дзета-функцией Римана.

n 1

x ; x

ряд сходится равномерно, поскольку ряд

На любом отрезке 1

(x), x x1; x2

мажорируется числовым сходящимся рядом

n 1 n

n 1

Отсюда, по теореме, функция (x) непрерывна в каждой точке отрезка x1; x2 , а в силу произвольности отрезка x1; x2 заключаем, что (x) непрерывна в каждой точке полуоси

	.
1;
		ln n		, x 1, (**) ,
Формальное дифференцирование ряда (*) приводит к ряду
Формальное дифференцирование ряда (*) приводит к ряду		n	x
	n 2	n

который равномерно не сходится на 0; , (его предел при x 1 0				приводит к

расходящемуся ряду	ln n	), но на любом отрезке x1; x2	1; сходимость (**)

n 1 n

										. Аналогично, можно
равномерная и , по теореме, его сумма равна (x), x 1;										. Аналогично, можно
доказать, что функция (x) имеет бесконечное число производных и
					ln	k		n
	(k )	(x) ( 1)	k		ln		x	n	, k 1, 2,..., x 1;
		(x) ( 1)					x		, k 1, 2,..., x 1;

				n 2	n
				n 2

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1.Сходимость функциональной последовательности, равномерная сходимость на множестве, критерий Коши равномерной сходимости. Теорема о равномерной сходимости последовательности ограниченных функций.

2.Теоремы о пределе равномерно сходящихся последовательностей и рядов.

3. Теорема о равномерной сходимости последовательности непрерывных функций. 4. Теорема о дифференцировании и интегрирования равномерно сходящихся последовательностей 5. Функциональные ряды, сходимость. Равномерная сходимость, критерий Коши

равномерной сходимости рядов. Достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

6.Теоремы об интегрировании и дифференцируемости равномерно сходящегося ряда.

Соседние файлы в папке Лекции

#
17.05.2024567.13 Кб0F-03-Lektsia_1.pdf
#
17.05.20246.66 Mб0Metodichka_Grishina (1).pdf
#
17.05.2024353.18 Кб0VTA_lektsia_11.pdf
#
17.05.2024232.02 Кб0VTA_lektsia_12.pdf
#
17.05.2024382.65 Кб0VTA_Lektsia_13.pdf
#
17.05.2024302.83 Кб0VTA_lektsia_14.pdf
#
17.05.2024576.23 Кб0VTA_lektsia_2.pdf
#
17.05.2024450.44 Кб0VTA_lektsia_5.pdf
#
17.05.2024443.26 Кб0VTA_lektsia_7.pdf
#
17.05.2024326.27 Кб0VTA_lektsia_8.pdf