9626

если, конечно, при n длина каждого отрезка кривой будет

стремиться к нулю.

Обобщение этой вычислительной процедуры, отвлеченное от физического содержания, приводит к понятию криволинейного интеграла 1-го рода (по длине дуги). Пусть в пространстве в некоторой области D расположена линия AB и пусть в некоторой окрестности этой линии определена функция f (x, y, z) . Разделим линию AB на n участков точками

A0 A , A1, A2 , A3 ,..., An B . Длину участка линии от точки Ai 1 до точки Ai обозначим li . На участке линии Ai 1 Ai выберем некоторую точку P(ξi , ηi , νi ) и сформируем следующую интегральную сумму:

способа деления кривой AB на n частей, ни от выбора точек P(ξi , ηi , νi ) на i-ом участке, то этот предел называется криволинейным интегралом 1-ого

Возвращаясь к задаче о нахождении массы неоднородной линии, можно с помощью введённого определения записать, что

кривой существует касательная и угол наклона касательной непрерывно меняется при движении точки вдоль данной кривой. На рис. 54.2 кривая AB гладкая, а кривая LQ кусочно-гладкая, ибо в точках M и P

касательная не существует.

Рис. 54.2

Теорема. Если непрерывная кривая AB может быть разбита на конечное число гладких кусков и в некоторой окрестности этой кривой

функция f (x, y, z) непрерывна, то для нее существует криволинейный интеграл (54.2).

Наряду со свойствами, которые имеют все рассмотренные ранее интегралы (постоянное число можно выносить за знак интеграла; интеграл от суммы или разности двух функций равен сумме или разности интегралов от этих функций), отметим еще ряд свойств криволинейного интеграла 1-го рода.

а) Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой. Действительно, в формуле (54.2), множитель li

равен длине i-го отрезка кривой и поэтому он не зависит от направления. б) dl L , где L – длина кривой AB . Действительно, если в (54.2)

AB

f (x, y, z) 1, то интегральная сумма будет равна длине кривой от точки A до

точки B .

в) Если точка C находится на кривой AB (см. рис. 54.1), то

54.2. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. Понятно,

что, записав формулу (54.3), мы еще не дали способа вычисления массы, который бы отличался от вычислительной конструкции, приведенной в начале параграфа. Однако анализ конструкции (54.2) показывает, что при

сводится к вычислению обычного определенного интеграла. При этом существенную роль играет способ задания кривой AB .

Плоский случай. Явное задание кривой. Пусть кривая AB на плоскости

получим формулу для вычисления длины дуги AB .

Нетрудно видеть, что под знаком предела стоит интегральная сумма для функции ( ) = √1 + ′2( ) на отрезке (a, b) , и потому последний предел

равен определенному интегралу от этой функции на этом отрезке. Таким образом,

L dl b 1 y 2 (x)dx

AB a

Пусть теперь f (x, y) – произвольная непрерывная функция, определенная в точках близких к кривой AB . Так как, согласно определению, точка Pi на

отрезке кривой Ai 1 Ai может выбираться произвольным образом, то выберем ее так, чтобы она имела координаты (ξi , y'(ξi)) , где ξi есть то значение

аргумента x на отрезке (xi 1 , xi ) , при котором yi y'(ξ i) xi . Отсюда

на отрезке (a, b) и потому предел равен определенному интегралу от этой функции на данном отрезке. В результате мы приходим к формуле

Рис. 54.4

Решение. Так как y 2x , то по формуле (54.3) искомая масса будет равна

Плоский случай. Параметрическое задание кривой. Пусть кривая AB

определена параметрическими уравнениями

x x(t); y y(t); α t β,

где x(t) и y(t) дифференцируемые функции, производные которых

Для её вывода достаточно в формуле (54.7) осуществить замену переменных

координатах. Попробуем вывести формулу для вычисления

Вспомним, что связь между декартовыми и полярными координатами определяется формулами x r cos , y r sin . Если в них вместо r

подставить его выражение из уравнения (54.8), то получится параметрическое уравнение кривой AB :

x r( )cos , y r( )sin . (54.9)

вкотором в качестве параметра выступает полярный угол , изменяющийся

впределах от 1 до 2 . При этом

x 2 ( ) y 2 ( ) (r ( )cos r( )sin )2 (r ( )sin r( )cos )2

r2 ( ) r 2 ( ).

Подставляя это выражение в соотношение (54.7), получим формулу для вычисления криволинейных интегралов 1-го рода в случае, когда кривая АВ на плоскости задана в полярных координатах:

Пример. Найти массу половины кардиоиды

если плотность ρ r в каждой её точке.

представляет собой часть цилиндрической поверхности с направляющей L и образующей, параллельной оси OZ, причем высота ограждения задается функцией z f (x, y), определенной в каждой точке кривой L (рис.54.6).

Если рассмотреть часть поверхности на небольшом участке кривой Ai 1 Ai , то

Рис. 54.6

Суммируя по всем участкам и переходя к пределу в получающейся интегральной сумме, мы придем к тому, что площадь всей боковой

поверхности ограждения будет определяться по формуле S z(x, y)dl .

L

Вычисление массы, координат центра тяжести и моментов инерции материальной кривой. Часто математическую идеализацию пространственного материального объекта можно представить в виде пространственной кривой AB, вдоль которой распределена масса с линейной плотностью (рис.54.1). (Канаты, на которых

подвешен мост через пролив Босфор, соединяющий Черное и Средиземные моря, можно рассматривать в качестве примера такого объекта. В качестве математической модели канатов можно рассматривать их осевые линии с постоянной линейной плотностью, равной массе тонкого слоя поперечного сечения). В таком случае основные механические характеристики подобных объектов могут быть вычислены с помощью криволинейного интеграла 1- ого рода.

а) Масса материальной кривой. Как мы уже знаем, масса М такой кривой может быть вычислена по формуле (54.3).

б) Моменты инерции I x, I y, I z относительно осей OX , OY , OZ .

Перечисленные моменты вычисляются по следующим формулам

Для их вывода, как обычно в таких ситуациях, разделяем кривую на мелкие участки и считаем, что вся масса отрезка кривой (приблизительно равная

C(xc , yc , zc ) материальной пространственной кривой могут быть высчитаны по формулам:

полуокружности радиуса R с центром в начале координат, вдоль которой равномерно распределена масса с плотностью ρ . В данном примере мы имеем дело с плоской кривой и потому в соответствующих формулах мы должны опустить переменную z. Очевидно, что масса M равна длине полуокружности, умноженной на ρ , т.е. M πρR .

а затем воспользуемся формулой (54.11) (для плоского случая) и (54.8). Будем иметь

Нетрудно понять, что I y имеет такое же значение.

Что касается координат центра тяжести C(xc , yc ) , то в силу симметрии xc 0 , а для вычисления yc опять используем параметрическое уравнение полуокружности:

Лекция 55. Криволинейные интегралы 2-го рода (по координатам)

В данной лекции мы рассмотрим еще одну интегральную конструкцию, которая, как и все рассмотренные ранее, изначально возникла при стремлении решить некоторую прикладную задачу (именно в физике),

а потом оказалась применимой при решении других теоретических и прикладных задач. Речь идет о криволинейных интегралах 2-го рода.

55.1. Определение и обозначения. Физическая задача, в которой подобная конструкция возникает, формулируется следующим образом. Пусть в некоторой области D пространства определено силовое поле, т.е. на материальную точку единичной массы, помещенную в область D, действует зависящая от ее местонахождения вектор-сила F . И пусть в этой области материальная точка перемещается по кривой L из положения A в положение B . Требуется определить работу W сил данного поля при таком перемещении.

Рис. 55.1

На рисунке 55.1 изображено плоское поле сил. Ясно, что при перемещении точки по кривой L по участку кривой ACB силы поля оказывают положительное воздействие, т.е. совершают положительную работу, а при движении по участку кривой DEF они оказывают отрицательное воздействие, т.е. совершают отрицательную работу. Точно также при спуске с горы мы ощущаем положительное воздействие силы тяжести, а при подъеме в гору нам приходится преодолевать отрицательное воздействие этой силы.

Если в пространстве введена декартова система координат, то сила, действующая в точке M (x, y, z) может задаваться посредством ее разложения

по единичным векторам i , j,k

F(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,