9946

где

Дифференцируя (2.16) и внося производные в первое уравнение (1.2), имеем:

. (2.17)

Выражение в первой скобке может быть записано так:

.

Аналогично можно преобразовать и другие два уравнения (1.2), но можно и сразу написать результат, сделав круговую подстановку букв.

Итак, приходим к следующей системе основных уравнений метода перемещений теории упругости:

. (2.18)

Эти уравнения носят название уравнений Ляме. Они являются синтезом статического, геометрического и физического обследований задачи.

Поверхностные условия также можно преобразовать, выразив напряжения через перемещения.

Подставив в первое уравнение (1.4) на место напряжений выражения для них в форме

(2.16), имеем:

40

. (2.19)

Уравнения (2.18) совместно с условиями на поверхности (2.19) позволяют перейти к решению задач теории упругости в перемещениях.

Решения задач в напряжениях

В противоположность приему, когда во всех преобразованиях преследовали цель выразить неизвестные через перемещения, можно поставить другую: все выражать через напряжения. Сообщим окончательные результаты и ограничимся случаем статического равновесия тела при условии отсутствия объемных сил или их постоянства.

Трех условий равновесия (1.2) недостаточно, и надо обратиться к условиям неразрывности деформаций (1.17,а) и (1.17,б). Так как в последние входят деформации, их необходимо выразить через напряжения с помощью (1.24). Выполнив эту подстановку и пользуясь одновременно уравнениями равновесия (1.2), уравнения неразрывности преобразуют к следующему виду (уравнения Бельтрами-Митчелла):

41

Таким образом, для решения задачи придется проинтегрировать девять уравнений (1.2), (2.20), а входящие в общие решения этих уравнений произвольные функции определить из условий на поверхности (1.4).

Пример выполнения задачи № 1 «Плоская задача теории упругости» расчётной работы

Условия задачи.

Из тела, находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см.

Схема закрепления пластины.

Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой

Ф (х,у)=а1 х3 у+а2 х3 +а3 х2 у+а4 х2 +а5 ху+а6 у2 +а7 ху2 +а8 у3 +а9 ху3 ,

принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.

1.Найти общие выражения для напряжений σх, σу, τху (объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.

2.Определить выражения для перемещений U и V.

3.Показать графически перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме (для наглядности

42

изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин). Значение U и V свести в таблицу.

Дано : а =1/3, а 4 = 1

Е=0,69*10 6 кг/см 2

µ = υ=0,33

Решение.

1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению.

Ф(х,у)=

Поскольку производные:

Ф

0

Ф

0

Ф

0

Т. о., бигармоническое уравнение удовлетворяется тождественно.

2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю^

3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям и проверяем равновесие пластины:

43

Составим уравнения равновесия для равнодействующих напряжений (буквой N обозначены равнодействующие нормальных напряжений, буквами Т – касательных).

Определим значения равнодействующих:

N1= 8,67·20·1=173,4 кгс

44

N2=4,67·20·1=93,4 кгс

Т1=Т2=Т3=Т4= 6,67·10·1=33,35кгс

Т5=Т6=6,67·20·1=133,4кгс

Уравнения равновесия:

Σх=0

Т4 -Т3 -Т2 +Т1=0

0=0 (верно)

Σy=0

-Т5 -Т6 +N2 +N1 =0

0=0 (верно)

Σ M=0

M (T4)-M(T1 )-M (T3 )+M(T2)=0

0=0 (верно)

Все уравнения удовлетворяются, т.е. пластина находится в равновесии.

4. Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.

В этой точке напряжения в основных площадках: σ х =0, σ у =-1,33, τ ху =3,33,

Найдем главное напряжение по формуле:

=-0,665 ± 3,396

σmax = σ I =2,731 кгс/см 2 =0,273 МПа

σmin = σ II = -4,061 кгс/см 2=-0,406 МПа

Находим направление главных осей.

45

α I =39,36 o

αII =-50,64 o

6. Определяем компоненты деформаций, пользуясь законом Гука:

7. Находим компоненты перемещений, пользуясь соотношениями Коши:

Интегрируем полученные выражения

Где φ (у), φ (х) – некоторые функции интегрирования

46

или

После интегрирования получим

где с 1 и с 2 – постоянные интегрирования

С учетом получения выражений для φ (у) и ψ (х) компоненты перемещений имеют вид

Постоянные с1, с2 и с определяем из условий закрепления пластины:

1)В точке 9 (при x=0 и y=0) v =0. Получаем для с1

2)В точке 5 (при x=10 и y=-10) v =0. Получаем выражение для с

3)В точке 5 (при x=10 и y=-10) u =0. Получаем выражение для с2

Окончательные выражения для функций перемещений u и v

Покажем деформированное состояние пластины, определив для этого перемещение в 9-ти точках.

47