ЛА Задачник
.pdfСтр. 31 из 62 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
Φ(x1,x2,x3) = 14x12 +36x22 +14x32 +40x1x2 − 22x1x3 − 44x2x3 .
284. Найдите ранг квадратичной формы
Φ(x1,x2,x3,x4) = 49x12 +25x22 +9x32 − 70x1x2 − 42x1x3 +30x2x3 +25x42 .
285. Найдите ранг квадратичной формы
Φ(x1,x2,x3,x4) = 52x12 +2x22 +45x32 + x42 − 20x1x2 − 48x1x3 +6x2x3 .
286. Найдите ранг квадратичной формы
Φ(x1,x2,x3,x4) = 9x12 +6x22 +9x32 − 14x1x2 +8x1x3 + x42 − 4x2x3 .
Преобразование квадратичной формы при замене координат
|
|
|
|
|
y |
|
|
−4x1 − x2 |
|
|
|
|||||
287. В пространстве 2 задано преобразование координат: |
1 |
= |
|
. Дана |
||||||||||||
y |
|
3x |
+ x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
||||||
квадратичная форма, имеющая в координатах y , y |
вид Φ(y ,y ) = y2 |
− 6y y |
+ y2 . |
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
Найдите вид этой квадратичной формы в координатах x1, x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
2y |
− 5y |
|
|
|
|
|||
288. В пространстве 2 задано преобразование координат: |
1 |
= |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
. Дана |
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
−3y |
|
+7y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
||||||
квадратичная форма, имеющая в координатах y , y |
вид Φ(y ,y ) = − y2 +4y y |
|
− y2 . |
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
Найдите вид этой квадратичной формы в координатах x1, x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
289. Известно, что в пространстве |
2 |
матрица перехода от базиса |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
f |
, f |
к базису e , e |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет вид: Pfe = |
. Дана квадратичная форма, имеющая в связанных с базисом |
|||||||||||||||
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1, e2 координатах x1, x2 матрицу |
|
. Найдите матрицу этой квадратичной формы |
||||||||||||||
|
−3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вкоординатах y1, y2, связанных с базисом f1, f2 .
290.Известно, что в пространстве 2 матрица перехода от базиса f1, f2 к базису e1, e2
−4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
имеет вид: Pfe = |
|
. Дана квадратичная форма, имеющая в связанных с базисом |
||||||
3 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
. Найдите вид этой квадратичной |
|
f1, f2 координатах x1, x2 вид Φ(x1,x2) = 2x1 |
− 2x1x2 − x2 |
|||||||
формы в координатах y , y , связанных с базисом e , e . |
|
|||||||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
291. Известно, что в пространстве |
2 |
|
|
|
|
|||
|
два базиса e , e и f , |
f связаны соотношениями: |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
f1 = 2e1 − 5e2,
Дана квадратичная форма, имеющая в связанных с базисом f1, f2
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 = 3e1 − 8e2 . |
|
|
|
|
|
|
|
координатах x1, x2 вид Φ(x1,x2) = − 3x2 |
+ 6x1x2 − 2x2 |
. Найдите вид этой квадратичной |
|||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
формы в координатах y1, y2, связанных с базисом e1, e2 . |
|
|
|
||||
292. Известно, что в пространстве |
2 |
|
|
|
|
||
|
два базиса e , e и |
f , |
f связаны соотношениями: |
||||
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
f1 = − 23e1 +7e2,
Дана квадратичная форма, имеющая в связанных с базисом e1, e2
f2 = 10e1 − 3e2 .
координатах x1, x2 вид Φ(x1,x2) = 3x12 +4x1x2 +3x22 . Найдите матрицу этой квадратичной
Стр. 32 из 62 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
формы в координатах y1, y2, связанных с базисом f1, f2 .
Метод Лагранжа
293. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму
Φ(x1,x2) = − 25x12 +10x1x2 +8x22 к нормальному виду и укажите пример соответствующего преобразования координат.
294. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму
Φ(x1,x2,x3) = x12 − 4x1x2 − 12x22 +40x2x3 − 34x32 к нормальному виду и укажите пример соответствующего преобразования координат.
295. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму
Φ(x1,x2,x3) = − 25x12 − 40x1x2 − 40x1x3 − 17x22 − 38x2x3 − 21x32 к нормальному виду и укажите пример соответствующего преобразования координат.
296. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму
Φ(x1,x2,x3) = 36x1x2 − 6x1x3 − 54x2x3 к нормальному виду и укажите пример соответствующего преобразования координат.
297. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму
Φ(x1,x2,x3) = 25x12 − 30x1x2 − 10x1x3 +8x22 +4x2x3 +0x32 к нормальному виду и укажите пример соответствующего преобразования координат.
Знакоопределённые квадратичные формы
298. C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма
Φ(x1,x2) = x12 − 2x1x2 +5x22 положительно определённой, отрицательно определённой или не знакоопределённой.
299. C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма
Φ(x1,x2,x3) = − 16x12 +32x1x2 +24x1x3 − 25x22 − 36x2x3 − 22x32 положительно определённой, отрицательно определённой или не знакоопределённой.
300. C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма Φ(x1,x2,x3) = 4x1x2 − 2x1x3 − 2x22 − 4x2x3 − x32 положительно определённой, отрицательно определённой или не знакоопределённой.
301. C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма
Φ(x1,x2,x3,x4) = − 5x12 − 2x1x2 − 2x1x4 − 7x22 − 8x2x3 − 5x32 − 2x3x4 − x42 положительно определённой, отрицательно определённой или не знакоопределённой.
Канонический вид квадратичной формы
302. Найдите канонический вид квадратичной формы
Φ(x1,x2) = − 34x12 − 41x22 − 24x1x2, к которому её можно привести с помощью подходящего ортогонального преобразования координат.
303. Найдите канонический вид квадратичной формы
Φ(x1,x2,x3) = 41x12 +28x22 +28x32 +20x1x2 +20x1x3 +60x2x3, к которому её можно привести с помощью подходящего ортогонального преобразования координат.
304.Приведите квадратичную форму Φ(x1, x2) = 11x12 +14x22 +4x1x2 к каноническому виду и укажите соответствующее ортогональное преобразование координат.
305.Приведите квадратичную форму
Φ(x1,x2,x3) = x12 + x22 +5x32 − 6x1x2 +2x1x3 − 2x2x3 к каноническому виду и укажите соответствующее ортогональное преобразование координат.
Стр. 33 из 62 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
Аналитическая геометрия (размерность 2)
Уравнение прямой
306. Напишите общее уравнение прямой x +2 = y +4. 7 5
307.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точки A(5;4) и B(4;3).
308.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(5;3) и
B(− 2;2).
309.Принадлежат ли одной прямой точки A(4;4), B(5; − 4), C( − 4; − 4)? Если да, то укажите общее или каноническое уравнение этой прямой.
Прямая, перпендикулярная другой прямой
310. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(6;6) и
перпендикулярной прямой x − 1 = y− 6.
7−5
311.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(9; − 13) и
перпендикулярной прямой 3x − 7y − 5 = 0.
312.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A(5; − 2) и
|
x − 1 |
|
y+7 |
перпендикулярной прямой |
7 |
= |
5 . |
313.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A( − 6; − 3) и
перпендикулярной прямой 3x − 8y +2 = 0.
314.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A(7;8) и
перпендикулярной прямой, проходящей через точки B(9; − 1) и C(8;5).
315.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(7; − 7) и
перпендикулярной прямой, проходящей через точки B(− 8; − 5) и C(− 4; − 13).
Прямая, параллельная другой прямой
316.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A(9; − 2) и
параллельной прямой 4x +3y− 5 = 0.
317.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A( − 5;10) и
параллельной прямой x +1 = y − 1 .
21
318.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(3;9) и
параллельной прямой x − 4 = y − 8 . −4 0
319.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(6; − 4) и
параллельной прямой 4x − 3y− 5 = 0.
320.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A(6; − 7) и
|
x +6 |
|
y − 2 |
параллельной прямой |
4 |
= |
−5 . |
Стр. 34 из 62 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
321.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(7; − 7) и
параллельной прямой, проходящей через точки B(3;5) и C(4;9).
322.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A(8;4) и
параллельной прямой, проходящей через точки B(− 6;6) и C(− 11; − 1).
Точка пересечения прямых
323. |
Найдите точку пересечения прямых x +3y − 2 = 0 и 2x − y +10 = 0. |
||||
324. |
Найдите точку пересечения прямых x − 61 |
= y +17 |
и 9x − 7y− 17 = 0. |
||
|
8 |
−3 |
|
|
|
325. |
Найдите точку пересечения прямых x − 4 = y − 2 |
и x − 6 = y +3 . |
|||
|
2 |
3 |
|
2 |
−1 |
326.Найдите точку пересечения прямой 5x + y− 17 = 0 и прямой, проходящей через точки A(7; − 4) и B(11; − 10).
327.Найдите точку пересечения прямой x +8 = y − 4 и прямой, проходящей через
3 −4
точки A(− 3;0) и B(− 1; − 8).
328.Найдите точку пересечения прямых AB и CD, где A( − 4; − 7), B(3;14), C(− 7;11)
иD(3; − 4).
329.Найдите точку пересечения прямой 8x +6y − 28 = 0 и прямой, проходящей через точки A(10;8) и B(22; − 8).
330.Найдите точку пересечения прямой 12x − 6y +6 = 0 и прямой, проходящей через точки A(5;11) и B(− 1; − 1).
Взаимное расположение прямых
331. Выясните, данные прямые x − 3 = y +4 и 8x +2y+5 = 0 совпадающие,
3 −5
параллельные или пересекающиеся.
332. Выясните, данные прямые x − 8 = y − 6 и 9x +3y− 86 = 0 совпадающие,
−2 6
параллельные или пересекающиеся.
333. Выясните, данные прямые −3x +9y− 18 = 0 и x − 3y+6 = 0 совпадающие, параллельные или пересекающиеся.
Задачи на расстояния, проекции, симметричные точки
334. |
Найдите расстояние между точкой A( − 6; − 7) и прямой 2x +6y− 5 = 0. |
|
335. |
Найдите расстояние между точкой A(7;2) и прямой x − 5 |
= y − 2 . |
|
8 |
−7 |
336.Найдите проекцию точки A(11;7) на прямую 3x + y − 10 = 0.
337.Найдите проекцию точки A( − 16; − 6) на прямую x − 13 = y+9.
3 −5
Стр. 35 из 62 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
338. |
Найдите точку, симметричную точке A(3;7) относительно прямой x + 3y − 4 = 0. |
||
339. |
Найдите точку, симметричную точке A(6; − 2) относительно прямой x − 1 = y − 8 . |
||
|
|
1 |
2 |
340. |
Найдите расстояние между параллельными прямыми x − 7 |
= y +21 и |
|
|
−1 |
4 |
|
x +19 = y +2 . |
|
|
|
−2 |
8 |
|
|
341.Найдите расстояние между параллельными прямыми −3x +9y − 12 = 0 и
x− 7 = y +13 .
62
342.Найдите расстояние между параллельными прямыми 6x +2y+32 = 0 и 15x +5y+30 = 0.
Углы между прямыми
343.Найдите угол между прямыми 4x +7y− 2 = 0 и 4x − y − 1 = 0.
344.Найдите угол между прямыми x − 3 = y − 1 и x +9y +3 = 0.
6 |
1 |
|
|
345. Найдите угол между прямыми x − 4 |
= y − 1 |
и x − 4 |
= y +3 . |
1 |
−3 |
−3 |
1 |
346. Найдите угол при вершине A в треугольнике с вершинами A(− 2; − 1), C(1; − 1),
B(1; − 4).
Площади
347.Найдите площадь параллелограмма ABCD, если A(2; − 8), B(3; − 4), D(7; − 5).
348.Найдите площадь треугольника с вершинами в точках A(− 5; − 8), B(1;1),
C(8; − 5).
Аналитическая геометрия
Уравнение прямой
349.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки
A(− 2;1; − 2; − 1;3) и B(4; − 1; − 1; − 4; − 3).
350.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
A(2;8;1;9; − 8) и параллельной прямой x1 = x2 = x3 = x4 − 9 = x5 +5. −3 7 1 −3 −1
351. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(6;4; − 3; − 3) и параллельной прямой, проходящей через точки B(5;8;1;1) и
C(3;14;10; − 3).
Точка пересечения прямых
352. Найдите точку пересечения прямых x − 2 |
= y +4 |
= z − 2 |
и x − 7 |
= y +10 |
= z +3. |
3 |
−2 |
3 |
−4 |
4 |
1 |
Стр. 36 из 62 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
353. Найдите точку пересечения прямой x1 + 7 = x2 − 4 = x3 − 8 и прямой, проходящей
−3 4 3
через точки A(− 3; − 6;4) и B(− 2; − 5;3).
354.Найдите точку пересечения прямых AB и CD, где A(0;3;9), B(9;9;24), C(0;4;1) и
D(1;5;0).
355.Найдите точку пересечения прямой x − 4 = y − 11 = z − 4 и прямой, проходящей
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
через точки A(− 2,1, − 2) и B(7, − 5,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
356. |
Найдите точку пересечения прямых x − 1 |
= y +3 = z − 7 |
и x +6 |
= y − 11 |
= z − 9. |
|||
|
|
−2 |
4 |
−4 |
3 |
|
−6 |
6 |
357. |
Найдите точку пересечения прямой x +3 = y − 2 = z − 2 |
и прямой, проходящей |
||||||
|
|
3 |
−3 |
−4 |
|
|
|
|
через точки A(12; − 13; − 18) и B(3; − 4; − 6). |
|
|
|
|
|
|
||
Взаимное расположение прямых |
|
|
|
|
|
|
|
|
358. |
Выясните, данные прямые x − 55 = y − 50 = z +16 |
и x − 16 = y+4 = z − 2 |
||||||
|
7 |
7 |
−3 |
4 |
5 |
7 |
|
|
совпадающие, параллельные, пересекающиеся или скрещивающиеся. |
|
|
|
|||||
359. |
Выясните, данные прямая x − 24 = y +10 = z − 25 |
и прямая, проходящая через |
||||||
|
7 |
−4 |
6 |
|
|
|
|
|
точки A(17,0,22) и B(24, − 2,29), совпадающие, параллельные, пересекающиеся или |
||||||||
скрещивающиеся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
360. |
Выясните, данные прямые x +25 |
= y − 31 = z +19 |
и x − 24 = y− 14 |
= z +10 |
||||
|
−7 |
6 |
−4 |
−35 |
30 |
−20 |
совпадающие, параллельные, пересекающиеся или скрещивающиеся.
361. Выясните, данные прямая x − 7 = y − 1 = |
z |
и прямая, проходящая через точки |
|
4 |
−2 |
−1 |
|
A(31; − 11; − 6) и B(51; − 21; − 11), совпадающие, параллельные, пересекающиеся или скрещивающиеся.
Задачи на расстояния, проекции, симметричные точки, перпендикуляры
362. Найдите расстояние между точкой A(5;2;5) и осью координат Ox.
363. Найдите расстояние между точкой A( − 4; − 9; − 8) и прямой |
x |
= y+2 = z +2 . |
|
|
−4 |
1 |
−2 |
364.Найдите проекцию точки A(15;13; − 3) на прямую x−+72 = y −1 2 = z−+92 .
365.Найдите точку, симметричную точке A(0; − 10; − 5;3) относительно прямой
x − 5 |
|
y +1 |
|
z − 6 |
|
t +3 |
1 |
= |
−3 |
= |
3 |
= |
−2 . |
366. Нaпишите кaноническое урaвнение прямой, проходящей через точку A(1;7; − 18) и
пересекaющей прямую x − 16 = y − 39 = z − 11 под прямым углом.
5 8 1
Стр. 37 из 62 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
367.Нaпишите кaноническое урaвнение прямой, проходящей через точку A( − 39;0;32)
ипересекaющей прямую, проходящую через точки B( − 2;1; − 7) и C(− 12; − 29; − 12), под прямым углом.
Уравнение плоскости
368.Напишите каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости
x+4y − 6z +4 = 0 и проходящей через точку A(6; − 3; − 2).
369.Напишите каноническое уравнение прямой, перпендикулярной координатной плоскости Oxz и проходящей через точку A( − 6; − 8; − 7).
370.Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точку A(6;6;1) и
|
x +5 |
|
y+6 |
|
z +4 |
перпендикулярной прямой |
9 |
= |
7 |
= |
−8 . |
371.Напишите общее уравнение плоскости, перпендикулярной координатной оси Oy и проходящей через точку A(9;4;2).
372.Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки A(4;0;0), B(0;0;1)
иC(0;6;0).
373.Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки A(− 3; − 1; − 9),
B(− 4;5;9), C(7; − 1;1).
374. |
Напишите общее уравнение плоскости, содержащей прямую x − 5 = y +2 |
= z +6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
4 |
−7 |
|
|
x +3 |
|
y − 5 |
|
z +4 |
|
|
и параллельной прямой |
4 |
= |
5 |
= |
−3 . |
|
|
|
375. |
Напишите общее уравнение плоскости, содержащей прямую x +9 = y − 6 = z − 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
7 |
−1 |
и параллельной координатной оси Ox. |
|
|
|
|||||
376. |
Найдите общее уравнение плоскости, содержащей прямую x − 2 |
= y+1 = z − 7 и |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
перпендикулярную плоскости x − 4y + 3z − 1 = 0. |
|
|
||||||
377. |
Найдите общее уравнение плоскости, содержащей координатную ось Oz и |
|
||||||
перпендикулярную плоскости 8x +7y − 7z +4 = 0. |
|
|
||||||
378. |
Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точки A( − 6;2;6) и |
|||||||
B(2;4;7) и перпендикулярную плоскости −11x +3y +13z +6 = 0. |
|
|
379.Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку A(− 1;0;3) и перпендикулярную плоскостям 3x +3y − z +5 = 0 и 5x +4y − 7z − 1 = 0.
380.Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку A(− 7;8; − 1) и прямую
x+4 = y − 5 = z − 1 .
9 −3 5
381.Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку A(− 7; − 6; − 8) и
координатную ось Oy.
382.Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся
Стр. 38 из 62 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
прямые x − 2 = y+ 2 = z − |
1, x |
= y− |
7 = z − |
9 . |
||
−1 |
1 |
0 |
1 |
6 |
8 |
|
383.Найдите общее уравнение плоскости, содержащей параллельные прямые
x− 8 = y +4 = z − 7, x +3 = y − 6 = z +5 .
3 −6 9 9 −18 27
384. Принадлежат ли одной плоскости точки A(− 2;3;1), B(4; − 3;3),
C(− 4; − 2; − 2), D(− 4;1; − 1)? Если да, то укажите общее уравнение этой плоскости.
Углы между прямыми и плоскостями
385. Найдите угол между прямыми x1 − 1 = x2 − 5 = x3 − 9 = x4 +1 и 6 0 5 5
x1 +2 = x2 − 5 = x3 − 1 = x4 +1. 0 4 2 −1
386. Найдите угол между плоскостями 3x +5y− 4z +2 = 0 и 2x +4y − 4z − 8 = 0.
387. Найдите угол между прямой x +7 |
= y − 2 |
= z − 7 |
и плоскостью |
0 |
3 |
1 |
|
8x +9y+3z +2 = 0. |
|
|
|
Отрезки и лучи
388.Найдите расстояние между точками A(− 2;2; − 4) и B(− 11; − 13; − 7).
389.Найдите длину отрезка с концами в точках A( − 13;0; − 14; − 2) и
B(2; − 6; − 2; − 5).
390.Определите, принадлежит ли точка Q(0;8;0) отрезку с концами в точках A(3;4;4) и
B(− 6;16; − 8).
391.Определите, принадлежит ли точка Q(14; − 9; − 10;1) отрезку с концами в точках
A(4; − 1; − 4; − 1) и B(19; − 13; − 13;2).
392.Определите, принадлежит ли точка Q(− 11; − 22;11) отрезку с концами в точках
A(4; − 2; − 4) и B(− 5; − 14;5).
393.Определите, принадлежит ли точка Q(− 19;6;8;19) отрезку с концами в точках
A(− 4;3; − 1;4) и B(21; − 2; − 16; − 21).
394.Определите, пересекаются ли отрезки AB и CD, если A(− 9;3; − 12; − 3),
B(7; − 13;12; − 3), C(− 19; − 13; − 17; − 11), D(5;2;4;1)?
395.Определите, пересекаются ли отрезки AB и CD, если A(1;2;4; − 1),
B(− 11; − 14; − 20; − 5), C(− 2; − 3;8; − 1), D(5; − 10; − 20;6)?
396.Определите, принадлежит ли точка Q(2;0;2) лучу AB с началом в точке A, если
A(− 1; − 2;1) и B(8;4;4).
397.Определите, принадлежит ли точка Q(1;6;3; − 10) лучу AB с началом в точке A,
если A(5;5; − 2; − 5) и B(− 7;8;13; − 20).
398.Определите, принадлежит ли точка Q(4;1;0) лучу AB с началом в точке A, если
A(5;4;3) и B(9;16;15).
Стр. 39 из 62 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
399. Определите, принадлежит ли точка Q( − 3; − 7;23; − 21) лучу AB с началом в точке
A, если A(5; − 3;3; − 1) и B(7; − 2; − 2;4).
Расстояние между точкой и плоскостью, проекция точки на плоскость и т.д.
400.Найдите расстояние между точкой A( − 7; − 3;2) и плоскостью
5x +2y+2z − 5 = 0.
401.Найдите расстояние между точкой A( − 1,5,5,2) и гиперплоскостью
−3x − 4y +8z +4t − 6 = 0.
402.Найдите проекцию точки A( − 3; − 7; − 1) на плоскость −2x − y+ z +6 = 0.
403.Найдите проекцию точки A(0;17;17;8;14) на гиперплоскость
−x +3y +4z +3t +4r +5 = 0.
404.Найдите точку, симметричную точке A( − 6; − 2;5) относительно плоскости
−4x − 3y +4z +32 = 0.
405.Найдите точку, симметричную точке A( − 10;6;7; − 7) относительно гиперплоскости −4x +3y+5z − 2t +1 = 0.
Расстояние между прямыми и плоскостями
406. |
Найдите расстояние между параллельными прямыми x +4 = y +4 |
= z +4 |
и |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
−12 |
9 |
6 |
|
|
|
x +26 = y +4 = z − 10. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
−24 |
|
|
18 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
407. |
Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми x − 2 = y +7 = z +6 |
и |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
2 |
8 |
|
|
x − 6 |
|
|
y +6 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
= |
6 |
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
408. |
Найдите расстояние между прямой x +28 = y − 25 = z +26 |
и плоскостью |
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
5x − 4y+5z +106 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
409. |
Найдите расстояние между плоскостями −8x − 12y +16z +416 = 0 и |
|
|
||||||||
−6x − 9y +12z +51 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пересечение прямой и плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
||||
410. |
|
|
x +6 |
y − 4 |
z − 5 |
|
|
|
|
|
|
Найдите точку пересечения прямой −24 = |
4 = |
16 |
и плоскости |
|
|
||||||
−3x +3y − 5z − 3 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
411. Найдите точку пересечения прямой x − 5 = y− 3 = z +3 |
и плоскости |
|
|
||||||||
|
|
|
|
8 |
−12 |
2 |
|
|
|
|
|
2x +2y+4z − 4 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
412. |
Найдите точку пересечения прямой x +18 = y − 18 |
= z − 5 |
и плоскости |
|
|
||||||
|
|
|
|
6 |
18 |
−9 |
|
|
|
|
−6x +3y +2z +39 = 0.
Объемы
Стр. 40 из 62 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
413.Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если A( − 4;4;3), A1(3;5;3),
B(2; − 4;0), D(− 1; − 4;2).
414.Найдите объём пирамиды с вершинами в точках A(4; − 3;4), B(2; − 3; − 4),
C(4;0;2), B( − 1;3;2).
Пересечение плоскостей
415.Даны две плоскости 7x − 5y +6z +30 = 0 и 5x +2y+7z +24 = 0. Найдите каноническое уравнение их прямой пересечения.
416.Даны две плоскости 20x − 15y − 20z +75 = 0 и 12x − 9y − 12z +50 = 0. Найдите каноническое уравнение их прямой пересечения.
417.Даны две плоскости 15x − 20y − 25z +85 = 0 и −6x +8y +10z − 34 = 0. Найдите каноническое уравнение их прямой пересечения.
418.Плоскости 2x − 3y + z − 9 = 0 и 2x − 6y− z − 21 = 0 пересекаются по прямой l, а плоскости 7x − 3y +2z − 21 = 0 и −2x +2y − 4z − 2 = 0 — по прямой m. Выясните,
пересекаются ли прямые l и m.
419.Плоскости −6x +6y +3z − 27 = 0 и −6x +3y+4z − 27 = 0 пересекаются по прямой l, а плоскости 36x − 33y − 19z +162 = 0 и −48x +39y +27z − 216 = 0 — по прямой m. Выясните, пересекаются ли прямые l и m.
420.Плоскости 7x − 2y − 6z − 4 = 0 и 5x +4y+4z +7 = 0 пересекаются по прямой l, а плоскости −6x +5y− 6z − 6 = 0 и −20x − 15y +34z +15 = 0 — по прямой m. Выясните,
пересекаются ли прямые l и m.
421. Плоскости −3x + y − 10 = 0 и −x − 3y − z +3 = 0 пересекаются по прямой l, а
плоскости x − 3y− z +9 = 0 и x − 3y + z +3 = 0 — по прямой m. Найдите угол между прямыми l и m.
Выпуклые множества
Построение выпуклой оболочки системы точек
422.Перечислите по порядку все угловые точки выпуклой оболочки набора точек
A(7,2), B(9,5), C(5,1), D(8,1) и E(10,4).
423.Изобразите на чертеже выпуклую оболочку набора точек A(0,8), B(4,6), C(5,6), D(5,5), E(3,11). Отметьте на чертеже её угловые точки и подпишите их координаты.
424.Изобразите на чертеже выпуклую оболочку набора точек A(4,6), B(9,4), C(10,4), D(8,2), E(5,3), F(8,0), G(4,2). Отметьте на чертеже её угловые точки и подпишите их координаты.
Задание выпуклого множества с помощью системы неравенств
425. Изобразите на чертеже выпуклую оболочку набора точек A(1,7), B(− 1,9),
C(− 3,10), D(4,9), E( − 6,1), F(0,8), G(− 2,7). Отметьте на чертеже её угловые точки и подпишите их координаты. Найдите задающую выпуклую оболочку систему неравенств.
426. Изобразите на чертеже выпуклую оболочку набора точек A( − 4,2), B(0, − 2),
C(− 5,1), D( − 4,4), E(− 7,3), F( − 4, − 2), G( − 6, − 4). Отметьте на чертеже её угловые точки и подпишите их координаты. Найдите задающую выпуклую оболочку систему неравенств.