10297

Если и –четные неотрицательные числа, то степени синуса и косинуса понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью формул:

Если под интегралом функции sin x и cos x содержатся только в четных степенях, то используется подстановкаt tg x с применением формул

функция синуса и косинуса, можно привести к интегралу рациональной

221

дроби (правильной или неправильной)с помощью универсальной

тригонометрической подстановки

t tg 2x , x .

В этом случае sin x и cos x выражаются по известным тригонометрическим формулам через новую переменную t следующим образом:

Заметим, что применение универсальной подстановки часто приводит к достаточно громоздким выражениям, поэтому использовать ее нужно только после того, как исчерпаны другие возможности.

Лекция 31. Комплексные числа

222

31.1. Введение.Вспомним, как развивалось понятие числа, начиная от чисел натуральных до чисел действительных. Если операция сложения во множестве натуральных чисел выполнима без ограничений, то операция обратная сложению, т.е. решение уравнения a x b , выполнима только при b a . Если отказаться от этого ограничения, то получатся «новые» числа – отрицательные. Так «родились» целые числа, во множестве которых сохранены все свойства суммы и обратная операция – разность, результатом которой является число x b a .

Во множестве натуральных чисел также не всегда разрешима задача, обратная операции умножения, т.е. решение уравнения a x b . Для её решения необходимо и достаточно, чтобы b было кратно a . Возникла необходимость расширения множества целых чисел до чисел рациональных. В этом множестве обратная операция – деление, результатом которой является число x b : a , разрешима с ограничением a 0 . Для рациональных чисел сохраняются свойства операций сложения и умножения.

Оказалось, что во множестве рациональных чисел не всегда разрешима задача извлечения квадратного корня из положительного числа,

например, неразрешимо уравнение x2 2 0 . Число 2 , которым мы привычно обозначаем один из корней этого уравнения, число – иррациональное. Это число «должно» бы выражать длину диагонали квадрата со стороной равной единице. Но среди известных чисел, с помощью которых можно выразить длину диагонали, такого числа не нашлось. Такие числа назвали иррациональными, т.е. невыразимыми. Это открытие было сделано во времена Пифагора (580–500 г. до н.э.). Позднее, примерно через 1000 лет, латинские слова рациональный и иррациональный стали связывать со словом рацио – разум. В средневековой математической культуре возник новый термин вместо «иррациональный» – surdus (глухой или немой), т.е. такое число, когда немой его не может высказать другому, а второй (глухой) не может выслушать первого. Сопротивление «разума»

числа.Определим «новое» число –«мнимую единицу» i , квадрат которого равен 1, т.е. i 2 1. Расширим множество действительных чисел, вводя числа вида z x iy , которые будем называть комплексными. Число x Re z Re(x iy) называютдействительной (лат. realis– действительный) частью комплексного числа, а число y Im z Im(x iy) его мнимой (лат. imaginarius – мнимый) частью.

31.2.Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Комплексные числа удобно изображать точками плоскости xOy , с

223

декартовой системой координат, которую в этом случае называют комплексной плоскостью. Ось абсцисс этой плоскости называют действительной осью – ей отвечают действительные числа z x , а ось ординат – мнимой осью. Числа z iy , лежащие на мнимой оси, называют

чисто мнимыми.

Два комплексных числа z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2 равны тогда и только

тогда, когда x1 x2 и y1 y2

Сопряжённым к данному комплексному числу z x iy назовем число z x iy , которое обычно помечается чертой сверху. Сопряжённые комплексные числа отличаются знаком мнимой части. Если z x iy , то z x iy . Сопряжённые числа симметричны относительно действительной оси (см. рис. 31.1).

Рис. 31.1

31.3.Тригонометрическая форма комплексного числа. Наряду с

алгебраической формой комплексного числа z x iy введем его

тригонометрическую форму. Будем интерпретировать комплексное число z x iy как радиус-вектор точки (x, y) .Модулем r комплексного числа

системы уравнений

224

Рис. 31.2

От алгебраической формы комплексного числа легко перейти к его тригонометрической форме

рис. 31.2). Таким образом,

z1 i 2(cos 54 i sin 54 ) .

31.4.Операции над комплексными числами. Начнем со сложения. Суммой (разностью) двух комплексных чисел z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2

называется комплексное число z z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )

Рис. 31.3

Заметим, что это соответствует правилу сложения векторов (см. рис. 31.3).

225

Произведением комплексных чисел называется число

(x1 iy1 ) (x2 iy2 ) (x1x2 y1y2 ) i(x1 y2 x2 y1 ) .

Найдём произведение двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 )

r1 r2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 ))

r1r2 (cos( 1 2 ) i(sin( 1 2 )) .

Таким образом, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули нужно перемножить, а аргументы сложить.

Геометрический смысл умножения на комплексное число

z r(cos i sin )

состоит в том, что происходит «растяжение» плоскости с коэффициентом r и поворот на угол . Благодаря этим свойствам комплексных чисел с их помощью удаётся решать задачи теории упругости, связанные с деформацией твёрдых тел, а также изучать движение жидкостей и газов.

Пример.Найти произведение чисел z1 2(cos(30 i sin30 ) и

z2 2(cos(120 i sin120 ).Умножение в тригонометрической форме даёт

увеличилась в два раза и он «240повернулся» на угол300 120 (см. рис. 31.4).

226270

Чтобы получить частное двух комплексных чисел, нужно умножить и числитель и знаменатель дроби на число сопряжённое знаменателю и отделить вещественную и мнимую части.

Найдём частное двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

r1 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )) r2

r1 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )). r2

Итак, модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Представим каждое из этих чисел в тригонометрической форме:

Тогда частное равно z1 / z2 2(cos1500 i sin1500 ) 3 i (см. рис. 31.5).

227

Определим операцию возведения в степень комплексного числа. По правилу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме для всякого натурального числа n имеем

zn rn (cos n i sin n ) .

В частном случае, когда модуль числа равен единице, получается формула, носящая имя английского математика А. Муавра (1667-1754)

(cos i sin )n cos n isin n .

Эта формула служит источником для получения многих замечательных соотношений, связывающих тригонометрические функции. Например, при n 2 имеем равенство

cos2 2isin cos sin2 cos2 isin 2 .

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем известные формулы для синуса и косинуса двойного аргумента

228

Лекция 32. Решение алгебраических уравнений

32.1. Извлечение корня из комплексного числа.Число z называется корнем n -ой степени из комплексного числа a , если zn a . Эта операция – обратная возведению комплексного числа в целую положительную степень. Во множестве вещественных (действительных)

Два комплексных числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное 2 , т.е.

rn | a |, n 2 k, k 0, 1, 2, .

Поэтому все корни имеют один и тот же модуль r n | a | , а аргументы этих корней определяются по формуле

Убедимся, что число корней конечно и равно показателю n степени уравнения. Действительно, представляя искомые корни в тригонометрической форме

видим, что в силу периодичности тригонометрических функций достаточно ограничиться значениями k 0, 1, 2, , n 1. Если k целое

отрицательное, то мы не получим новых корней, так как