9745
.pdf
Рис. 8.12
Рис. 8.13
80
Пример. |
Построить тело, ограниченное параболоидом |
|
вращения с |
уравнением |
4z = x2 + y2 , параболическим |
цилиндром с уравнением y = 0,5x2 , координатной плоскостью xOy , а также плоскостью y = 2 .
Решение. Как обычно, формируем сечениями указанные поверхности: рис. 8.14, рис. 8.15.
Рис. 8.14
Рис. 8.15
81
Рис. 8.16
При стыковке поверхностей прорисовывается тело (рис.
8.16), форму которого можно уточнить, рассмотрев сечение
плоскостями |
z = 0 |
и |
y = 2 . |
Заметим, что точки M (2; 2;0) , |
||
N (−2; 2;0) и |
P(0; 2; 0) |
являются проекциями на плоскость xOy |
||||
′ |
|
|
′ |
|
′ |
принадлежащих |
точек M (2; 2;2) , |
N (−2; 2; 2) |
и P (0; 2;1) , |
||||
параболоиду (рис. 8.17).
Рис. 8.17
82
Пример. |
Получить форму тела, ограниченного двумя |
параболическими |
цилиндрами с уравнениями z = 4 − y2 и |
y = x2 , срезанными координатной плоскостью xOy .
2
Решение. Образующие первого цилиндра параллельны оси
Ox , второго – оси Oz . Изобразим для начала параболы,
получающиеся в сечениях цилиндров координатными плоскостями (рис. 8.18).
Рис. 8.18 |
|
|
|
|
В координатной плоскости xOy парабола |
y = |
x2 |
срезается |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
прямой x = 2 , завершаясь точками M (2; 2;0) |
и N (−2; 2;0) . В |
|||
координатной плоскости yOz в |
сечении получающегося тела |
|||
остаётся часть параболы z = 4 − y2 |
от вершины K (0;0; 4) до точки |
|||
P(0; 2;0) . |
|
|
|
|
Окончательную форму тела изображаем рисунком 8.19.
Рис. 8.19
Рассмотрение примеров построения тел, ограниченных заданными поверхностями, синтезирует изложенные теоретические вопросы аналитической геометрии с умением их использовать для получения требуемых пространственных форм.
84
Библиографический список
1. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Е. Кожевникова. –
Москва : Мир и образование, 2008. – 368 с.
2. Протасова, Л. А. От геометрии – к дизайн-проекту, или Как я полюбил математику : учеб. пособие для вузов / Л. А.
Протасова, А. А. Бутысин ; Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-
т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2013. – 137 с.
3. Пучков, Н. П. Математика в архитектуре : учеб.-метод.
рекомендации к изучению теорет. части курса «Математика» студентам специальности 290100 / Н. П. Пучков, Т. В.
Четвертнова ; Тамб. гос. техн. ун-т. – Тамбов : ТГТУ, 2001. – 40 с. 4. 64 лекции по математике : учеб. пособие. Кн. 1 : (лекции
1-39) / В. П. Важдаев, М. М. Коган, М. И. Лиогонький Л. А.
Протасова ; Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2012. – 286 с. : ил.
85
|
Содержание |
|
|
|
|
||
§1. Определители и их применение...................................... |
|
|
|
3 |
|||
|
Определители.......................................................…… |
......... |
|
3 |
|||
|
Системы линейных уравнений...…...………………........ |
3 |
|
|
|
||
§2. |
Векторная алгебра............................................................ |
|
|
|
|
|
6 |
|
Линейные операции над векторами ………… |
..……… |
.. |
|
7 |
||
|
Действия над векторами в координатной форме.............. |
|
|
8 |
|||
|
Скалярное произведение векторов..................................... |
|
|
|
11 |
||
|
Некоторые приложения скалярного произведения........... |
|
|
12 |
|||
|
Векторное произведение векторов..................................... |
|
|
|
14 |
||
|
Смешанное произведение векторов................................... |
|
|
|
16 |
||
§3. Прямая линия на плоскости............................................ |
|
|
|
|
19 |
||
|
Общее уравнение прямой.................................................... |
|
|
|
|
|
19 |
|
Уравнение прямой, проходящей через две заданные |
|
|||||
|
точки……………………………………………………… |
|
|
|
|
. |
28 |
|
Взаимное расположение прямых на плоскости................ |
|
|
29 |
|||
§4. |
Плоскость…………………… |
...………………………… |
|
|
|
32 |
|
|
Общее уравнение плоскости……………………………... 32 |
|
|
|
|
||
|
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные |
|
|||||
|
точки….................................................. ................................ |
39 |
|||||
§5. |
Линии второго порядка…………………………………. |
|
|
|
41 |
||
|
Эллипс………………………………………………… |
|
|
|
...… |
42 |
|
|
Гипербола………………………………………………….. |
|
|
|
|
|
46 |
|
Парабола…………………………………………………… |
|
|
|
|
|
50 |
|
Вырожденные случаи……………………………………. |
52 |
|
|
|
|
|
§6. |
Приведение уравнения линии второго порядка |
к |
|
||||
|
каноническому виду………… |
|
…..……………… |
..…….. |
|
53 |
|
|
Параллельный перенос осей координат…………………. |
|
|
|
53 |
||
|
Классификация кривых второго порядка……………….. 57 |
|
|
|
|||
§7. |
Поверхности второго порядка…………………………. |
|
|
|
59 |
||
|
|
86 |
|
|
|
|
|
Цилиндрические поверхности…………………… |
|
..…….. |
60 |
Поверхности вращения………………… |
..………… |
…….. |
63 |
§8. Канонические уравнения поверхностей второго
порядка…………………………………………………... |
|
|
65 |
Эллипсоиды……………………………… |
..…………… |
.... |
65 |
Гиперболоиды………………………………………… |
|
.…. |
68 |
Конус…………………………………………… |
..………... |
72 |
|
Параболоиды……………………………………………... 74 |
|
|
|
Построение тел, ограниченных |
несколькими |
||
поверхностями……………………………… |
.……………. |
|
77 |
Библиографический список…………… |
…… ……............. |
85 |
|
87
Протасова Людмила Анатольевна Столбов Павел Валерьевич
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика»
для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство, профиль Промышленное и гражданское строительство (академический бакалавриат)
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru
88