Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Лекции / VTA_lektsia_11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

353.18 Кб

Скачать

☆

Ф-03-Лекция -11. Ряды с положительными членами. П.1 Понятие числового ряда. Основные понятия.

Рассматривается числовая последовательность an вещественных (или комплексных)

чисел. Сумма первых k

ее членов называется k –

ой частичной суммой:

k Sk an

n 1

числового ряда.

ОПР. Числовой ряд an

(1) называется сходящимся, если существует конечный предел

n 1

последовательности Sk

частичных сумм, т.е. S lim

an - сумма числового ряда.

n 1

Член an последовательности an называют общим членом числового ряда. Если предела

последовательности Sk

не существует или он бесконечный, то соответствующий

числовой ряд называют расходящимся.

ПРИМЕР 1. Исследовать на сходимость числовой ряд с общим членом

(ряд геометрической прогрессии).

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой суммы

k членов геометрической прогрессии:

a (1 q

)

a (1 q

)

. Если

1 , существует предел S lim Sk

lim

1 q

для любого n ,

При

q 1

k и соответствующий ряд расходится.

При q 1

последовательность Sk

1 ограничена, но не имеет предела, и ряд

также расходится. Расходимость ряда при

q 1

следует из неограниченности

q(1 q

)

последовательности Sk

и, как следствие, отсутствие у нее предела.

1 q

Применяя к Sk

критерий Коши для последовательности, получим

КРИТЕРИЙ КОШИ для числового ряда.

Числовой ряд

an сходится в том и только в том случае, если

n 1

: m N

и n m a

m 1

m 2

... a

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Последовательность

Sk сходится в том и только в том случае,

если к ней применим критерий Коши:

0 N

: m N

и n m S

m 1

m 2

... a

Замечание. Из критерия следует, возможность предельного перехода в неравенстве:

Ряд

am

k 1

	: m N		a	m 1

называют остатком


am 2 ... am k
k 1

ряда (1). Он содержит все члены ряда (1) с номерами n m .

Для сходящегося ряда (1) сумма остатка равна S Арифметические свойства сходящихся рядов.

1.Если два ряда an (1) и bn (2) сходятся, то

n 1

Sm	и она стремится к нулю с ростом m .

ряд an bn также сходится и

n 1

an bn an bn

n 1


2.	Если ряд an	сходится, то ряд an
	n 1	n 1

		an
		n 1

3.	Сходимость и расходимость ряда an
		n 1

также сходится для любого

n 1

илюбого его остатка am k

k 1

одновременная.

4. Для любой подпоследовательности номеров nk				, nk 1
4. Для любой подпоследовательности номеров nk			k 1	, nk 1
			k 1
где bk an	1 an 2 ... an	. Тогда из сходимости ряда (1)
k	k	k 1
имеют одинаковые суммы.

Заметим, что между частичными суммами рядов (1) и (3)

k
k	рассмотрим ряд	k	(3),
n	рассмотрим ряд	b	(3),
		k 1

следует сходимость (3) и они

справедливо соотношение:

(a a

... a

) (a

... a

) ... (a

... a

) S

m 1

k 1

т.е. S 3

является подпоследовательностью S 1

и сходимость S 1

означает существование

такого же предела для любой подпоследовательности. ТЕОРЕМА1. (НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ сходимости ряда)

Если ряд an

сходится, то lim an

0 .

n 1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По критерию Коши 0 N

: n N

Sn 1

Существуют расходящиеся ряды, для которых lim an

0 .

ПРИМЕР 2. (гармонический ряд).

Доказать, что ряд

расходится.

n 1

РЕШЕНИЕ. Действительно, S

n S

...

n 1

для любого n , и критерий Коши для последовательности

Sk не выполняется, т.е.

расходится.

П2. Ряды с положительными членами.

Если an

для любого n , то ряд (1) называют рядом с положительными членами.

ряд

ТЕОРЕМА 2. Для сходимости числового ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм Sk была ограниченной.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если ряд

an

n 1

(1) сходится, то последовательность

S	k

имеет

предел и является ограниченной. Если ряд an с положительными членами, то

n 1

Sn 1 Sn an 1 Sn для любого n , т.е. последовательность Sk монотонно возрастает. Если Sk ограничена, то она, как известно, имеет предел и ряд (1) сходится. Применение этого простого (необходимого и достаточного!) условия сходимости рядов с положительными членами затруднено тем, что нахождение частичных сумм Sk не всегда

возможно.

ТЕОРЕМА 3. (Признак СРАВНЕНИЯ 1 для рядов с положительными членами)


Если ряды an	(1) и bn (2) с положительными членами удовлетворяют условию:
n 1	n 1

an bn для всех n N , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1) и из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По свойству 3 можно полагать, что неравенство an

				частичные суммы рядов (1) и (2), то
выполняется для любого n. Если Sk			и Sk	частичные суммы рядов (1) и (2), то
		и из ограниченности частичных сумм ряда (2) следует ограниченность частичных
Sk	Sk

сумм ряда (1) и на основании теоремы2 сходимость ряда (1). Если ряд (1) расходится, то

		неограниченны. Тогда на основании теоремы 2 ряд (2)
Sk	неограниченны и Sk	неограниченны. Тогда на основании теоремы 2 ряд (2)

расходится.

ТЕОРЕМА 4. (Признак СРАВНЕНИЯ 2 для рядов с положительными членами)

Если ряды

(1) и

b (2) с положительными членами удовлетворяют условию:

n 1

lim

, то при 0

сходимость и расходимость рядов (1) и (2) одновременная.

n b

Если 0

, то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда

(1) следует расходимость ряда (2).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть 0.По определению предела, для

/ 2 N : n N an

bn и bn

an . Тогда на основании теоремы 3 из

сходимости (1) следует сходимость (2) и наоборот. Из расходимости (1) следует

расходимость (2) и наоборот. Пусть 0

. Тогда 0 N : n N an bn . Из

последнего неравенства утверждения теоремы 4 следуют из теоремы 3. Теорема 5 (Интегральный признак сходимости)

Если y f (x) монотонно убывающая на D 1; функция, f (x) 0

и интеграл



	f (x)dx сходится, то ряд an	с общим членом an
	f (x)dx сходится, то ряд an	с общим членом an
1	n 1
1

	f (x)dx расходится, то ряд расходится.
	f (x)dx расходится, то ряд расходится.
1
ДОКАЗАТЕЬСТВО. Из монотонности:			f (n 1) f (x) f

(

(n)	сходится. Если интеграл

n) для всех x n; n 1 . Тогда

	n 1
f (n 1)		f (x)dx
	n

(n)

. Если интеграл



f (x)dx

, то

0 N : n N, m n m f (x)dx f (n) f (n 1) ... f (m) m f (x)dx

n 1 n 1

и для ряда (1) выполняется критерий Коши и ряд сходится. Если интеграл расходится, то

k 1

последовательность I k

f (x)dx неограниченная и частичные суммы

k 1

Sk f (1) f (2) ... f (k)

f (x)dx

...

f (x)dx

f (x)dx также

неограниченны. Последнее свидетельствует о расходимости ряда (1).

ПРИМЕР 3. Исследовать на сходимость ряд

в зависимости от параметра p.

РЕШЕНИЕ. Если p 0

, то ряд расходится по невыполнению необходимого признака.

Пусть p 0 . Тогда функция f (x)

монотонно убывает на 1; и интеграл

1 p

f (x)dx lim

dx lim

x n

. Если p 1, то интеграл сходится

x 1

lim

p 1

n 1 p

1 p n

и по интегральному признаку сходится ряд. Если 0 p 1, то интеграл расходится и по

интегральному признаку расходится ряд. При p 1 (гармонический ряд) расходимость

ряда была доказана в примере 2.

ТЕОРЕМА 6. (Признак ДАЛАМБЕРА для рядов с положительными членами).

1. Если общий член an

ряда (1) удовлетворяет условию: существует константа

: 0 1, для которой an 1

n n0 , то ряд (1) сходится;

2. Если выполняется противоположное неравенство an 1

an , n n0 , то ряд (1)

расходится;

3. Если существует предел lim

n 1

1, то ряд (1)

сходится. Если lim

1, то ряд

(1) расходится. Существуют сходящиеся и расходящиеся ряды (1), для которых lim

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1.Перемножим неравенства ak 1

ak , k n0 , n0 1,..., n 1 . Тогда

an 1

an 2 ... an 1

n n

an 1 ... an 1

n n

Ряд с общим членом bn

n n

при 0 1

является сходящимся (ряд геометрической

прогрессии), поэтому по признаку сравнения 1 ряд (1) сходится.

2. Ряд (1) расходится по невыполнению необходимого признака сходимости.

3. Если lim

an 1

то для

существует

n0 : n n0

an 1

an ,

1 и для ряда (1) выполнено условие

пункта 1 теоремы и ряд сходится.

Если lim

1, то для

существует

n : n n

an 1

1 1 a

a , 1 1 и ряд (1) расходится по

n 1

невыполнению необходимого признака.

Для всех обобщенных гармонических рядов с общим членом an

n p

lim

1, p , но среди них есть расходящиеся (пример 2) и

(n 1)

n 1

сходящиеся (пример 3, p 1).

ТЕОРЕМА 7. (РАДИКАЛЬНЫЙ признак КОШИ)

Пусть an ряд с положительными членами, для которого

n 1

1.общий член an 0 удовлетворяет условию: существует n0 , для которого

nan 1, n n0 .

Тогда ряд (1) сходится.

Если общий член an ряда(1) удовлетворяет условию: существует возрастающая

подпоследовательность номеров nk , для которой

ank

1, то ряд (1) расходится.

Если lim

1, то ряд (1) сходится. Если lim

1, то ряд (1) расходится.

При lim

существуют ряды сходящиеся и расходящиеся.

Доказательство.

Из условия теоремы следует, что an

, n n0

и сходимость ряда (1) следует из

признака сравнения 1, поскольку ряд геометрической прогрессии (пример 1) при 1 сходящийся.

2. При выполнении условия теоремы an

и при

не выполняется необходимый

признак сходимости, т.е. ряд (1) расходится.

3. Если lim

1, то для

: n n0

(

)

и ряд (1)

мажорируется рядом сходящейся геометрической прогрессии.

, для которой

Если lim

1, то существует подпоследовательность номеров

3 1

, 1,

, то ряд (1) расходится по невыполнению

необходимого признака.

p ln n

Для обобщенно гармонических рядов lim

lim e

при любых p 0

и среди них

существуют сходящиеся и расходящиеся ряды.

Пример 4 Исследовать на сходимость ряд

(4) при

a 1

и различных значениях

n log

n 2

параметра p .

Применим интегральный признак Коши:

f (x)

монотонно убывает на

и интеграл для p 1

x log p

1 p

u ln x ln

p ln

x log

x ln

ln 2

1 p

u ln a

сходится при p 1 расходимость ряда

При p 1

интеграл

ирасходится при p 1. По интегральному признаку Коши это означает

(4)при p 1и его сходимость при p 1.

	dx				dx		du
				ln a		u ln x ln a
	x log	a	x		x ln x		u	ln a ln(ln x)u ln a
2				2		ln 2

	1
расходится и поэтому ряд		расходится
	n loga n
n 2

Следующий признак помогает разобраться с ситуацией 1 .

ЛЕММА. Ряды

an

n 1

(1) и bn (2) с положительными членами удовлетворяют условию

n 1

n0 : n n0 an 1 bn 1 (5) , то an bn

1.из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);

2.из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Перемножим неравенства (5) для n n0 , n0 1,..., n 1

. Тогда

an 1 an 2 ... an						bn 1		bn 2	... bn
0		0					0	0		. После сокращения приходим к неравенству
an	an 1 ...an 1						bn bn 1		...bn 1	. После сокращения приходим к неравенству
an	an 1 ...an 1						bn bn 1		...bn 1
0		0					0	0
a		b		a
a		b		n
n		n	an		0		bn	, n n0 . Тогда утверждения леммы следуют из признака
a		b	an	b			bn	, n n0 . Тогда утверждения леммы следуют из признака
a		b		b
n		n		n
0		0			0

сравнения 1.

Рассмотрим несколько достаточных признаков сходимости и расходимости, связанных с этой леммой.

ТЕОРЕМА 8. (Признак сходимости РААБЕ)


Пусть ряд an (1) с положительными членами и
n 1
						a
1. существует число p 1, для которого n						n		1 p, n n0	. Тогда ряд (1) сходится.
1. существует число p 1, для которого n						a		1 p, n n0	. Тогда ряд (1) сходится.
						a	1
						n	1
2. найдется n		. для которого n	an	1	1, n n . Тогда ряд (1) расходится.
2. найдется n	0	. для которого n		1	1, n n . Тогда ряд (1) расходится.
	0							0
		an 1

3. существует lim n

1 p . Тогда при p 1

ряд (1) сходится, при p 1

n 1

расходится.

Доказательство.

1. Возьмем любое

q 1; p

. Рассмотрим замечательный предел lim

q .

1/ n

Для p q существует

n0 : n n0 q 1 1/ n q 1 q 1 1/ n q (q ( p q))

1/ n

Из условия теоремы

n 1 q

1/ (n

1 1/ n

n 1

1/ n

Обозначая через b

приходим к условию леммы an 1

bn 1

при q 1. Тогда из

сходимости ряда bn следует сходимость ряда an .

n 1

2. Из условия следует		a	n	1	1	n 1
2. Из условия следует				1

		a	1		n	n
		n	1

ряда bn	следует расходимость ряда an
n 1						n 1

a	1
n	1
a	n
	n
.

bn 1 bn

, где bn 1n . Тогда из расходимости

		a	n
3. Условие теоремы перепишем в виде	n		n	1	p o(1)
3. Условие теоремы перепишем в виде	n			1	p o(1)

	an 1

. Если b

, то

bn 1

an 1

выберем число q :1 q p . Тогда ряд bn

n 1

(n 1)q		1	q
	1
nq
		n

сходится и

1	q	o	1	. Пусть
1		o		. Пусть

	n n

n0 : n n0

n 1

, что по лемме означает сходимость ряда (1).

n 1

Пусть p 1

. Выберем число q : p q 1

. Тогда ряд (2) расходится и

a		b	b	a		n n
	n	n	n 1	n 1	для		. Тогда по лемме ряд (1) расходится.
						0
a		b	b	a
	1
n		n 1	n	n

В завершении приведем формулировку достаточного признака сходимости рядов с положительными членами, объединяющий признаки Даламбера и Раабе.

Теорема 9 (признак Гаусса)

p 1

Если для ряда

an , n 1

найдутся числа

n	, , ,
0

0,C

, для которых

с ограниченной последовательностью

C, n n

, то

n 1

При 1

ряд сходится.

При 1

ряд расходится.

При 1, 1

ряд сходится

При 1, 1

ряд расходится

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1.Понятие сходимости числового ряда. Критерий Коши для сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости.

2.Числовые ряды с положительными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами.

3.Числовые ряды с положительными членами. Признак сравнения 1 рядов с положительными членами.

4.Числовые ряды с положительными членами. Признак сравнения 2 рядов с положительными членами.

5.Числовые ряды с положительными членами. Признак Даламбера.

6.Числовые ряды с положительными членами. Интегральный признак Коши.

7.Числовые ряды с положительными членами. Радикальный признак Коши.

8.Числовые ряды с положительными членами. Признак Раабе.

Соседние файлы в папке Лекции

#
17.05.2024567.13 Кб0F-03-Lektsia_1.pdf
#
17.05.20246.66 Mб0Metodichka_Grishina (1).pdf
#
17.05.2024353.18 Кб0VTA_lektsia_11.pdf
#
17.05.2024232.02 Кб0VTA_lektsia_12.pdf
#
17.05.2024382.65 Кб0VTA_Lektsia_13.pdf
#
17.05.2024302.83 Кб0VTA_lektsia_14.pdf
#
17.05.2024576.23 Кб0VTA_lektsia_2.pdf
#
17.05.2024450.44 Кб0VTA_lektsia_5.pdf