Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

10481

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

6.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Рис.3.19

П		=		O		81
	[;\				ef		Î RÎ
				+		[		]		2 .	(4.4)
			'	Q
Подставляя (4.3) и (4.4) в закон сохранения энергии											П[;\ = E[;\ , получим
формулу Рэлея для определения основной собственной частоты колебаний:
				O	Ú	IP[ \		]-	:\		(4.5)
	= O!Ú![ \ - \ :\ .

При подстановке в (4.5) точного выражения формы колебаний, получим точное значение собственной частоты. Однако, в большинстве случаев, уравнение формы колебаний заранее неизвестно и его задают приближенно. Принимаемая для решения форма собственных колебаний основного тона должна отвечать граничным условиям и не иметь узловых точек. Обобщая (4.5) на системы с распределенной массой m(x) и n сосредоточенными массами ^ , $ = 1,2 … % , получим I формулу


Рэлея:		O!Ú IP[ \ ]-:\
		O!Ú IP[ \ ]-:\		,	(4.6)
	= O!Ú [ \ - \ :\1∑rÛ)m		*r - \r	,

где Î^ - амплитуда колебаний точки с массой ^ в соответствии с принятой формой колебаний Î .

Уравнение формы собственных колебаний Î удобно принимать подобным уравнению прогиба системы от статической нагрузки g Î = g ∙ m x , то есть от действия сил тяжести, соответствующих массе системы. В этом случае получим

II формулу Рэлея:	Oã	ß à á à âà1∑rÛ)m			*r \r
= g								.	(4.7)
	Ú !		-	m		-	\r
	O! [ \			\ :\1∑rÛ) *r

Пример 4.1.1. Определить основную собственную частоту колебаний простой балки с равномерно-распределенной массой (рис. 4.2).

Решение.

а). Зададим форму собственных колебаний точным уравнением:

Î = ]'#$% Q Î.

Вычислим интегралы, входящие в (4.5):

O+Q ef[ Î] RÎ = ]' QFF O+Q #$% Q ÎRÎ = ]' ∙ QFF ∙ Q ,

Q			Q			∙	3	.
ä	Î R Î = ]'		ä #$%	3	ÎRÎ = ]'		2
+			+
Тогда, согласно (4.5),		будем иметь:			= Q-- IP[ = ½,VH½HQ- IP[ .

Получено точное значение основной собственной частоты, так как уравнение собственной формы колебаний задано точно.

б). Зададим форму собственных колебаний в виде уравнения прогиба от

статической нагрузки å = Ùg : Î = CIPæ 35Î − 23Î5 + ÎC .

Вычислим интегралы, входящие в (4.7):

äQy x dx =

qlM

ä l5x − 2lx5 + xC dx =

24EI

24EI ∙ 5

äQ Î RÎ = ¶

Î − 23Î5

+ ÎC RÎ = ¶

3½ .

å · ä 35

24ef

630

Тогда, согласно (4.7), получим:

9,88

24ef ∙ g ∙ 630 ∙ 3M

= 97,55

; =

Ùg ∙ 31 ∙ 5 ∙ 3½

Ù3C

BÙ .

Погрешность

решения б)

в сравнении

с решением

а)

составляет 0,105%.

Формула Рэлея всегда дает несколько завышенное значение собственной частоты.

Пример 4.1.2. Определить основную собственную частоту колебаний простой

балки с двумя сосредоточенными массами (рис. 4.3).

Решение. Зададим форму собственных колебаний в виде уравнения прогиба от статической нагрузки j = Ù g и для определения ' и , входящих в (4.7),

построим эпюры изгибающих моментов от нагрузки и от силы j = 1 (рис. 4.3).

Используя правило перемножения1 2 3 2 g3эпюр1 Верещагина1 1 3 ,2 будемg3 иметь1 :

' = = 2 ∙ 9 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ ef + 2 ∙ 9 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ ef + + 3g3 ∙ 33 ∙ 32 ∙ 93 ∙ ef1 = 1625 ∙ efg35 .

Тогда:

g35

∙

∙ 2

162ef

162

= 5,69B

= g

∙

g35

5 35

;

M ±162

∙ 2

Получено точное значение основной собственной частоты.

Пример 4.1.3. Определить основную собственную частоту колебаний консольной балки (рис. 4.4) жесткостью EI, пролетом l с

равномерно-распределенной массой m и двумя сосредоточенными массами

' = 0,5Ù3, = 0,2Ù3 .

Решение.

Задаем форму собственных колебаний уравнением

Вычисляем интегралы, входящие в (4.5):

= ]' ¶1 − ×# Q

RÎ =

3,038

ä[ Î] RÎ = ä ì]' ¶1 − ×#

]' ;

+,HQ

Ù Î

+,HQ

¶1

− ×#

·ï

;

Î RÎ = ä Ù î]'

RÎ = 0,536Ù3]'

0,63 = ì]' ±1 − ×#

∙ 0,63

³í

;

Î = '

= 0,1698]'

3 = ì]' ±1 − ×#

³í

Î =

= ]' .

Подставляем полученные величины в (4.5) и определяем основную собственную

частоту:			3,038 ∙ A'/35		3,038ef C		efC
= ef			3,038 ∙ A'/35	=	3,038ef C	= 3,701	efC	;
	0,536Ù3]'		+ 0,5ml ∙ 0,1698A' + 0,2ml ∙ A'		0,8209Ù3		Ù3
		ef
= 1,924BÙ3C .

Пример 4.1.4. Определить самостоятельно основную собственную частоту

колебаний следующих систем (рис. 4.5), задаваясь формой собственных колебаний в

виде уравнения прогиба

-в схеме «а»: Î

-в схеме «б»: Î

-в схеме «в»: Î

-в схемах «г» и «д»:

от статической нагрузки å = Ù g :

= æQCIP- Î ¶1 − 2 \Q + \Q--· ;

= CVIPæQ- ¶5 \Q99 − 2 \QFF − 3 \Q--· ;

= HæQ- ¶Î − ' \F· ;

C+IP H Q- j = ∙ g

от статической нагрузки .


Результаты решения:
а) = 22,45		[QIPF		;	б) = 15,45	[QIPF		; в) = 3,59	[QIPF	;
г) = 0,56	*QIP9		;		д) = 0,498		*QIP9	.

4.2.Способ приведенной массы

Вэтом способе система с распределенной массой Ù\ и n сосредоточенными массами ^ (i=1,2,… n) (рис. 4.6) заменяется системой с одной степенью свободы,

пр , сосредоточенную в произвольной точке «а». Законы движения

таких систем описываются уравнением в форме Фурье [5]:
Î, & = Î & ,	(4.8)
где & - функция, определяющая движение системы во времени, а сами системы

считаются динамически эквивалентными. При таком условии, системы должны
иметь одинаковые кинетические энергии E в любой момент времени [5], то есть
e =	1		Q	s	Î^ ô	4.9
e =	2	, & òä Ù Î		Î RÎ + ó ^	Î^ ô	4.9
	2		+	^t'

для заданной системы и

e = ' пр ∙ ; ∙ , &

для системы с одной степенью свободы.

Приравнивая (4.9) и (4.10), получаем

пр = ; = O+Q Ù Î Î

и основной собственной частоты

выражение приведенной массы

RÎ + ∑s ^ Î^

; ^t'

(4.10)

4.11

86
1	,	4.12
= B ;c;;	,	4.12

где õ ö – уравнение собственной формы колебаний; õ öˆ и õ÷ - ординаты формы собственных колебаний в точках, соответственно, где сосредоточена масса

…ˆ и приведенная …÷ ; ø÷÷ - удельное перемещение в точке ÷, где сосредоточена приведенная масса …÷.

Пример 4.2.1. Определить основную собственную частоту колебаний простой балки с равномерно-распределенной массой (рис. 4.2).

Решение.

а) Приведем массу в середину пролета и зададим форму собственных колебаний

точным уравнением: ˜

õ ö = ùÔ‡ˆ‰ ú ö.

Вычислим интеграл, входящий в (4.11):

•

‡ˆ‰

•

ûú

ä û ö õ

ö Œö = ûùÔ

öŒö = ùÔ

•

•ú и ø÷÷:

•

а также õ÷ при ö =

ú—

Тогда:

õ÷ = ùÔ‡ˆ‰ ú

∙ • = ùÔ ,

ø÷÷ = üÓýþ .

…÷ = ù•∙ùÔ• ∙ûúÔ•

= ûú• , † = Ô∙•∙üÓýþû∙ú∙ú—

,ú• Ó

ýþû .

Погрешность решения 0,72% в сравнении с точным решением, приведенным в примере 4.1.1 а.

б) Приведем массу в середину пролета и зададим форму собственных колебаний

уравнением:

õ ö = •üýþÑ ú—ö − •úö— + öü .

Вычислим интеграл, входящий в (4.11):

—Ô

•

ö Œö = û ¶

• ú

—

•

Œö = û

•

ä û ö õ

•üýþ

ä ú

ö − •úö

+ ö

•üýþ

—•

•

а также õ÷ при ö = •ú

и ø÷÷:

ú—

Ñúü

õ÷ = —Óüýþ = Ô

∙ •üýþ

, ø÷÷ = üÓýþ .

• —Ô

Тогда:

…÷ =

û ¶•üýþ·

∙ —• ú

= •,

•—

üÓýþ

ýþ

Ñ ·• ∙

¶ úü·•

ûú , † = B•, •— ûúü =

ú•

Bû .

•üýþ

Погрешность решения составляет 1,11% в сравнении с точным решением,

приведенным в примере 4.1.1 а.

Пример 4.2.2. Определить основную собственную частоту колебаний простой балки с двумя сосредоточенными массами (рис. 4.7).

Решение.

Зададим форму собственных колебаний в виде уравнения прогиба от статической нагрузки j = Ù g и для определения ' и , ; и c;;, входящих в

(4.11) и (4.12), построим эпюры изгибающих моментов от нагрузки и от сил j = 1 и j; = 1 (рис. 4.7).

1 2 3 2 g3 1

1 1

3 2 g3 1

Используя правило перемножения эпюр Верещагина,

будем иметь:

' = =

2 ∙

9 3 ∙

∙ 3

∙ ef +

∙ 9

3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

∙ ef +

∙

g35

;

∙ 3

∙ 9

∙ ef

162 ∙

… ú

•—… ú—

õ÷ =

∙

•

∙

… ú

•

∙ —

—

∙ • ∙ ýþ

+ • ±

+ ü³ ∙ ∙

—

∙ • ∙ = ü ∙ Ô •ýþ .

Тогда: ø÷÷ =

•

ú—

• ∙

∙ • ∙

—

∙ ü ∙ ýþ ∙ • = üÓýþ .

∙

—

•

∙ •

üÓýþ

…÷ =

•

= Ô,

Ô•—

;

∙

—

•

= BÔ, Ô•—…ú— =

—B ú— .

•—

Погрешностьü ∙ Ô

решения•

в сравнении с примером 4.1.2 составляет 1,05%.

Если привести обе сосредоточенные массы в точку «1» или «2», то погрешность

= , Ô• .

будет больше и составит 3,13%, так как в этом случае ú—

Пример 4.2.3. Определить основную собственную частоту колебаний

консольной балки (рис.4.4) с распределенной по длине массой m и

сосредоточенными массами ' = 0,5Ù3 и = 0,2Ù3 .

Решение.

а). Зададим форму собственных колебаний уравнением õ ö = ùÔ ¶Ô − ‡ ˜ö•ú ·

и приведем все массы в точку …Ô.

Вычислим интеграл в (4.1):

+,HQ

Ù Î

Î RÎ =

Ù î]' ¶1

− ×#

·ï

RÎ = 0,536Ù3]'

и õÔ• ö = õÔ• •, ú = •, Ô ÓùÔ•

, õ•• ö = õ•• ú = ùÔ• .

ø÷÷ =

•, ú —

= •, •

•

Тогда:

—ýþ

ýþ .

…÷ =

•, — ûúùÔ• + •, ûú ∙ •, Ô ÓùÔ• + •, •ûúùÔ•

= ü, Ó—ü

ûú

и,

•, Ô ÓùÔ•

= Ô,

= Bü, Ó—ü ûú ∙ •, • •ú—

B úü .

ýþ

б). Приведем все массы в точку …• . В результате решения задачи получим:

= Ô, Ô•B úü .

Пример 4.2.4. Определить самостоятельно основную собственную частоту колебаний следующих систем (рис. 4.5), задаваясь формой собственных колебаний аналогичными примеру (4.1.4), и приводя распределенную и сосредоточенные массы в середину пролета в схемах «а» и «б», на конец консоли в схемах «в» и «г»

и в левый или правый узел в схеме «д».


Результаты решения:
а) = 21,74		[QIPF		;	б) = 15,08	[QIPF		; в) = 3,66	[QIPF	;
г) = 0,55	*QIP9		;		д) = 0,494		*QIP9	.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20236 Mб110477.pdf
#
25.11.20236.02 Mб010478.pdf
#
25.11.20236.03 Mб010479.pdf
#
21.11.2023172.55 Кб01048.pdf
#
25.11.20236.03 Mб010480.pdf
#
25.11.20236.05 Mб010481.pdf
#
25.11.20236.07 Mб010482.pdf
#
25.11.20236.07 Mб110483.pdf
#
25.11.20236.07 Mб010484.pdf
#
25.11.20236.07 Mб010485.pdf
#
25.11.20236.07 Mб110486.pdf