10307

определяет гиперболу, вершины и фокусы которой лежат на оси Oy . Эта

гипербола называется сопряжённой по отношению к гиперболе (25.3). Они имеют одинаковые асимптоты (рис. 26.6).

Рис. 26.6

190

Для знакомого по школьной программе уравнения параболы y = x2 выполним тот же поворот на угол j = 900 (рис. 26.7) и получим в новых координатах каноническое уравнение xў= yў2 .

Рис. 26.7

Для приведения уравнения xy 3 к каноническому виду рассмотрим по-

проделав соответствующие преобразования, получим в новой системе коор-

асимптотами являются исходные оси координат O x и Oy (рис. 26.8).

Итак, преобразования поворота и (или) параллельного переноса осей координат используются для того, чтобы уравнение (26.2) в новой системе координат приобрело канонический вид. Проанализируем возникающие ситуации. Для этого рассмотрим коэффициенты A и C при квадратах переменных в канонических уравнениях основных линий и найдём их произведение. Для

AC 0 . Остальные виды канонических уравнений можно распределить по типам таким образом, чтобы для каждого из уравнений первого типа число AC было положительно, отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа.

191

Рис. 26.8

Тогда получаем классификацию:

III. Параболический тип

6)y2 = 2 px (парабола),

7)y2 = a2 (пара параллельных прямых),

8)y2 = 0 (прямая),

9)y2 = - a2 (пустое множество).

192

Полученную классификацию можно использовать в любой задаче, связанной с уравнением второго порядка – даже если, например, в нём B 0 . Оказывается, по исходным коэффициентам уравнения (26.2), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому типу от-

Итак, мы проделали необходимую работу, чтобы полностью разобраться с построением линий во всех ситуациях, к которым приводит уравнение второго порядка (26.2). Сначала определяем тип линии, задаваемой уравнением. Далее приводим его к каноническому виду, выполняя рассмотренные преобразования координат.

193

Лекция 27. Поверхности второго порядка

Переходим к изучению поверхностей в трехмерном пространстве. Будем рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x , y и z или их взаимное произведение.

Уравнение вида

где коэффициенты A, B,C, D, E ,F ,G , H , K иL — любые действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел A, B или C отлично от нуля (т.е.

A2 B2 C2 0 ), называется общим уравнением поверхности второго

порядка.

Также как и для кривых второго порядка, для поверхностей второго порядка существует полная классификация. С помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат (теперь уже выполняемых в пространстве) любое уравнение второго порядка может быть приведено к одному из семнадцати видов. Этим уравнениям в пространстве отвечают классические поверхности: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, эллиптический и гиперболический параболоиды, а также целая группа поверхностей, называемых цилиндрическими.

27.1. Цилиндрические поверхности. Поверхность, состоящая из па-

раллельных прямых (так называемых образующих), проходящих через каждую точку заданной линии L (направляющей), называется цилиндрической поверхностью. Образно можно представить, что цилиндрические поверхности образуются движением прямой, которая перемещается в пространстве вдоль кривой L , сохраняя постоянное направление (рис. 27.1).

В качестве направляющей цилиндрической поверхности рассмотрим расположенную в плоскости xOy линию L , которая задаётся уравнением

F(x, y) 0 . Пусть M0 (x0 , y0 ,0) – произвольная точка направляющей (рис. 27.1). Тогда F (x0 , y0 ) 0 . Если рассматривать цилиндрическую поверх-

ность, образующие которой параллельны координатной оси Oz , то уравнение образующей, проходящей через точку M0 (x0 , y0 ,0) , примет вид

y y0

194

Рассмотрим произвольную точку M (x0 , y0 , z0 ) этой образующей. Её координаты удовлетворяют уравнению F (x, y) 0 при любом значении переменной z . Точка M0 (x0 , y0 ,0) выбиралась произвольно, поэтому можно

утверждать, что координаты всех точек цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению F (x, y) 0 .

Рис. 27.1

Ясно, что уравнение вида F (x, z) 0 задаёт цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oy , а уравнение вида F ( y, z) 0

задаёт цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси

O x .

Рис. 27.2

Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то поверхность называется цилиндрической поверхностью

195

второго порядка (или цилиндром второго порядка). В зависимости от конкретного вида уравнения получаются различные типы цилиндров второго порядка. Их названия соответствуют названиям направляющих линий L .

Например, уравнение x2 y2 1 задаёт в пространстве цилиндриче- a2 b2

скую поверхность с образующими, параллельными оси Oz . Его направляющей является эллипс, а поверхность, задаваемая этим уравнением, называется эллиптическим цилиндром (рис. 27.2). Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его уравнение в канониче-

ский цилиндр (рис. 27.3).

Рис. 27.3

27.2. Поверхности вращения образуются вращением какой-либо плоской линии L (образующей) вокруг прямой (оси поверхности враще-

ния), расположенной в плоскости этой линии. Примером служит сфера: её можно рассмотреть как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг её диаметра. Покажем, как можно получить уравнение поверхности вращения, исходя из уравнения образующей (лежащей в одной из координатных плоскостей) и уравнения оси вращения (совпадающей с одной из координатных осей, расположенных в той же плоскости).

196

Будем вращать расположенный в плоскости yOz эллипс с уравнением

y2 z2 1 вокруг координатной оси Oz . Полученную поверхность рассе- b2 c2

чём плоскостью, параллельной координатной плоскости xOy и проходящей через фиксированную точку O (0, 0, z) (рис. 27.4).

Рис. 27.4

Пусть M (x, y, z) – произвольная точка поверхности вращения, лежащая в плоскости сечения. Рассмотрим в плоскости yOz точку поверхности M (0, y , z) . Её ордината по абсолютной величине равна радиусу окружности, на которой лежит точка M (x, y, z) , т.е. O M O M , поэтому x2 y2 y 2 . Находящаяся в плоскости yOz точка M (0, y , z) принадлежит и плоскости сечения, и исходному эллипсу. Это означает, что её координаты

197

Рис. 27.5

От этих примеров нетрудно перейти к алгоритму получения уравнения поверхности вращения по уравнению исходной кривой, если осью вращения служит одна из координатных осей. В уравнении кривой слагаемое с переменной, наименование которой совпадает с наименованием оси вращения, останется без изменения, а квадрат другой переменной заменяется на сумму квадратов этой переменной и переменной, отсутствовавшей в уравнении.

198

Лекция 28. Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Теперь перейдем к другим поверхностям второго порядка, определяемым общим уравнением

Ax2 By2 Cz2 2Dxy 2Exz 2Fyz 2Gx 2Hy 2Kz L 0.

Каждая поверхность может быть построена по её уравнению методом сечений. Проследим, как образуются поверхности второго порядка, проявляясь постепенно по мере стыковки разных сечений.

Уравнение сечения этой поверхности координатной плоскостью xOz полу-

виду уравнения мы узнаём эллипс и можем изобразить его в соответствующей плоскости (рис. 28.1).

Рис. 28.1

При x 0 из (28.1) получаем уравнение другого эллипса, располагающегося в плоскости yOz и имеющего те же точки пересечения с осью

Oz , что и первый эллипс: y2 z2 1. Рисунок дополняется эллипсом в b2 c2

плоскости xOy (рис. 28.2).

199