Кручение прямого бруса
Кручение–это вид деформации, характеризующийся взаимным
поворотом поперечных сечений под действием крутящих моментов, действующих в этих сечениях.
При кручении в поперечных сечениях возникают только внутренние крутящиемоменты.
Mx 0
Остальные пять силовых факторов равны нулю.
Кручение круглого вала. Правило знаков
Рассмотримвал,нагруженныйсистемойвнешнихкрутящихмоментови
находящийсявравновесии.
M |
M |
4 |
2 |
X
M |
M |
3 |
1 |
Кручение. Метод сечений
M |
M |
M |
4 |
2 |
|
|
|
x |
|
|
X |
|
|
X |
M |
|
M |
3 |
x |
x |
|
|
Запишем условие равновесия левой части вала:
M M M M 0;
4 3 2 x
MM M M M,
x 4 3 2 1
так как вал находится в равновесии,т.е.
M
1
M M M M 0
4 3 2 1
Построение эпюр крутящих моментов
Практическое правило.Крутящий момент Mxвлюбомпоперечном
сечении валаравен алгебраической сумме внешних крутящих моментов, действующих содной стороныот сечения,взятой с обратнымзнаком.
Рассмотримвал,находящийсявравновесии:
m 4m 2m m 0
4m 2m
|
|
|
x |
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построение эпюр крутящих моментов
(продолжение)
|
|
Воспользуемся практическим правилом. |
|
|
|
|||
M |
x |
m |
|
при |
x |
x x |
2 |
|
|
|
m 4m 3m |
|
|
1 |
|
||
M x |
|
при |
x2 x x3 |
|||||
M |
x |
m 4m 2m m |
при |
x |
x x |
|||
|
m 4m |
2m |
m |
3 |
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|||
0 x1 |
x2 |
x3 x4 x |
|
M x |
3m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
m |
|
|
|
Напряжения и деформации при кручении
Задача решается при следующих допущениях:
1Вал. остается прямолинейным. Его ось не искривляется.
2Справедлива. гипотеза плоских сечений: Поперечное сечение вала,
груженногоа крутящими моментами, поворачивается в своей плоскости, как жесткий диск. Радиусы сечения не искривляются.
3Расстояния. между поперечными сечениями вала не изменяются, т.е. длина бруса при кручении остается неизменной.
Система координат
r
M1 x
t 
Mx
Ось t - это касательная к окружности в точке пересечения радиуса с окружностью.
Из принятых допущений следует, что все деформации, за исключением деформации сдвига xt , равны нулю.
При кручении изменяются прямые углы между направлениями x и t
xt tx 0.
xt tx 0
Кольцевой элемент
Двумя плоскостями, нормальными к оси бруса, вырежем диск толщиной dx . Двумя соосными цилиндрическими поверхностями,
отстоящими на |
d , выржем из диска кольцо радиусом |
и |
толщиной d . |
|
|
Mx |
|
|
Mx 
dx
Деформация кольца
bb xtdx d
d
.
xt (5.1)
Деформации и напряжения при кручении
Введем относительный угол закручивания
|
d |
|
dx . |
(5.2) |
|
Тогда |
|
|
xt |
. |
(5.3) |
Теперь, с учетом закона Гука xt |
G xt , запишем |
|
xt |
G . |
(5.4) |
Из уравнений (5.3) и (5.4) следует, что касательные напряжения xt
и сдвиги xt прямо пропорциональны расстоянию от оси вала до рассматриваемой точки сечения.