9622
.pdfесли, конечно, при n длина каждого отрезка кривой будет
стремиться к нулю.
Обобщение этой вычислительной процедуры, отвлеченное от физического содержания, приводит к понятию криволинейного интеграла 1-го рода (по длине дуги). Пусть в пространстве в некоторой области D расположена линия AB и пусть в некоторой окрестности этой линии определена функция f (x, y, z) . Разделим линию AB на n участков точками
A0 A , A1, A2 , A3 ,..., An B . Длину участка линии от точки Ai 1 до точки Ai обозначим li . На участке линии Ai 1 Ai выберем некоторую точку P(ξi , ηi , νi ) и сформируем следующую интегральную сумму:
|
|
n |
|
|
|
|
Sn f (ξi ,ηi , νi ) li . |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
Если существует предел S |
n |
при n |
и li 0 |
, и он не зависит ни от |
|
|
|
|
способа деления кривой AB на n частей, ни от выбора точек P(ξi , ηi , νi ) на i-ом участке, то этот предел называется криволинейным интегралом 1-ого
рода (по длине дуги) от функции f (x, y, z) вдоль кривой AB |
и обозначается как |
||||||
f (x, y, z)dl . Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y, z)dl lim S |
|
lim n |
f (ξ |
, η , ν |
) l . |
(54.2) |
n |
n |
n |
i |
i i |
i |
||
AB |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возвращаясь к задаче о нахождении массы неоднородной линии, можно с помощью введённого определения записать, что
M |
f (x, y, z)dl . |
(54.3) |
AB |
|
|
Будем говорить, что кривая |
AB гладкая, |
если в каждой точке этой |
кривой существует касательная и угол наклона касательной непрерывно меняется при движении точки вдоль данной кривой. На рис. 54.2 кривая AB гладкая, а кривая LQ кусочно-гладкая, ибо в точках M и P
касательная не существует.
Рис. 54.2
Теорема. Если непрерывная кривая AB может быть разбита на конечное число гладких кусков и в некоторой окрестности этой кривой
функция f (x, y, z) непрерывна, то для нее существует криволинейный интеграл (54.2).
Наряду со свойствами, которые имеют все рассмотренные ранее интегралы (постоянное число можно выносить за знак интеграла; интеграл от суммы или разности двух функций равен сумме или разности интегралов от этих функций), отметим еще ряд свойств криволинейного интеграла 1-го рода.
а) Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой. Действительно, в формуле (54.2), множитель li
равен длине i-го отрезка кривой и поэтому он не зависит от направления. б) dl L , где L – длина кривой AB . Действительно, если в (54.2)
AB
f (x, y, z) 1, то интегральная сумма будет равна длине кривой от точки A до
точки B .
в) Если точка C находится на кривой AB (см. рис. 54.1), то
f (x, y, z)dl |
f (x, y, z)dl f (x, y, z)dl . |
|
AB |
AC |
CB |
54.2. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. Понятно,
что, записав формулу (54.3), мы еще не дали способа вычисления массы, который бы отличался от вычислительной конструкции, приведенной в начале параграфа. Однако анализ конструкции (54.2) показывает, что при
достаточно общих |
предположениях относительно свойств функции |
f (x, y, z) и кривой |
AB вычисление криволинейного интеграла 1-го рода |
сводится к вычислению обычного определенного интеграла. При этом существенную роль играет способ задания кривой AB .
Плоский случай. Явное задание кривой. Пусть кривая AB на плоскости
определена уравнением y y(x), |
a x b . |
Рассмотрим сначала случай, |
|||
когда вдоль кривой f (x, y) 1. Ввиду того, что |
|||||
|
|
|
n |
|
L , |
|
dl L lim |
|
l |
||
|
n |
i |
|
||
AB |
|
|
i 1 |
|
|
получим формулу для вычисления длины дуги AB .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 54.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если отрезки, на которые делится кривая, достаточно малые, |
то длина li |
|||||||||||||||||||
отрезка кривой Ai 1 Ai приблизительно равна длине хорды Ai 1 Ai . |
По теореме |
|||||||||||||||||||
Лагранжа приращение yi |
функции y y(x) |
на участке (xi 1 , xi ) равно |
||||||||||||||||||
значению производной в некоторой точке |
ξ i |
этого участка, умноженному |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
на приращение xi , т.е. y |
y ( |
ξ |
) x . Таким образом, для плоского случая |
|||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 54.3) будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
A A |
|
x2 |
y2 1 y 2 ( |
ξi |
) x |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
i |
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L dl lim |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 y 2 (ξi ) xi . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
AB |
|
|
n |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Li 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно видеть, что под знаком предела стоит интегральная сумма для функции ( ) = √1 + ′2( ) на отрезке (a, b) , и потому последний предел
равен определенному интегралу от этой функции на этом отрезке. Таким образом,
L dl b 1 y 2 (x)dx
AB a
Пусть теперь f (x, y) – произвольная непрерывная функция, определенная в точках близких к кривой AB . Так как, согласно определению, точка Pi на
отрезке кривой Ai 1 Ai может выбираться произвольным образом, то выберем ее так, чтобы она имела координаты (ξi , y'(ξi)) , где ξi есть то значение
аргумента x на отрезке (xi 1 , xi ) , при котором yi y'(ξ i) xi . Отсюда
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y)dl lim |
f (ξi , y(ξi )) 1 y 2 (ξi |
) xi . |
|
|
||
n |
i 1 |
|
|
|
|
||
AB |
Li 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приглядевшись к выражению под знаком предела, мы видим, что оно |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
представляет интегральную сумму для функции |
|
g(x) f (x, y(x)) |
1 y'2 (x) |
на отрезке (a, b) и потому предел равен определенному интегралу от этой функции на данном отрезке. В результате мы приходим к формуле
|
f (x, y)dl b |
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x, y(x)) 1 y 2 (x)dx. |
(54.5) |
|||||||
|
AB |
a |
|
|
|
|
|
|
|
Если кривая |
AB на плоскости определена уравнение м |
|
|||||||
|
|
= ( ), ≤ ≤ , |
|
||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y)dl d |
|
|
|
|
||||
|
f (x( y), y) 1 x 2 (y)dy . |
(54.6) |
|||||||
|
AB |
|
c |
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти массу части кривой y=2-x2 соединяющей |
|||||||||
точки A(0, 2) |
и B(1,1) , |
если плотность распределения массы вдоль |
|||||||
кривой задана функцией |
ρ(x, y) 2x (рис.53.4). |
|
Рис. 54.4
Решение. Так как y 2x , то по формуле (54.3) искомая масса будет равна
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2x 1 4x2 dx |
1 4x2 d(1 4x2 ) |
|||||||||||
M |
|
ρ(x, y)d l |
|
|
||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
AB |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
((1 4x2 )3 / 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(5 5 1) 1, 7. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6 |
|
|
|
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плоский случай. Параметрическое задание кривой. Пусть кривая AB
определена параметрическими уравнениями
x x(t); y y(t); α t β,
где x(t) и y(t) дифференцируемые функции, производные которых
непрерывны, причем значению t α соответствует точка |
A, а значению |
|||||||
t β соответствует точка B . В этом случае криволинейный интеграл |
||||||||
1-го рода вычисляется по формуле: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||
|
f (x, y)dl f (x(t), y(t)) x |
(t)dt. |
(54.7) |
|||||
(t) y |
|
|||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
Для её вывода достаточно в формуле (54.7) осуществить замену переменных
x x(t); a x(α); |
b x(β), |
dx x dt и вспомнить, что |
y |
y |
/ x . |
|
|
|
t |
|
x |
t |
tt |
Плоский |
случай. |
Уравнение кривой |
определено |
в полярных |
координатах. Попробуем вывести формулу для вычисления
криволинейного интеграла 1-го рода в случае, когда кривая |
AB на |
|
плоскости задана уравнением в полярных координатах: |
|
|
r r( ) |
1 2 |
(54.8) |
Вспомним, что связь между декартовыми и полярными координатами определяется формулами x r cos , y r sin . Если в них вместо r
подставить его выражение из уравнения (54.8), то получится параметрическое уравнение кривой AB :
x r( )cos , y r( )sin . (54.9)
вкотором в качестве параметра выступает полярный угол , изменяющийся
впределах от 1 до 2 . При этом
x 2 ( ) y 2 ( ) (r ( )cos r( )sin )2 (r ( )sin r( )cos )2
r2 ( ) r 2 ( ).
Подставляя это выражение в соотношение (54.7), получим формулу для вычисления криволинейных интегралов 1-го рода в случае, когда кривая АВ на плоскости задана в полярных координатах:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y)dl 2 |
f (r cos ,r sin ) |
r2 ( ) r 2 ( )d . |
(54.10) |
|
AB |
1 |
|
|
|
|
Пример. Найти массу половины кардиоиды
r (1 cos ), |
0 π, |
если плотность ρ r в каждой её точке.
Рис. 54.5
Пользуемся формулами (54.3) и (54.10):
M dl r r2 ( ) r 2 ( )d
AB 0
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 cos )2 |
(-sin )2 d |
|
|
|
|
|
|||||
|
(1 cos ) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cos2 |
2cos |
d 8 (1 sin2 ) d (sin ) 8 |
|
sin |
sin |
3 |
16 |
|||||||
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
0 |
2 |
2 |
|
|
0 |
2 |
3 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общий пространственный случай. Если кривая AB расположена в пространстве, то, как правило, она задается параметрическими уравнениями
x x(t); y y(t); z z(t) α t β,
причем параметру t α соответствует точка A, а параметру t β соответствует точка B . Предполагая, что производные x (t), y (t), z (t) непрерывны при α t β, а функция f(x,y,z) непрерывна в некоторой
области D, окружающей кривую AB, и, проводя рассуждения, подобные приведенным для плоского случая, придем к следующей формуле:
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(t) y |
2 |
(t) z |
2 |
(t)dx . |
(54.11) |
|||
|
||||||||||
f (x, y, z)dl f (x(t), y(t), z(t)) x |
|
|
||||||||
AB |
α |
|
|
|
|
|
|
|
54.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла 1-ого рода. Определение площади цилиндрической поверхности. На рис. 54.6
изображено ограждение переменной высоты некоторой горизонтально расположенной территории, ограниченной кривой L. Вопрос о расходе краски, необходимой для окраски этого ограждения, сведется к нахождению его площади. Если ввести систему координат так, чтобы территория находилась в плоскости XOY, то можно считать, что данное ограждение
представляет собой часть цилиндрической поверхности с направляющей L и образующей, параллельной оси OZ, причем высота ограждения задается функцией z f (x, y), определенной в каждой точке кривой L (рис.54.6).
Если рассмотреть часть поверхности на небольшом участке кривой Ai 1 Ai , то
можно считать, что |
высота этой части постоянна |
и равна значению |
функции z f (x, y) |
в некоторой точке Pi (xi , yi ) . В таком случае площадь |
|
этого участка поверхности приблизительно равна Si |
z(xi , yi ) L i . |
Рис. 54.6
Суммируя по всем участкам и переходя к пределу в получающейся интегральной сумме, мы придем к тому, что площадь всей боковой
поверхности ограждения будет определяться по формуле S z(x, y)dl .
L
Вычисление массы, координат центра тяжести и моментов инерции материальной кривой. Часто математическую идеализацию пространственного материального объекта можно представить в виде пространственной кривой AB, вдоль которой распределена масса с линейной плотностью (рис.54.1). (Канаты, на которых
подвешен мост через пролив Босфор, соединяющий Черное и Средиземные моря, можно рассматривать в качестве примера такого объекта. В качестве математической модели канатов можно рассматривать их осевые линии с постоянной линейной плотностью, равной массе тонкого слоя поперечного сечения). В таком случае основные механические характеристики подобных объектов могут быть вычислены с помощью криволинейного интеграла 1- ого рода.
а) Масса материальной кривой. Как мы уже знаем, масса М такой кривой может быть вычислена по формуле (54.3).
б) Моменты инерции I x, I y, I z относительно осей OX , OY , OZ .
Перечисленные моменты вычисляются по следующим формулам
I |
x |
|
|
(y2 z2 )ρ (x, y, z)d l , |
I |
y |
|
|
(x2 z2 )ρ (x, y, z)d l , |
I |
z |
|
|
(x2 |
y2 )ρ (x, y, z)d l. |
(54.12) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
AB |
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
AB |
|
|
|
Для их вывода, как обычно в таких ситуациях, разделяем кривую на мелкие участки и считаем, что вся масса отрезка кривой (приблизительно равная
ρ(ξ |
|
,η , ν |
) L ) |
сосредоточена в |
некоторой ее |
точке P(ξ |
, η |
, ν |
) . Момент |
|||||||
i |
|
i |
i |
|
i |
|
|
|
|
i |
|
i |
i |
|
|
|
инерции этой материальной точки относительно, например, оси OX, будет |
||||||||||||||||
равен |
ее |
массе, |
умноженной |
на квадрат |
расстояния |
|
от |
|
оси, т.е. |
|||||||
ρ(ξ |
,η |
, ν |
) L (η 2 |
2 ) . |
Суммируя |
по всем |
отрезкам кривой |
и переходя к |
||||||||
i |
|
i |
i |
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пределу, получаем искомые выражения. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
в) |
|
Kоординаты центра |
тяжести. |
Координаты центра |
тяжести |
C(xc , yc , zc ) материальной пространственной кривой могут быть высчитаны по формулам:
|
M |
|
M |
|
|
M |
|
|
||||
xc |
1 |
|
xρ (x, y, z)d l , yc |
1 |
|
|
yρ (x, y, z)d l , |
zc |
1 |
|
(z ρ (x, y, z)d l , |
(54.13) |
|
AB |
|
|
AB |
|
AB |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где M – масса кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. |
Найдем |
|
механические |
характеристики |
верхней |
полуокружности радиуса R с центром в начале координат, вдоль которой равномерно распределена масса с плотностью ρ . В данном примере мы имеем дело с плоской кривой и потому в соответствующих формулах мы должны опустить переменную z. Очевидно, что масса M равна длине полуокружности, умноженной на ρ , т.е. M πρR .
|
Рис. 54.7 |
|
Для нахождения моментов инерции Ix и I y |
сначала запишем уравнение |
|
полуокружности в параметрическом виде |
|
|
x Rcost, |
y Rsint, |
0 t π, |
а затем воспользуемся формулой (54.11) (для плоского случая) и (54.8). Будем иметь
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ix |
|
y2ρdl ρy2 (t) |
|
x 2 (t) y 2 (t)dt |
|
||||||||||||
|
|
AB |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ R2 sin2 t |
|
R2 sin2 t R2 cos2 tdt |
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
ρ R |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ρ R3 sin2 tdt |
( |
|
t |
sin 2t) |
|
|
. |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
4 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно понять, что I y имеет такое же значение.
Что касается координат центра тяжести C(xc , yc ) , то в силу симметрии xc 0 , а для вычисления yc опять используем параметрическое уравнение полуокружности:
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
yc |
|
|
|
yρdl |
|
ρy(t) x 2 (t) y 2 (t)dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
M |
|
|
M |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
AB |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2R |
|
||||
|
|
|
ρRsin t |
|
R |
2 sin2 t R2 cos2 t |
dt |
. |
|||||||
R |
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекция 55. Криволинейные интегралы 2-го рода (по координатам)
В данной лекции мы рассмотрим еще одну интегральную конструкцию, которая, как и все рассмотренные ранее, изначально возникла при стремлении решить некоторую прикладную задачу (именно в физике),
а потом оказалась применимой при решении других теоретических и прикладных задач. Речь идет о криволинейных интегралах 2-го рода.
55.1. Определение и обозначения. Физическая задача, в которой подобная конструкция возникает, формулируется следующим образом. Пусть в некоторой области D пространства определено силовое поле, т.е. на материальную точку единичной массы, помещенную в область D, действует зависящая от ее местонахождения вектор-сила F . И пусть в этой области материальная точка перемещается по кривой L из положения A в положение B . Требуется определить работу W сил данного поля при таком перемещении.
Рис. 55.1
На рисунке 55.1 изображено плоское поле сил. Ясно, что при перемещении точки по кривой L по участку кривой ACB силы поля оказывают положительное воздействие, т.е. совершают положительную работу, а при движении по участку кривой DEF они оказывают отрицательное воздействие, т.е. совершают отрицательную работу. Точно также при спуске с горы мы ощущаем положительное воздействие силы тяжести, а при подъеме в гору нам приходится преодолевать отрицательное воздействие этой силы.
Если в пространстве введена декартова система координат, то сила, действующая в точке M (x, y, z) может задаваться посредством ее разложения
по единичным векторам i , j,k
F(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,