2 контр-book

23

получаем

Xn+2 + 6Xn+1 + 9Xn =

= A · 2n+2 + 6A · 2n+1 + 9A · 2n =

= 25A · 2n = 7 · 2n,

так что A = 7/25, а соответствующее частное решение

Xn = 257 2n.

Основание показательной функции g(n) = 5 · (−3)n, равное −3, совпадает с двойным корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения ищем в виде Yn = An2 · (−3)n. Подставляя выражения

Yn = An2 · (−3)n, Yn+1 = A(n + 1)2 · (−3)n+1, Yn+2 = A(n + 2)2 · (−3)n+2

в уравнение

Yn+2 + 6Yn+1 + 9Yn = 5 · (−3)n,

получаем

Yn+2 + 6Yn+1 + 9Yn =

=A(n + 2)2 · (−3)n+2 + 6A(n + 1)2 · (−3)n+1 + 9An2 · (−3)n =

=18A · (−3)n = 5 · (−3)n,

так что A = 5/18, а соответствующее частное решение

Yn = 185 n2 · (−3)n.

Общее решение неоднородного уравнения (11) представляет собой сумму об-

◦

щего решения xn однородного уравнения и частных решений Xn, Yn неоднородного уравнения, соответствующих слагаемым f (n), g(n) в правой части уравне-

ния (11):

xn = (−3)n (C1 + C2n) + 257 2n + 185 n2 (−3)n .