Лекции / VTA_lektsia_9
.pdfЛекция 9. Основные формулы векторного анализа
Полем F (x, y, z) P(x, y, z);Q(x, y, z); R(x, y, z) называют векторнозначную функцию,
заданную в некоторой области G R |
3 |
. Предполагаем, что функции P,Q и R |
имеют непрерывные |
|
|||
частные производные. |
|
|
|
Векторные линии |
|
|
|
|
|
3 |
которой вектор |
Векторной линией поля F называют кривую в R , в каждой точке M (x; y; z) |
|||
F (x, y, z) является направляющим вектором прямой касательной к кривой в точке M . |
Векторная линия, проходящая через точку дифференциальных уравнений
M |
(x |
; |
0 |
0 |
|
y |
; z |
) |
0 |
0 |
|
, является решением системы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
P |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dy |
|
dz |
|
|
dx |
|
|
|
R |
|
(2) |
dy |
Q (3) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
|
|
dz |
|
|
R |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||
с начальными условиями: y(x0 ) y0 , z(x0 ) z0 |
или x(t0 ) x0 , y(t0 ) y0 , z(t0 ) z0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Если 1 (x; y; z) c1 |
первый интеграл уравнения |
dx |
|
dy |
, а 2 (x; y; z) c2 |
- интеграл для |
||||||||||||||||||||||||||||
P |
Q |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
уравнения |
dy |
|
dz |
с произвольными c |
|
и c |
|
, то при выполнении условий теоремы существования |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Q |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и единственности через каждую точку M0 (x0 |
; y0 |
; z0 ) проходит единственная векторная линия с |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x; y; z) (x |
, y |
, z |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
уравнением |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(x; y; z) |
|
(x |
, y |
, z |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
Пример 1 Найти векторную линию поля F |
|
|
y; x;b |
|
, проходящую через точку M |
|
(1;0;0) . |
Запишем дифференциальное уравнение векторной линии в форме (1):
dx |
|
dy |
|
dz |
xdx ydy 0 x |
2 |
y |
2 |
c1 |
0 , т.е. винтовая линия лежит на поверхности |
||||
y |
x |
b |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
цилиндра с радиусом |
c1 |
. Параметризуем окружность: x |
c1 cos t, y |
c1 sin t и решаем |
||||||||||
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
dz |
|
c |
cos t dt |
|
dz |
dz bdt z bt c |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
b |
|
|
c |
cos t |
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Тогда векторная линия имеет параметрическое уравнение:
x |
c |
cos t |
||
|
|
1 |
|
|
|
y |
c |
sin t |
|
|
||||
|
1 |
|
||
|
z bt c |
|||
|
||||
|
|
2 |
||
|
|
|
|
, которое с учетом начальных условий примет вид
x cos t
y sin t
z bt
(винтовая линия).
Пример 2 Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника тока.
Полагаем, что проводник направлен по оси oz , ток I |
I k , точка M (x; |
расстоянии от оси провода и |
r x; y; z радиус вектор точки M (x; |
Тогда вектор напряженности H |
магнитного поля задается равенством: |
y; z) y; z)
находится на
.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
i |
j |
|
k |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
H |
I , r |
|
0 |
0 I |
|
|
yi |
xj ok |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уравнение векторных линий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
dx |
|
dy |
|
dz |
xdx ydy 0 x |
2 |
y |
2 |
c1 |
0, z c2 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
y |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
т.е. векторные линии являются окружностями, лежащими в параллельных плоскостях. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Поток векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Потоком |
П |
векторного поля F |
через ориентированную поверхность S |
|
называют поверхностный |
||||||||||||||||||||||||||||
|
интеграл первого типа от проекции поля F на нормаль к поверхности:
где
n |
|
e |
|
П |
|
(F, ne )ds |
(1) |
|
S
единичный вектор нормали.
Если поверхность замкнутая, то нормаль выбирается внешней. Если ne cos ; cos ; cos , то поток П представляется интегралом
П (P cos Q cos R cos )ds Pdydz Qdxdz Rdxdy |
|||
S |
|
S |
|
|
|
(1)*
Свойство потока.
1. |
|
(F, ne )ds |
|
(F, ne )ds |
|
|
|||
|
S |
|
S |
|
2.линейность
(F1 F2 , ne )ds (F1, ne )ds (F2 , ne )ds
S |
|
S |
|
S |
|
|
|
|
3. аддитивность по поверхности. Если S S1 S2 , то
(F, ne )ds (F, ne )ds (F, ne )ds
S |
S |
S |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2 Вычислить поток векторного поля F |
x; y; z |
|||||
|
через |
|||||
основания R и высотой h . |
|
|
|
Поверхность цилиндра является объединением поверхностей:
1. |
S1 |
боковая поверхность цилиндра с внешней нормалью |
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
e |
|
|
|
; |
|
; 0 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
(F, n |
|
) |
|
|
|
R |
|
R |
П |
|
|
Rds 2 R |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2. |
S2 |
|
нижнее основание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
2 |
0; 0; 1 |
(F, n |
2 |
) z 0 П |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
S3 |
|
верхнее основание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
3 |
0; 0;1 |
(F, n |
3 |
) |
z h |
П |
|
|
|
hds hR |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
поверхность цилиндра с радиусом
2 |
h |
|
S3
Складываем потоки: П П1 П2 П3 2 hR |
2 |
hR |
2 |
|
|
||
Методы вычисления потока поля через поверхность |
|
||
1. Метод проекции (сведение к двойному интегралу) |
|
Пусть поверхность S |
задается явно уравнением z f (x, |
3 hR |
2 |
|
y) и проектируется на область
Dxy
|
|
grad z f (x, y) |
|
|
|
|
||
координатной плоскости xoy . Тогда нормаль ne |
|
|
fxi |
f y j k |
||||
|
|
|
|
|
. Знак |
|||
grad z f (x, y) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
fx 2 |
f y 2 1 |
|||
выбирается в случае, когда выбранная нормаль составляет острый угол с осью oz и минус – в |
||||||||
противном случае. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
, ne |
|
||
|
|
|
|
|
П F, ne ds |
dxdy , |
||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
Dxy |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
f 2 |
f 2 |
1 и вместо z |
следует подставлять f (x, y) . |
|||||||||
|
||||||||||||||
|
||||||||||||||
|
cos |
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Найти поток векторного поля F 0; y |
2 |
; z через часть поверхности параболоида |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z x |
2 |
y |
2 |
ограниченной плоскостью z 2 и ориентированной внешней нормалью. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
3 |
z |
|
|
|
||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
e |
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
|
|
4x |
2 |
4 y |
2 |
1 |
|
4x |
2 |
4 y |
2 |
1 |
4x |
2 |
4 y |
2 |
1 |
|
F, n |
|
|
4x |
2 |
|
4 y |
2 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F, n |
|
|
|
|
F, n |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
2 y |
z 2 y |
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
cos |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда П |
|
|
|
2 y |
3 |
x |
2 |
y |
2 |
dxdy |
|
d |
|
r(2r |
3 |
sin |
3 |
r |
2 |
)dr |
|
|
|
|
sin |
3 |
1 |
|
d 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Метод проектирования на все три координатные плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть поверхность S задается неявно уравнением g(x, y, z) 0 |
, причем она однозначно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проектируется на области Dxy , Dxz , Dyz |
|
координатных осей. Пусть единичная нормаль |
ne cos ; cos
ds cos dydz |
||
|
|
|
ds cos dxdz |
||
|
ds cos dydz |
|
|
||
|
; cos gradg(x, y, z) ориентирует поверхность и знак в выражениях gradg(x, y, z)
определяется таким же, как знак соответствующего косинуса.
Тогда поток по поверхности определяется по формуле:
П
P(x( y, z), y, z)dydz Q(x, y(x, z), z)dxdz
R(x, y, z(x,
y))dydz
.
|
|
|
D |
yz |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
|
|
xy |
|
Пример 4. Найти поток векторного поля |
F |
|
xy; yz; xz |
||||||||||||
|
через внешнюю сторону сферы |
||||||||||||||
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
1, заключенной в первом октанте. |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычисление нормали: |
|
|
|
|
|
||||||||||
n grad (x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
1) |
2x; 2 y; 2z n |
x; y; z cos x 0, cos y 0, cos z 0 |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
Тогда П xydydz yzdxdz xzdxdy 3 xydydz , поскольку все интегралы одинаковые.
Dyz Dxz Dxy Dyz
П
|
/2 |
1 |
|
1 r |
|
dr |
|
3 xydydz 3 |
|
sin d r |
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
||
D |
yz |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
r 2 |
1 r 2 dr |
3 |
||
0 |
|
|
.
Замена переменной: r sin t, t |
|
0; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
/ 2 |
|
|
|
|
|
3 |
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
/ 2 |
|
3 |
|
П 3 |
sin |
2 |
t cos |
2 |
tdt |
sin |
2 |
2tdt |
|
(1 cos 4t)dt |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
4 |
|
8 |
16 |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Метод введения криволинейных координат на поверхности.
.
Иногда введение координат на поверхности позволяет найти нормаль, проекцию поля на нормаль и вычислить поток векторного поля через поверхность.
Пример 5 Рассмотрим поверхность S |
прямого кругового цилиндра x2 y2 |
R2 , ограниченного |
сверху и снизу поверхностями z |
f1 (x, y), |
z |
f2 (x, y), |
f1 (x, y) f |
2 (x, y), x |
2 |
y |
2 |
R |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти формулу для вычисления потока поля F |
|
P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) через |
||
поверхность S |
|
|
Введем координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0; 2 , z f (R cos , R sin ); f |
2 |
(R cos , R sin ) , x R cos , y R sin |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
cos ;sin ; 0 |
|
|
|
, |
|
|
|
||
Тогда внешняя единичная нормаль e |
|
|
|
, ds Rd dz |
|
|
|
||||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
(F, n ) P(R cos , R sin , z) cos Q |
|
R cos , R sin , z |
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
e |
|
2 |
|
f2 |
( R cos ,Rsin ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
F, n |
ds R |
|
d |
|
|
(P(R cos , R sin , z) cos Q |
|
R cos , R sin , z |
|
sin )dz |
||||||||||
|
S |
|
|
|
|
0 |
|
f |
( R cos ,Rsin ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Например, F |
x; y; z , f1 |
0, f2 H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда П R d (R cos2 R sin2 )dz 2 R2 H . |
|
|
|
|
|
|
|
|
00
4.Формула Грина
Пусть задано кусочно-гладкое поле F P(x, y);Q(x, y) , определенное в области D c кусочно-
гладкой границей С , ориентированной положительным направлением обхода. Тогда справедлива формула:
P(x; y)dx Q(x; y)dy С
Доказательство.
P(x, y)dx P(x, y)dx P(x, y)dx
C C1 C2
|
|
Q |
|
P |
(2) |
|
|
|
|
|
dxdy |
||
|
D |
|
x |
|
y |
|
b P(x, g(x)dx a P(x, f (x))dx
a b
b |
|
b |
b |
f ( x) |
|
|
P |
|
|
P(x, g(x)dx P(x, f (x))dx dx |
|
|
P(x, y)dy |
|
dxdy |
||||
y |
y |
||||||||
a |
|
a |
a |
g ( x) |
D |
|
|||
|
|
|
|
||||||
Аналогично, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x, y)dy Q dxdy |
|
|
|
|
|
|
|||
C |
D |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объединяя два криволинейных интеграла, получим формулу (2).
Пример. Вычислить криволинейный интеграл второго типа |
|
xy x y dx (xy x |
||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
C – окружность x |
2 |
y |
2 |
ax , ориентированная в положительном направлении. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P xy x y |
P |
x 1, Q xy x y |
Q |
y 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q |
|
|
P |
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xy x y dx (xy x y)dy ( y x)dxdy |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin cos d |
r2dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
3 |
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
3 |
/ 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
cos3 ( sin cos )d |
|
|
cos4 d |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
/ 2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a3 |
|
/ 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
a3 3 |
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos 2 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12 |
|
|
|
|
12 |
2 |
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y)dy
, где
Пример
7. Вычислить по формуле Грина криволинейный интеграл:
Pdx Qdy
для поля
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
F e |
x |
sin y y; e |
x |
cos y 1 по верхней полуокружности x |
2 |
y |
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||
A(2;0) |
до точки O(0;0) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
Qx |
Py |
e |
|
cos y e |
|
cos y 1 |
1 |
. Тогда по формуле Грина |
|
Pdx Qdy 1dxdy |
|
Pdx Qdy Pdx Qdy |
|
|||
L1 L2 |
|
D |
2 |
L1 |
L2 |
|
|
Интеграл по L2 |
(отрезку) равен: Pdx Qdy 2 |
P(x, 0)dx 0 |
и Pdx |
||||
|
|
|
|
L2 |
0 |
|
L |
5. Теорема Гаусса-Остроградского
x
, проходимой от точки
Qdy |
|
. |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
f |
,g |
(x, y, z) |
R |
3 |
: (x, y) D, g(x, y) z |
f (x, y) стандартная по оси z |
||||
Пусть область GD |
|
|
|||||||||||
ограниченная цилиндрической поверхностью с направляющей D и образующей, параллельной |
|||||||||||||
оси oz |
, и двумя поверхностями z g(x, y) (нижняя) и z f (x, y) (верхняя). Поверхность, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
, g |
, ориентирована внешней нормалью. |
|||||
ограничивающая область GD |
|
|
|||||||||||
Вычислим тройной интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
R |
|
|
|
f ( x, y ) |
R |
|
|
|
|
|||
|
dxdydz |
dxdy |
|
|
dz |
|
|||||||
z |
|
|
z |
|
|||||||||
G |
|
|
D |
|
g ( x, y ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R(x, y, f (x, y))dxdy R(x, y, g(x, y))dxdy |
|
||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
R(x, y, z)dxdy R(x, y, z)dxdy |
||
S |
2 |
S |
|
1 |
Поверхностный интеграл по боковой поверхности
S |
3 |
|
равен нулю, поскольку она проектируется на
плоскость xoy
S S |
S |
|
1 |
2 |
|
в границу
S3 |
равен |
D
, имеющую меру ноль. Тогда интеграл по поверхности
R(x, y, z)dxdy |
R |
dxdydz |
||
z |
||||
S |
G |
|
||
|
|
(2)
Аналогичные формулы справедливы для других осей ox и oy :
Q(x, y, z)dxdz Q dxdydz, |
P(x, y, z)dydz P dxdydz |
(2)* |
||||
S |
G |
y |
S |
G |
x |
|
|
|
|
Объединяя (2) и (2)*,получим формулу ГауссаОстроградского:
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
Pdydz Qdxdz Rdydx |
|
P Q |
R |
|
dxdydz |
|
S |
|
G |
|
|
|
|
|
(3)
|
x |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2xz(1 y) 1 y |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 6. Вычислить поток поля F |
|
|
|
6 yz |
; 2xarctgy; |
|
|
|
|
||||||
y2 |
|
|
y2 |
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
внешнюю сторону поверхности параболоида z 1 x |
2 |
y |
2 |
, |
z 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
через
P Q |
R |
|
x |
y |
z |
(параболоид
|
2xy |
|
2x |
|
|
2 |
||
1 |
y |
2 |
y |
2 |
|
|||
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
+ круг) равен нулю.
x(1 y) |
0 |
. Тогда поток по замкнутой поверхности |
|||||
1 y |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Поток по кругу x |
2 |
y |
2 |
1 |
на плоскости xoy равен: |
||
|
|
S S |
S |
2 |
1 |
|
|
|
|
x |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
1 y2 |
|
e |
e |
1 П |
|
||||
F |
|
|
|
|
|
; 2xarctgy; 1 |
, n |
0; 0; 1 F, n |
|
1ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Тогда поток по поверхности параболоида
|
e |
|
|
F, n |
ds |
S |
|
|
1 |
|
|
Циркуляция векторного поля
Циркуляцией векторного поля называют интеграл
F P;Q; R
вдоль замкнутой ориентированной кривой
L
|
|
|
|
Ц Pdx Qdy Rdz F , dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вдоль эллипса |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 8. Вычислить циркуляцию векторного поля F y |
; x |
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
проходимого в положительном направлении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x a cos |
, 0; 2 , |
dr |
|
dx; dy |
|
|
a sin d ;b cos d |
|
||||||||||||||||||
Параметризация эллипса |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
y |
b sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pdx Qdy (ab |
3 |
sin |
4 |
ba |
3 |
cos |
4 |
)d Pdx Qdy ab (b |
2 |
sin |
4 |
a |
2 |
cos |
4 |
)d |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
|
ab |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ab(a |
2 |
b |
2 |
) |
|
(b |
2 |
(1 |
cos 2 ) |
2 |
a |
2 |
(1 cos 2 ) |
2 |
)d |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ротор векторного поля
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ротором векторного поля F |
/ x |
/ y |
|||||||
|
P;Q; R |
называется вектор rotF |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 9. Найти ротор поля F |
|
|
x z; y z; x2 z |
||||||||||||
|
|
|
|
i |
j |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rotF |
/ x |
/ y |
/ z |
|
|
1;1 |
2x; 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y z |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x z |
|
z |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
/ z |
|
|
|
R |
|
|
.
Свойства ротора |
|
|
|
||
1. линейность |
|
|
|
||
rot F F |
rotF rotF |
, |
rot( F ) rotF |
||
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
2. |
rot |
( (x, y, z) F ) rotF grad , F |
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ry |
y |
R Qz z Q i Rx x R Pz z P j |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
rot( F ) |
/ x |
/ y |
/ z |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
P |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
Q P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
P |
k rotF |
/ x |
/ y |
/ z |
rotF grad , F |
|
||||||||||||||||
|
x x |
|
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
Q |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то rot r , a b |
|
|
|
|
3. Если a , b постоянные поля (векторы), r x; y; z , |
a , b |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если F b , (r , a ) xa1 |
ya2 |
za3 , то по свойству 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
rot r , a b |
grad , b |
|
a, b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Пусть |
r |
|
x; y; z |
, r |
x2 y2 z2 , |
f (r) |
дифференцируемая функция. Тогда |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
rot( f (r) a ) |
|
f (r) |
r , a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, по свойству 2 для
F a
имеем:
rot( f (r) a ) gradf (r), a |
|
f |
r , a |
|
|
f |
|
r , a |
|
|
|
r |
|
||||
|
r |
|
|
|
|
|
5. Для полей
F , F |
|
1 |
2 |
справедливо равенство
div F , F |
|
|
|
F |
, rotF |
|
(F , rotF ) |
||
1 |
2 |
|
|
2 |
1 |
1 |
2 |
Действительно,
rotF1
F1
, где
; ;
x y z
- оператор Гамильтона
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
Q |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
Q |
|
R |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(F2 , rotF1 ) |
нечетная перестановка |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
y |
|
z |
x |
|
|
y |
|
z |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
F , rotF |
перестановка строк P |
|
Q |
|
R |
div F , F |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 2 |
|
|
P2 Q2 R2
Теорема Стокса |
|
Циркуляция поля F P;Q; R |
по замкнутому, положительно ориентируемому контуру L на |
поверхности S |
равна потоку поля rotF |
через поверхность S . |
||
|
|
|
|
|
|
Pdx Qdy Rdz rotF |
, ne dS (7) |
||
|
L |
S |
Док. Пусть поверхность
S
задана параметрическими уравнениями
x x(u, v) |
||
|
y y(u, v) , (u, v) D |
|
|
||
u,v |
||
|
z z(u, v) |
|
|
||
|
|
Pdx |
|
u |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
u |
|
|
dudv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
P x du x dv формула Грина |
|
u |
Px |
v |
Px |
|
||||||||||||||
L |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
uv |
|
|
|
|
|
uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
u |
y u |
z u |
v |
uv |
x v |
y v |
|
z |
v |
u |
|
uv |
|
|
|
|
|
|||
|
|
(P x |
P y |
P z )x Px |
((P x P y |
|
P z )x |
|
Px |
) |
|
dudv |
|
Duv
|
|
P (z x z x |
|||
|
z |
u v |
v |
u |
|
|
D |
|
|
|
|
|
uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напоминаем, что ru
Аналогично, Qdy
|
|
y |
u v |
v u |
|
|
|
|
|
z |
y |
|
|
|
|
z |
y |
) |
P (x y x y ) |
|
dudv |
|
(P B P C)dudv |
|
(P cos P cos )ds |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r A; B;C , cos |
|
A |
|
; cos |
|
B |
; cos |
C |
|||||||||
r r |
|
|
|
||||||||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
r r |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
v |
|
|
u |
v |
|
|
u |
v |
|
|
x |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
Q cos Q cos |
ds и |
|
Rdz |
|
R cos R cos ds . |
L S L S
Складывая интегралы, получим
Pdx Qdy Rdz (Ry |
Qz ) cos (Rx Pz ) cos (Qx Py ) cos ds rotF |
|
, ne ds |
|
|
||||
L |
S |
S |
Пример 10. Вычислить циркуляцию векторного поля F y
а) непосредственно; б) по формуле Стокса
|
x 2 cos |
dx 2 sin d |
|||
2 |
|
|
|
|
|
Ц ydx x |
dy zdz y 2 sin dy 2 cos d |
||||
L |
|
z 3 |
|
dz |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
По формуле Стокса:
; x2 |
|
; z |
2 |
|
|
2 |
0 |
|
x2 |
y2 4 |
|
по контуру L : |
z 3 |
|
|
||
|
sin |
2 |
8 cos |
3 |
d 4 |
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
rotF |
/ x |
/ y |
/ z |
|
0; 0; 2x 1 , |
n |
|
0; 0;1 |
|
|
rotF, n |
2x 1 |
||||||||
|
|
|
y |
x |
2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц (2x 1)ds 2xdxdy 4 2 d r2 cos dr 4 0 4 4 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы к экзамену