Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9925

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

	3 2
										3221
										3221

1.7.	A 6 4, B											.
1.7.												.
									1587

	51

	В задачах 1.8 - 1.15 вычислить произведения матриц.
	4 3 6 1												1 3	1	4
	4 3 6 1
													2 0 4		4
1.8.								.				1.9.	2 0 4		4	.
1.8.								.				1.9.				.
	2 5 7 2

													1 2 3 2

							2 1						1 1 2		4			3			6
							2 1						1 1 2		4
																				0	1
	2 5 3																			0	1
							3 4
1.10.							3 4					1.11.	2 0 3 3								.
1.10.									.			1.11.								4	.
	1 102																			4	2

						6 0							1 2 4 7

																			1 7


	3 4																	1 3
				1 2 4 3

	1 2												4 1 2 5					2 1
1.12.										.		1.13.									.
1.12.										.		1.13.									.
	5 7		4 2 2 1										2 0 3 7 0 2


	3 0																3				4

	a	a a						a1 a					1 2 3 9 0 0

1.14.	1 1 1 a 1 a											1.15.	0 4 5		8 7 0
1.14.											.	1.15.									.

	a a a a1 a												0 0 6 6 5 4

	В нижеследующих задачах 1.16 - 1.23 вычислить произведения
матриц A AT .
											1	2					1 2 3
	A 3 2 1										1	2
1.16.	A 3 2 1							1.17.			A	.		1.18.	A			4 5 6
1.16.					.			1.17.				.		1.18.							.
											3	4
																	7 8 9

		0 0 3									1 0 0								3 0 3

1.19.	A 0 5 0							.	1.20.		A 0 1 0			1.21.	A				0 5 0			.
1.19.								.	1.20.				.	1.21.								.

	7 0 0										0 0 1							7 0 5

		1 2 3												1 2 0


1.22.	A 0 5 0											1.23.	A	3 5 7
1.22.								.				1.23.						.

	7 0						2						4 1 2

§2. Определители матриц

	В задачах 1.24 - 1.29 вычислить определители матриц.

			1 4								1		2						cos sin
1.24.					.		1.25.									1.26.

			5 2						2 4					.									.
			5 2						2 4										sin cos

	a 1							a 1 b c
	a 1							a 1 b c										a 1
1.27.					.		1.28.									1.29.
			2							2
			2	a						2				.						.
			a	a				a a abac									a				a
																	a				a
	Решить следующие уравнения:
		2 x 4 0										1 4			0				x 1 5 0
		2 x 4 0										1 4			0				x 1 5 0
1.30.		1		4 .			1.31.					3x x 22 .				1.32.				1 x 1 .
			2								2x 2 1 0								x 3x
			2
		x 4 1				0																0
1.33.			x 2 x 2 .				1.34.					7x	2 .			1.35.			4 2x			.
	Вычислить алгебраические											дополнения элементов								a13			и a32
определителей следующих матриц:

			3	2 0						0 1 2										1 1			1

1.36.	2			1 0 .			1.37.		3 1				2 .			1.38.				1 1			1 .
			15
			15	7 4						1 0 1									1 1 1

В задачах 1.39 - 1.44 вычислить определители матриц разложением по элементам какой-нибудь строки (столбца):


		1	3	2		3 2	1		1	2 3

1.39.		2 6		4	1.40.	2 3	2	1.41.	2	1 5
1.39.				.	1.40.		.	1.41.		.
			3			4 5
	1		3	2		4 5	3		3 2 7


	1	2	4		0

1.42.	2	1 3 . 1.43.		sin
	3	4
	3	4	2	ctg

sin 0 sin

ctg

sin . 1.44.

sin

sinsin

cos 1

cos 1 .

cos1

	Решить следующие уравнения:
			3	x	3	x 4	3 2 1
		1	3	x	3	x 4	3 2 1
1.45.		4	5	1 0	2	1 3 0	x 1 0 7 0
1.45.				. 1.46.		. 1.47.	.
		2 1 5			x 10 1 1		2 1 3

	3 2 1		2 x 2 1	3 2	1
	3 2 1		2 x 2 1	3 2	1
1.48.	1 x	2 1	1 1 2 0	x 2 0	1 0
1.48.		. 1.49.	. 1.50.		.
	1 2	1	5 3 x	2 3 x 1

§3. Обратная матрица. Ранг матрицы

В задачах 1.51 - 1.58 найти матрицу, обратную к данной, и сделать проверку:

		1 2	.					3 2		.					3 1				2 1
1.51.			.	1.52.						.			1.53.				.		1.54.	.
	3 4						4 3							5 2					3 4
	1 0 0						1		2 3					1 2 3

1.55.		0 1 0		. 1.56.			3		2		4 . 1.57.				4 5		6	.
		0 0 1							1						7 8 9
		0 0 1					2		1		0				7 8 9

			A			1 2			B			2	1	C		2 1
1.58. Дано:			A				,		B				,	C					.
1.58. Дано:							,						,						.
					1 0							1 3					0 1

Найти матрицу X , если:
			2		1								2	1					2	1
1) X AB 2C; 2)									X BC 2A;								3) X CA 7B;
		1										1					6)		1
4) X2C ABC; 5)									X2A BCA;								6)		X7B CAB;
			2		1			8)				2	1				9)		1
7) XCA 7B;								8)	XB 2C A;								9)		X 2C CAB.

Методом окаймляющих миноров в задачах 1.59 - 1.65 вычислить ранг матрицы:

	1			2				1 2			1 2 3					1			3 2
	1			2				1 2
1.59.					.	1.60.				. 1.61. 2		4 6 .		1.62.			2		6	4 .
	3			1					3 6
											5	1 4				1			3 2
												3 4					3		2	2

		1 0 3					2				0 1
			2 3 1									2 3					7		3	5
1.63.			2 3 1				3			1.64.	1 0	2 3	.		1.65.						.
1.63.								.		1.64.			.		1.65.			11	5	8	.
			3 6 1															11	5	8

							8				3 2 0 5							15	7	11
																		15	7	11
	В задачах 1.66 - 1.68 найти ранг матрицы методом элементарных
преобразований:
	1			0	0	1

										1 1 3 3 2					1	1 1 1
	0			1	0	2										1			1 1
1.66.							.	1.67.		2 2	1 1 4				1	1			1 1			.
1.66.		0		0	1	3	.	1.67.				. 1.68.										.
		0		0	1	3										1			2 2

										1 1 3 3 2					1
		1		2	3
		1		2	3	14
											12

1.69. При каких значениях		1
1.69. При каких значениях	матрица		имеет ранг, равный 1?
	1	2
				0	1

1.70. При каких значениях ранг матрицы			3	4	1 равен 2?
			1	1
			1	1	2

1			2

1.71. Найти ранг матрицы	2	1	4 при различных значениях
	4	2	8

параметра .

§4. Решение систем линейных алгебраических уравнений

По правилу Крамера решить системы уравнений 1.72 - 1.80и сделать проверку:

2x y 4z 3

1.72. x 4y z 3.

3x 2y 5z 5

2x y 2z 2

2x 3y z 1

1.75. .

x y 2z 8

3x 2y z 4

1.78.2x 5y 3z 2.

x 5y 2z 6

2x y z 8

1.73. x y 2z 6 .

3x 3y z 11

2x y 2z 2

x y 4z 10

1.76. .

3x y 2z 0

3x y 2z 3

1.79.2x y 3z 3.x 5y 4z 7

x y 2z 2

1.74.2x 3y z 5.3x 7y z 10

2x y z 2

1.77.3x 5y z 3.4x y 3z 4

x y z 1

1.80. x 2y z 2.

2x 3y 0,5

В задачах 1.81 - 1.89 решить системы уравнений методом обратной матрицы и сделать проверку:

3x y 2z 5

1.81.2x 3y 3z 7.x 4y z 2

2x y 5

1.84.x 3z 2 .5y 2z 5

	x 2y 3z 5					3x 3y z 1

		2x 3y 3
1.82.		2x 3y 3	.	1.83.	2x 4y 3z 1
1.82.			.	1.83.		.
						3x y 5z 9
	3x y 5z 4					3x y 5z 9
	2x y 2z 4				x y 4z 8


1.85.	x y 5z 6			. 1.86.	2x y z 5 .
						x 4y 5
	3x y 4z 1					x 4y 5

2x 2y z 3

1.87.x 2y z 0 .3x y 2z 5

3x 2y 4z 4

1.88. 2x 3y z 1.

5x 4y 4z 4

x y z 5

1.89.y x z 1.4y x z 7

Методом Гаусса решить системы уравнений 1.90 - 1.98 и сделать проверку:

x y z 5

1.90. x y z 1 .

4x y z 10

2x y z 0

1.93. x y 3z 5 .

3x 2y 4z 5

2x 2y z 0

1.96.x 3y 3z 5.3x y 4z 5

2x 3y 4z 4

3x 2y z 1

1.91. .

4x 5y 4z 4

2x 2y z 6

	x y 2 .
1.94.
	3x 5z 13

x 3y 3z 1

1.97.3x 4y 2z 1.

5x y 3z 9

x 2y z 5

1.92.3x 5y 3z 4.2x 7y z 10

3x y 4z 5

1.95.2x 3y 3 .4x y z 2

2x 3y 5z 4

1.98.x y 4z 2.3x 2y 2z 3

В задачах 1.99 - 1.109 исследовать системы линейных уравнений и в случае их совместности найти решения:

		x 2y 4z 1		2x y z 2					3x y 2z 5

1.99.	2x y 5z 1		1.100.	x 2y 3z 1			1.101.		2x y z 2	.
1.99.		.	1.100.			.	1.101.			.
		x y z 2			x 3y 2z 3
		x y z 2			x 3y 2z 3			4x 2y 2z 3

	x 2y 3z 4				x 2y 3z 4

		2x y z 3 .			2x y z 3
1.102.		2x y z 3 .	1.103.		2x y z 3	1.104.

	3x 3y 2z 7			3x 3y 2z 10

x 2y z 42x 3y z 3.4x y z 11

1.105.

1.107.

2x x x 5

1 2 3

4x x 3x 3

1 2 3

x1 x2 12x1 3x2 5.4x1 5x2 7

x x 3x 2x 4

1 2 3 4

1.106. x x x 6 .

1 2 3

		2x 3x x x 5
		1	2	3	4
		3x x 2x x 1
		1	2	3	4
1.108.	x 2x 3x 4x 6 .
		1	2	3	4

	6x 4x 4x 6x 1
		1	2	3	4

		x 2x 3x 6
		1	2	3
			3x2	x3 0
	2x1		3x2	x3 0
1.109.	3x 2x 4x 5 .
		1	2	3
	x x 3x 3
		1	2	3

3x 2y z b

a 5x 8y 9z 3

1.110. При каких значениях и b система уравнений :

2x y az 1

1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесконечно много решений?

В задачах 1.111 - 1.116 решить однородные системы уравнений:

1.111.

1.113.

1.115.

	x x x 0
	1	2 3

3x x x 0			.
	1	2 3	.
2x 3x x 0
	1	2 3

3x 2x 2x 0

1 2 3

5x 2x 3x 0

1 2 3

3x x 2x x 0
	1	2	3 4

x x x x 0				.
	1	2	3 4	.
5x x x 0
	1	2	4

1.112.

1.114.

1.116.

x 2x 3x 0
	1	2	3

2x 3x 4x 0
	1	2	3 .
3x 4x 5x 0
	1	2	3

2x 2x 3x 2x 0

1 2 3 4

x x 2x x 0

1 2 3 4

3x 2x x 6x 0
1	2 3	4

4x x x 4x 0
1	2 3	4 .
x 4x 3x 2x 0
1	2 3	4

Глава 2

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

§1. Векторы и действия над ними


2.1. Вычислить длину вектора = 3 − 2 + 6 .
2.2. Даны	две координаты вектора					x 4 и	y 12. Определить третью
координату	z при условии,	что		a	13.
координату	z при условии,	что		a	13.
2.3. Определить координаты точки						N , с которой совпадает конечная точка
вектора	a 3; 1;4	если его начальная					точка совпадает с точкой
вектора	,	если его начальная					точка совпадает с точкой
M1;2; 3 .
2.4. Даны точки A3; 1;2 и			B 1;2;1 . Найти координаты векторов
2.4. Даны точки A3; 1;2 и			B 1;2;1 . Найти координаты векторов					AB

и BA .

Даны неколлинеарные векторы a и

2.5.

b . Коллинеарны ли

векторы

c a 2 3b и d 3a 6b?

2.6.

Пусть векторы a и b неколлинеарны и

a, BC4 a b,

CD 4 b

и доказать коллинеарность

, DAa b. Найти числа

векторов BC и DA .

ABCDEK

2.7.

причём

AB a ,

BC b .

- правильный шестиугольник,

Выразить через a и b векторы CD , DE ,

EK ,

KA, AC , AD , AE .

2.8.

Точки K и L служат серединами сторон BC и

CD параллелограмма

ABCD. Выразить векторы BC и

DC через AK и AL .

2.9. Дан модуль вектора

и углы

45,60, 120, которые

составляет вектор с осями координат. Вычислить проекции вектора на координатные оси.

2.10. Вычислить направляющие косинусы вектора

a 12;15;16

2.11. Найти координаты вектора а , образующего с векторами

i , j , k

равные

острые углы, при условии, что

2 3.

Как должны быть связаны ненулевые векторы a и

2.12.

b , чтобы имело

a b a b

место соотношение: 1)

a/|a| b/|b|

; 2)

x ?

2.13.

Построить вектор

r OM2i 3j 6k

определить

его

длину

направление (проверить по формуле

coscoscos1

2.14.

Радиус-вектор

точки M составляет с осью xугол 45°, а

с осью

угол

60°. Длина его

| | = 6. Определить координаты точки M ,

если

ее

координата z отрицательна, и выразить вектор

OM r через орты

i ,

j , k .

Даны точки A 1; 2;3 и B3; 4;6 .

2.15.

Построить вектор AB u ,

его

проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Определить углы вектора u с осями координат.

2.16. Построить параллелограмм на векторах OA i j и OBk 3j и определить длины его диагоналей.

2.17.Даны три последовательные вершины параллелограмма: A3; 4;7, B 5;3; 2 и C1;2; 3. Найти координаты его четвертой вершиныD.

2.18.Даны три вершины треугольника: A 3; 1;5, B4;2; 5 и C 4;0;3. Найти длину медианы, проведённой из вершины A .

2.19.Даны вершины треугольника A3; 4;7, B 5;3; 2 и C1;2; 3. Найти длину средней линии треугольника, которая параллельна стороне BC .

2.20.

Установить, в каких случаях тройки векторов a , b , c будут линейно

зависимы, и в том случае, когда это возможно, представить вектор c как

линейную комбинацию векторов a и b :

a 5;2;1

b 1;4;2

с 1; 1;6

;

a 6;4;2

с 3;6;3

b 9;6;3

;

3) a 6; 18;12, b 8;24;16, с 8;7;3 .

2.21. Даны:

a b

. Вычислить

a 2; 1;3

2.22.

Проверить коллинеарность векторов

b 6;3; 9

Установить, какой из них длиннее и во сколько раз? Как они направлены - в

одну или в противоположные стороны?

2.23.

Определить, при каких значениях и

векторы

a 2i 3j k и

= − 6 + 2коллинеарны.

2.24. Проверить, что четыре точки

A3; 1;2 ,

B1;2; 1 ,

C 1;1; 3,

D3; 5;3 служат вершинами трапеции.

2.25.

На оси

найти точку

M , равноудалённую от точек

A1; 4;7 и

B 5;6; 5.

2.26. На оси

найти

точку

M ,

расстояние

от которой

до

точки A 3; 3

равно 5.

2.27.

Три силы

F, F, F

приложенные к одной точке,

имеют взаимно

перпендикулярные направления. Найти величину равнодействующей силы F ,

10,

если известны величины этих сил:

§2. Скалярное произведение

2.28. Векторы

образуют угол

3 . Зная,

что

вычислить:

;

;3)

3a2b a2b

a b

;

2.29.

Найти длину вектора

a 2b 3c, если

и угол между

равен 600 .

векторами b и

2.30.Найти скалярное произведение векторов a 3;4;7 и b 2; 5;2.

2.31.Определить угол между векторами a i j и b i 2j 2k.

2.32.Определить углы треугольника с вершинами A2; 1;3 , B 1;1;1 и

C 0;0;5 .

2.33.Даны векторы a 4; 2; 4 и b 6; 3;2. Вычислить скалярное произведение векторов 2a 3b и a 2b .

2.34.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a 6i j k и b 2i 3j k.

2.35.Найти угол между диагоналями параллелограмма, если заданы три его

вершины: A 2;1;3 , B5;2; 1 и C 3;3; 3.

2.36.Вычислить 2i jj j2kki2k.

2.37. Дан вектор a 2m n, где

и n – единичные векторы с углом 1200

между ними. Найти

cos(a,m) и

cos(a,n).

2.38. Какому условию должны удовлетворять векторы a и

, чтобы вектор

a b был перпендикулярен вектору

a b ?

a ,

с , удовлетворяющие условию

2.39. Даны единичные векторы

b и

a b c 0. Вычислить

ab bc ca

5. Определить, при каком значении векторы

2.40. Дано:

b и

b будут взаимно перпендикулярны.

пр

2.41. Даны векторы

a i j 2k

b i j 4k

. Определить b

прa b .

2.42.Даны три вектора: a 1; 3;4, b 3; 4;2 и c 1;1;4. Вычислить прb с a.

2.43.Найти проекцию вектора a 2i 3j 2kна ось, составляющую с осями координат равные острые углы.

2.44.Даны вершины четырёхугольника: A1; 2;2, B1;4;0 , C 4;1;1, D 5; 5;3. Доказать, что его диагонали перпендикулярны.

2.45.Сила, определяемая вектором R i 8j 7k, разложена по трём направлениям, одно из которых задано вектором a 2;2;1. Найти составляющую силы R в направлении вектора a .

2.46.Найти координаты вектора x , если x a 1, x b 2, x c 3, где a 2;1;1, b 0;4;2, c 10;1;3.

§3. Векторное произведение

2.47. Определить и построить вектор c a b. Найти в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , если:

a i j

b i j

a 2i 3j

b 3j 2k

a 3i, b 2k

; 3)

;

2.48. Вычислить площадь треугольника с вершинами A 7;3;4 , B 1;0;6

C4;5; 2 .

2.49. Построить параллелограмм на векторах

a 2j k,

b i 2k

вычислить его площадь и длины его высот.

2.50. Раскрыть скобки и упростить выражения:

1)i jkj jkkijk;

2)abccabcbbca;

3)2abcabcab;

4)2i jk3jik4kij.

2.51.Вычислить синус угла, образованного векторами a 2; 2;1 и b 2;3;6 .

2.52.Найти единичный вектор e , перпендикулярный вектору a 1;4;3

и оси абсцисс.

2.53. Вектор

, перпендикулярный к векторам

a 4; 2; 3 b 0;1;3

образует с осью yтупой угол. Зная, что

26, найти

его координаты.

2.54. Вектор

, перпендикулярный к оси z

и к вектору

a 8; 15;3

образует с осью x острый угол. Зная, что

, найти его координаты.

2.55.Найти вектор x , зная, что он перпендикулярен к векторам a 2; 3;1 и b 1; 2;3 и удовлетворяет условию x i 2j 7k 10.

2.56.Доказать, что ab ab2ab, и выяснить геометрическое значение этого тождества.

2.57. Построить

векторы

a 3k 2j,

b 3i 2j,

с a b.

Вычислить

модуль вектора

с и площадь треугольника, построенного на векторах a и

2.58. Дан треугольник с

вершинами

A1; 2;8 , B 0;0;4 и

C 6;2;0 .

Вычислить длину его высоты, опущенной на сторону AC .

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.5 Mб09920.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09921.pdf
#
25.11.20233.5 Mб19922.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09923.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09924.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09925.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09926.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09927.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09928.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09929.pdf
#
21.11.2023168.26 Кб0993.pdf