9489

60

∑=1 ( )

II.приведем силу к точке А.

Система приводится к одной силе, равной главному вектору, и паре с моментом равным моменту равнодействующей относительно центра приведения:

().

Сравнивая результаты приведения систем I и II, мы видим, что силы в них одинаковы и приложены в одной и той же точке A.

Поскольку после приведения к центру А эти системы сил останутся эквивалентными, моменты пар также должны быть одинаковы, то есть

Это и есть математическая запись теоремы Вариньона.

Проецируя равенство (7.5) на оси координат, проходящие через точку А, мы получим выражение теоремы Вариньона для моментов сил относительно осей:

() = ∑=1 ( ) = 0,

Эта теорема часто используется на практике для вычисления момента некоторой силы в том случае, когда сложно найти плечо самой силы, но легко определить плечи ее составляющих.

7.5ИНВАРИАНТЫ СИСТЕМЫ СИЛ

Первым (векторным) инвариантом системы сил является главный вектор, поскольку он не зависит от точки приведения.

В отличие от главного вектора главный момент не является инвариантом. При переносе центра приведения из точки О в точку А его величина меняется по закону

где r0 − радиус-вектор, проведенный от нового центра В к точке А. Можно доказать, что при перемене центра не изменяется скалярное

произведение главного момента и главного вектора.

61

Действительно, умножив скалярно все слагаемые на главный вектор, получим:

∙ = ∙ + ( × ) ∙

Второе слагаемое в правой части равно нулю, поскольку является скалярным произведением взаимно перпендикулярных векторов.

скалярное произведение главного момента на главный вектор является вторым (скалярным) инвариантом системы сил.

Итак, каждая система сил имеет две не зависящие от центра приведения характеристики:

1.векторный инвариант, которым является главный вектор R ;

2.скалярный инвариант, которым является скалярное произведение

главного момента на главный вектор.

Первый и второй инварианты независимы, то есть из одного из них не следует другой.

Иногда в качестве скалярного инварианта системы сил принимают

проекцию главного момента на направление главного вектора.

Модуль главного вектора не зависит от точки приведения. Поделив на него левую и правую части равенства получим:

где и углы между направлениями главного момента и главного вектора соответственно в точках A и B , а вектор представляет собой единичный направляющий вектор главного вектора.

Выражения в левой и правой частях представляют собой проекции главного момента на направление главного вектора. На рис. 7.5 показано, что для различных точек пространства эта величина одинакова, то есть не зависит от выбора центра приведения.

63

Эта система сил не может быть более упрощена.

Такая система сил называется динамическим винтом, силовым винтом или динамой .

Тема 8.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СИСТЕМ СИЛ

В частных случаях, когда на систему сил наложены какие-либо ограничения, число необходимых уравнений равновесия может быть меньше шести, поскольку часть из них будут являться тождествами.

Рассмотрим примеры.

Наиболее важной с точки зрения практического применения является случай, когда все силы расположены в одной плоскости. Такие системы называют плоскими системами сил.

8.1. ПРИВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Рассмотрим случай приведения к заданному центру O сил, произвольно расположенных на плоскости.

Пусть к твердому телу приложены силы (1, 2, … , ), лежащие в одной плоскости и приложенные соответственно в точках A1, A2 ,...., An (рис. 8.1,а).

Примем за центр приведения некоторую точку O , лежащую в этой плоскости, и приведем все силы к этому центру. В результате приведения

65

(1, 2, … , ) ≡ ( , ).

Выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора, но влияет на величину и знак главного момента.

8.2. УПРОЩЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Итак, любая плоская система сил может быть заменена

одной силой (равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения О) и/или

одной парой (с алгебраическим моментом, равным главному алгебраическому моменту системы сил относительно центра

приведения ).

Однако в ряде случаев и эту систему сил можно упростить. Рассмотрим эти случаи.

оказывается эквивалентной одной силе , т. е. имеет равнодействующую равную главному вектору, которая не проходит через центр приведения О.

Рассмотрим последний случай подробнее (рис. 8.2).

Так как элементы пары можно изменять, сохраняя при этом ее момент, расположим пару (, ′), момент которой равен главному моменту системы

сил следующим образом:

66

Рис. 8.2

1. пусть одна из сил пары ( R ) будет приложена в точке О и направлена против силы (рис. 8.2, б);

2. пусть модули сил, составляющих пару, равны модулю главного вектора:

= ′ = , и тогда плечо пары будет равно = ⁄ .

3. Уравновешенную систему сил ′ и можно исключить.

Исходная система сил оказывается эквивалентной одной силе R , т. е. имеет равнодействующую (геометрически равную главному вектору), линия

действия которой проходит на расстоянии = ⁄ от центра О.

8.3. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Поскольку плоская система сил является частным случаем произвольной пространственной системы сил, для нее справедливы те же условия уравновешенности, что и для пространственной системы.

67

Пусть плоскость (рис. 8.1, а), в которой лежат линии действия сил системы — это плоскость xy . Ось z перпендикулярна этой плоскости.

Рассматривая шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил (7.4), легко видеть, что в данном случае уравнения

превращаются в тождества, так как все силы перпендикулярны оси z и лежат в одной плоскости с осями x и y.

Таким образом, условия уравновешенности плоской системы сил в аналитической форме будут представлены только тремя уравнениями:

Последнее уравнение для плоской системы сил принято записывать иначе. Вместо того чтобы говорить о «моментах сил относительно оси z , проходящей через некоторую точку О, говорят о «моментах сил относительно точки О» (см. § 5.6) и записывают последнее уравнение в виде:

∑=1 ( ) = 0

Тогда уравнения равновесия для плоской системы сил принимают вид:

ЭТО ПЕРВАЯ (ОСНОВНАЯ) ФОРМА УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ.

Она состоит из двух уравнений проекций сил на две проведенные произвольным образом перпендикулярные оси х и у и одного уравнения моментов сил относительно произвольной точки О плоскости ху.

Можно показать, что системе уравнений (8.1) равносильны еще две формы записей уравнений равновесия для плоской системы сил.

68

ВТОРАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ:

Она содержит одно уравнение проекций сил на какую-либо ось y и два уравнения моментов сил относительно точек А и В (ось y не должна быть перпендикулярна линии АВ, иначе уравнения не будут независимы).

ТРЕТЬЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ:

∑=1 ( ) = 0

Она содержит три уравнения моментов сил относительно трех произвольных точек А, В и С. При этом точки А, В и С не должны лежать на одной прямой.

Из трех возможных вариантов следует выбирать ту форму записи уравнений равновесия, с помощью которой данная конкретная задача будет решаться наиболее рациональным образом.

8.4. ДРУГИЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ УСЛОВИЙ РАВНОВЕСИЯ

СХОДЯЩИЕСЯ СИСТЕМЫ СИЛ

Если линии действия всех сил системы проходят через одну точку, то моменты сил относительно этой точки (или любой проходящей через нее оси) будут равны нулю.

В этом случае уравнения моментов (7.4, г,д,е) оказываются тождествами (т. е. выполняются автоматически); тогда для системы сходящихся сил остаются только уравнения проекций сил:

69

Если при этом все силы системы лежат в одной плоскости Oxy, то и уравнение (в) также обратится в тождество и в системе останется два уравнения:

СИСТЕМЫ ПАР СИЛ

Если система сил состоит только из пар, для каждой из которых, как известно, сумма векторов сил равна нулю, то уравнения проекций сил (а,б,в) в (7.4) оказываются тождествами.

Тогда для системы пар остаются только уравнения сумм проекций моментов пар, которые были записаны нами как уравнения (8.8):

Если при этом все силы системы лежат в одной плоскости, то равновесие системы описывается одним уравнением:

i 1

СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

Пусть линии действия всех сил параллельны друг другу (рис. 8.4). Направим ось z параллельно этим силам. В этом случае являются тождествами уравнения проекций сил на оси х и у, а также уравнения моментов сил относительно оси z, то есть уравнения (а,б,е) из (8.3).

Тогда остаются три уравнения: