10306

Обратим внимание на то, что число столбцов первого сомножителя должно

равняться числу строк второго сомножителя.

Отсюда видно, что A B B A . И, вообще, из существования произведения A B совсем не следует существование произведения B A .

где на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, играет роль «единицы» в алгебре матриц, ибо A E E A , например:

1.4. Матрицы и линейные преобразования. Для «оправдания» опре-

деления операции умножения матриц рассмотрим связь между матрицами и

линейными преобразованиями.

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат xOy . Поставим в соответствие произвольной точке плоскости с координа-

тами (x, y) точку x , y плоскости x O y , координаты которой определяются следующими линейными соотношениями

x a11x a12 y ,

y a21x a22 y

11

задающими так называемое линейное преобразование плоскости. Оче-

видно, что такое преобразование однозначно определяется его матрицей

Рассмотрим несколько примеров таких преобразований. Пусть преобразование задано следующим образом:

вдоль оси Oy (или к оси Ox ) с коэффициентом 1 (см. рис. 1.1).

вдоль оси Ox (или к оси Oy ).

В качестве упражнения напишите формулы преобразования, которое произвольную точку «переводит» в точку, симметричную ей относительно начала координат, и получите соответствующую матрицу.

12

A B C A B C

A B A B A B

A B C A C B C .

Определим операцию транспонирования матрицы как замену в ней строк на соответствующие столбцы и наоборот

Матричные операции позволяют, в частности, компактно записывать так называемые квадратичные формы, т.е. выражения вида

Далее мы продолжим изложение матричной алгебры и определим операцию обращения квадратной матрицы, но прежде нам потребуется ввести понятие определителя матрицы.

14

Лекция 2. Правило Крамера и определители матриц

Удачные обозначения обладают утончённостью и будят мысль, порой делая это, кажется почти так же, как искусный учитель.

Бертран Рассел (1872-1970гг.)

2.1. Системы двух уравнений с двумя неизвестными. Уже при ре-

шении уравнения первой степени

a x b

возможны три случая:

если a 0 , то уравнение имеет единственное решение x b a ;

если a 0 и b 0 , то уравнение не имеет решения;

если a 0 и b 0 , то уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.к. равенство 0 x 0 выполняется при любых значениях x .

Оказывается, что такие же случаи имеют место при решении системы

уравнений с большим числом неизвестных. В стандартной записи система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид

части уравнений c1 и c2 – заданные действительные числа.

Решением системы (2.1) называется такая пара чисел x , y , ко-

торая оба уравнения системы (2.1) обращает в тождества. В этом случае говорят, что пара чисел ( , ) «удовлетворяет» системе уравнений (2.1), а си-

стема уравнений называется совместной. Если система уравнений не имеет решений, то она называется несовместной. Эта терминология относится к системам произвольного числа уравнений.

Существует несколько способов нахождения решения системы, если оно существует. Проделаем следующие операции:

В результате получим

x(a1b2 a2b1 ) c1b2 c2b1 .

15

Если число a1b2 a2b1 0 , то

Формулы (2.2) и (2.3) достаточно громоздки, и от их вида «в глазах рябит». Вот здесь и приходят на помощь те «удачные обозначения», о которых говорил Б. Рассел. Выпишем коэффициенты при неизвестных в виде следующей матрицы:

Число ( A) a1b2 a2b1 называется определителем матрицы A и обозначается следующим образом:

Для удобства в обозначение определителя включена матрица, которой он соответствует.

Вычислим ещё два определителя матриц, полученных из матрицы A путем замены ее первого и соответственно второго столбца на столбец правой части системы, т.е.

Тогда формулы (2.2) и (2.3) в случае, когда 0 , можно представить в виде

Эти формулы связаны с именем швейцарского математика Г. Крамера (1704-1752гг.). Сама идея определителя появилась ещё у Г. Лейбница (16461716гг.), а название дал в 1812г. О. Коши (1789-1857гг.). Это название довольно естественно: определители , x и y полностью определяются си-

стемой уравнений и, наоборот, по заданным определителям (в принятых обозначениях) можно «восстановить» систему уравнений.

Исследуем полученные формулы. Будем предполагать, что не все коэффициенты при неизвестных одновременно равны нулю. В противном случае система (2.1) примет вид

Тогда, если c1 c2 0 , то решением является любая пара чисел; если же хотя бы одно из чисел c1 или c2 отлично от нуля, то система (2.4) не имеет реше-

ний и называется несовместной.

Учитывая принятые обозначения для определителей, имеем два уравне-

ния

при условии, что не все входящие в эти уравнения определители равны нулю, или одно из этих уравнений, если все эти определители равны нулю.

Отсюда получаем следующие утверждения:

если определитель 0 , то система имеет единственное решение,

определяемое по формулам Крамера

y отличен от нуля, то система несовместна (пусть, для определённости,

17

Отметим, что определитель обращается в нуль, когда a1b2 a2b1 0 , т.е.

то система имеет бесчисленное множество решений.

Эти утверждения становятся очевидными, если вспомнить, что каждое уравнение первой степени задаёт прямую в плоскости xOy , и решить си-

стему (2.1), значит найти общие точки двух прямых. В первом случае прямые пересекаются в одной точке, координаты которой и будут решением системы, во втором – прямые параллельны (решения нет) и, наконец, в третьем случае прямые совпадают, и координаты любой точки на этой общей прямой будут решением системы.

2.2. Системы трех уравнений с тремя неизвестными. Выше мы по-

казали, как вычисляется определитель матрицы второго порядка

Для вычисления определителя матрицы третьего порядка

18

нам потребуются понятия минора и алгебраического дополнения.

Пусть мы выбрали некоторый элемент aij (этот элемент стоит на пересечении строки i со столбцом j ; пара i j его «адрес» в матрице). Вычеркнем теперь строку i и столбец j , где стоит этот элемент, и получим опре-

делитель второго порядка. Его называют дополнительным минором элемента aij (или просто минором) и обозначают Mij . Алгебраическим до-

полнением элемента aij назовем величину

Aij ( 1)i j Mij .

Таким образом, алгебраическое дополнение – это минор с соответствующим знаком (+) или (–). Знаки алгебраических дополнений элементов определителя легко определяются просто «глядя» на этот определитель. При этом полезно иметь в виду следующую схему

,

где знаком (+) отмечены места тех элементов, алгебраические дополнения которых равны минорам, взятым с их собственными знаками.

Теперь мы можем дать правило вычисления определителя мат-

рицы третьего порядка

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = ( A) ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ai3 Ai3 , i 1, 2,3,

a31 a32 a33

т.е. определитель равняется сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения. Это правило называют разложением определителя по элементам строки.

Оказывается, что разложение по столбцам дает тот же результат:

Где гарантия, что в результате будет получаться одно и то же число? Оказывается, что справедливо следующее утверждение.

19