10300

Для того чтобы произведение двух сомножителей, один из которых стремится к бесконечности, стремилось к нулю, необходимо стремление к нулю второго сомножителя, откуда имеем

Если при x также существует наклонная асимптота, то ее параметры находятся по аналогичным формулам с заменой x на

соответствующей асимптоты нет. Например, функция y x2 не имеет асимптот. Или другой пример: для функции y x ln x имеем

т.е. у этой кривой нет наклонной асимптоты. Теперь приведем пример кривой, имеющей наклонную асимптоту

169

12

10

8

4

2

0

Рис. 23.9

23.4. Примерный план исследования функции. Приведём краткий перечень вопросов, на которые нужно ответить при исследовании функции.

1.Область определения. Чётность, нечётность, периодичность. Исследование в окрестности точек разрыва (возможны вертикальные асимптоты). Точки пересечения с осями, поведение на бесконечности (возможны горизонтальные асимптоты).

2.Экстремумы. Интервалы возрастания и убывания (различать «гладкие» экстремумы и «остриё» или излом).

3.Точки перегиба, интервалы выпуклости (полезно вычислить производную в точке перегиба)

4.Наклонные асимптоты.

Заметим, что перечисленный порядок вопросов совсем не обязательный.

170

Лекция 24. Кривизна. Приближённое решение уравнений

24.1.Понятие кривизны.Одна и та же кривая в разных точках искривлена по-разному. Например, синусоида в точках пересечения с осью абсцисс почти прямая, а в вершинах дуг наиболее искривлена. Более того, на различных участках она искривлена в разном направлении. Нельзя ли как-то определить кривизну в данной точке кривой? Оказывается можно. Для этого определим сначала среднюю кривизну некоторого участка кривой.

Пусть при перемещении точки по кривой из положения M1 в положение M 2 касательный вектор повернётся на угол . Обозначим

пройденное расстояние через s . Ясно, что есть функция s (см. рис.

24.1).

171

Рис. 24.1

Отношение

k

s cp

назовём средней кривизной участка кривой s .

Рассмотрим некоторые примеры. Перемещение точки вдоль прямой на расстояние s не меняет направления касательного вектора, т.е. 0 . Таким образом, средняя кривизна любого участка прямой линии равна нулю, что не противоречит здравому смыслу.

Пусть теперь точка «прошла» некоторую дугу s окружности радиуса R . Поскольку длина дуги окружности с центральным углом равна

s R , то средняя кривизна любой части окружности равна

1 kcp s R s R

Рис. 24.2

Естественно теперь ввести понятие кривизны в данной точке как предел средней кривизны, когда длина участка s стремится к нулю

172

т.е. кривизна равна производной угла поворота касательного вектора по длине кривой.

24.2. Вычисление кривизны плоской кривой.Для вывода формулы кривизны кривой y f (x) продифференцируем по переменной s равенство,

выражающее геометрический смысл ее производной

(s) arctg yx .

Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим

Из этой формулы видно, что при больших значениях x кривизна параболы близка к нулю, т.е. парабола «выпрямляется», а наибольшая кривизна будет

вначале координат и равна 2 .

24.3.Геометрический смысл кривизны. Назовем радиусом кривизны для кривой в заданной точке величину R 1k . Используя

формулу кривизны k R1 для окружности радиуса R , дадим следующую

геометрическую интерпретацию радиуса кривизны произвольной кривой. Пусть кривизна в данной точке равна k . Через эту точку проведем окружность той же кривизны с центром на нормали к кривой в этой точке.

173

Рис. 24.3

В начале координат k(0) 1. Кривизна отрицательна, так как кривая

окружности расположен в начале координат.

Свойство кривизны изменять своё значение вдоль кривой используется, например, при сопряжении прямолинейных участков железнодорожных путей с закруглениями. Допустим, что прямолинейный участок примыкает к участку, имеющему вид дуги окружности. Причем они в точке соединения имеют общую касательную, т. е. соединение гладкое. Но при движении поезда в этой точке мгновенно возникнет центробежная сила, создавая резкий толчок, что нежелательно. Поэтому такие участки соединяют с помощью некоторой переходной кривой. Вдоль неё кривизна постепенно нарастает от нулевого значения до величины обратной радиусу закругления. Аналогичная ситуация наблюдается при конструировании различного рода зубчатых зацеплений.

корней x1 2 , мы только указали математическую операцию, с помощью

которой этот корень можно вычислить. Поэтому возникает необходимость приближённого вычисления корня данной функции. Обычно задают

174

допустимую погрешность , с которой этот корень нужно вычислить. Это

нашего уравнения. Покажем, что других корней в этом промежутке нет.

функции один раз пересечёт ось Ox , переходя от отрицательного значения к положительному значению. Иногда эту процедуру «отделения» корня

Абсцисса точки их пересечения и есть искомый корень (см. рис. 24.4). В нашем случае из рисунка видно, что корень расположен в промежутке 0,6 0,8, т. е. мы ещё сузили промежуток, где находится корень. Далее

применим так называемый метод деления отрезка. Вычисляем значение функции в средине отрезка f (0,7) 0,343 0,300 0,043 0 и на одном

из его концов, например, f (0,6) 0,36 0,6 0,4 0,184 0 .

Следовательно, корень находится в промежутке 0,6 0,7 , т. е. корень вычислен с точностью до 0,1. Ясно, что эту процедуру уточнения значения корня можно продолжить, но она требует слишком большого количества вычислений.

Познакомимся с методами, которые быстрее ведут к цели. Но для их применения нужна дополнительная информация о поведении функции в промежутке, на котором изолирован корень. Заметим, что вторая производная функции f (x) 6x 0 положительна, следовательно, график

функции в промежутке 0,6 x 0,7 имеет вид (см. рис. 24.5)

Рис. 24.5

Если провести хорду АВ , то точка a1 пересечения хорды с осью Ox даст

очередное приближение к искомому корню слева. Приближение справа можно получить, найдя точку пересечения b1 касательной (проходящей

176

f (0,681) 0,003 0, f (0,683) 0,002 0 .

Значения функции на концах промежутка [0,681; 0,683] оказались разных знаков. Значит, мы вычислили корень с точностью 0,002 . Если же в качестве приближённого значения корня взять среднее арифметическое

(a1 b1) / 2 0,682 , то корень будет вычислен с точностью 0,001.

Рис. 24.6

Эту процедуру уточнения корня методом хорд и касательных можно продолжить, однако с методом касательных нужно быть внимательнее. Построив касательную не в той точке промежутка, можно не приблизиться к корню, а удалиться от него (см. рис 24.6). На рисунке хорды проведены пунктирной линией. Анализ возможных ситуаций показывает, что касательную нужно проводить из той точки кривой y f (x) , в которой

знак функции совпадает со знаком второй производной.

177

Раздел 5. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 25. Линии второго порядка

До сих пор в аналитической геометрии мы изучали прямые и плоскости, в уравнения которых переменные x , y и z входят в первой

степени. Сейчас переходим к рассмотрению кривых на плоскости, задаваемых более сложными алгебраическими уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x и y или их взаимное произведение.

Уравнение вида