Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

9389

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.11.2023
Размер:
2.61 Mб
Скачать
f (x, y,z)dl . Таким образом,

n

M = Mi

i=1

n

ρ(ξi i , νi ) li

i=1

В силу интегральной методологии естественно ожидать, что точное значение массы может быть получено в результате предельного перехода

n

 

M = limρ(ξi , ηi , νi ) li

(54.1)

n→∞ i=1

 

если, конечно, при n → ∞ длина каждого отрезка

Ai−1Ai кривой будет

стремиться к нулю.

 

Обобщение этой вычислительной процедуры, отвлеченное от физического содержания, приводит к понятию криволинейного интеграла 1-го рода (по длине дуги). Пусть в пространстве в некоторой области D расположена линия AB и пусть в некоторой окрестности этой

линии определена функция f ( x, y, z) . Разделим линию AB на n участков точками A0 = A , A1, A2 , A3,...,An = B. Длину участка линии от точки Ai−1 до

точки A обозначим li . На участке линии AA выберем некоторую точку

i i 1 i

Pi i , νi ) и сформируем следующую интегральную сумму:

 

n

 

 

Sn =f i i i ) li .

 

i=1

и li →0, и он не зависит ни от

Если существует предел S

при n → ∞

n

 

способа деления кривой AB на n частей, ни от выбора точек Pi i i ) на

i-ом участке, то этот предел называется криволинейным интегралом 1-ого рода (по длине дуги) от функции f (x, y, z) вдоль кривой A и обозначается

как

AB

 

 

n

l .

 

f (x, y, z)dl = limS = lim∑ f (ξ , η , ν )

(54.2)

n→∞ n

n→∞

i i i

i

AB

 

 

i=1

 

 

Возвращаясь к задаче о нахождении массы неоднородной линии, можно с помощью введённого определения записать, что

M = f (x, y,z)dl .

(54.3)

AB

 

Будем говорить, что кривая AB гладкая, если в каждой точке этой кривой существует касательная и угол наклона касательной непрерывно меняется при движении точки вдоль данной кривой. На рис. 54.2 кривая AB гладкая, а кривая LQ кусочно-гладкая, ибо в точках M и P

касательная не существует.

102

Рис. 54.2

Теорема. Если непрерывная кривая AB может быть разбита на конечное число гладких кусков и в некоторой окрестности этой кривой функция f (x, y, z) непрерывна, то для нее существует криволинейный интеграл (54.2).

Наряду со свойствами, которые имеют все рассмотренные ранее интегралы (постоянн ое число можно выносить за знак ин теграла; интеграл от суммы или раз ности двух функций равен сум ме или разности интегралов от этих ф ункций), отметим еще ряд свойст в криволинейного интеграла 1-го рода.

а) Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления

движения по кривой. Действительно, в формуле (54.2 ),

множитель

li

равен длине i-го отрезка кривой и поэтому он не зависит

от направления.

б) dl = L , где

L – длина кривой

AB . Действительно, если в (54.2)

AB

 

 

 

 

f (x, y, z) =1, то интег ральная сумма будет равна длине кривой от точки

A

до точки B .

 

 

 

 

в) Если точка C

находится на кривой AB (см. рис. 54.1), то

 

f (x, y, z)dl = f (x, y, z)dl + f (x, y, z)dl .

 

 

AB

AC

CB

 

 

54.2. Вычислен ие криволинейного интеграла 1-го рода. Понятно,

что, записав формулу

(54.3), мы еще не дали способа вычисления массы,

который бы отличал ся от вычислительной конструкции ,

приведенной в

начале параграфа. Однако анализ конструкции (54.2) показывает, что при

достаточно

общих

предположениях относительно с войств

функции

f (x, y, z) и кривой

AB вычисление криволинейного интеграла 1-го рода

сводится к

вычислен ию обычного

определенного интеграла.

При

этом

существенную роль играет способ задания кривой AB .

 

 

Плоский случай. Явное задание кривой. Пусть кривая

AB

на

плоскости определена уравнением

y= y(x), axb. Рассмотрим сначала

случай, когда вдоль кривой

f (x, y) ≡ 1. Ввиду того, что

 

n

 

dl = L = limn → ∞ li = L

,

AB

i =1

 

 

103

 

получим формулу для вычисления длины дуги AB .

Рис. 54.3

Если отрезки, на которые делится кривая, достаточно малые,

то длина li

отрезка кривой Ai−1Ai приблизительно равна длине хорды Ai−1Ai .

По теореме

Лагранжа приращение

yi

функции

y = y(x) на участке ( xi−1 , xi ) равно

значению производной в некоторой точке ξ

i

этого участка, умноженному

на приращение xi , т.е.

y = y( ) x . Таким образом, для плоского случая

 

 

 

i

 

 

ξ

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 54.3) будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

xi

 

Li

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

1+ y2 (ξi)

 

 

Ai−1Ai

 

xi2 + yi2

 

 

 

 

 

 

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

L = dl = lim

 

 

2

(ξi ) xi .

 

1+ y

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

n→∞

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Li →0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нетрудно видеть, что под знаком предела стоит интегральная сумма для функции 1 на отрезке (a,b), и потому последний

предел равен определенному интегралу от этой функции на этом отрезке. Таким образом,

b

L = dl = 1+ y2 (x)dx

AB a

Пусть теперь f (x, y) – произвольная непрерывная функция, определенная в точках близких к кривой AB . Так как, согласно определению, точка Pi

на отрезке кривой Ai−1Ai может выбираться произвольным образом, то

104

выберем ее так, чтобы она имела координаты

(ξi

,y'(ξi)) , где ξi есть то

значение аргумента x на

отрезке

(xi−1, xi ) ,

при

котором

yi = y'(ξ ) xi .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x, y)dl = lim

))

2

(ξi

)

xi .

 

 

f (ξi , yi

1+ y

 

 

AB

n→∞

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Li 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приглядевшись к выражению под знаком предела, мы видим, что оно

представляет

интегральную

 

сумму

 

для

функции

g(x) = f (x, y(x))

 

 

 

 

 

 

 

1+ y'2 (x)

на отрезке

(a, b)

 

и

потому предел равен

определенному интегралу от этой функции на данном отрезке. В результате мы приходим к формуле

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

f (x, y)dl = f (x, y(x))

 

(x)dx.

(54.5)

 

1+ y

 

AB

a

 

 

 

 

 

 

то

AB

,

,

 

 

 

Если кривая

на плоскости определена уравнением

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ x2 (y)dy .

 

 

f (x, y)dl = f (x( y), y)

(54.6)

 

AB

c

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти массу части кривой y=2-x2 соединяющей

точки A(0, 2)

и B(1,1) , если плотность распределения массы вдоль

кривой задана функцией ρ(x, y) =2x (рис.53.4).

 

Рис. 54.4

Решение. Так как y′ = −2x , то по формуле (54.3) искомая масса будет равна

105

M = ρ(x,y)d l =

2x 1+ 4x2 dx = 1

1+ 4x2 d

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

AB

0

4

0

 

 

=

1

((1+ 4x2 )3 / 2

 

1

=

1

(5

 

−1) ≈1, 7.

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

0

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Плоский случай. Параметрическое задание кривой.

определена параметрическими уравнениями

(1+ 4x2 ) =

Пусть кривая AB

x = x(t); y = y(t); α≤t ≤β,

где x(t) и y(t) дифференцируемые функции, производные которых

непрерывны, причем значению t = α соответствует точка

A, а значению

t = β соответствует точка B . В этом случае криволинейный интеграл

1-го рода вычисляется по формуле:

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

2

2

(t)dt.

(54.7)

 

f (x, y)dl = f (x(t), y(t)) x

(t) + y

AB

α

 

 

 

 

Для её вывода достаточно в формуле (54.7) осуществить замену переменных x = x(t); a = x(α); b = x(β), dx = xtdt и вспомнить, что

y

=

y ′ / x ′ .

x

 

t

tt

Плоский случай. Уравнение кривой определено в полярных координатах. Попробуем вывести формулу для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода в случае, когда кривая AB на плоскости задана уравнением в полярных координатах:

r = r(ϕ)

ϕ

≤ϕ≤ ϕ

(54.8)

 

1

2

 

Вспомним, что связь между декартовыми и полярными координатами определяется формулами x = r cosϕ, y = r sin ϕ. Если в них вместо r

подставить его выражение из уравнения (54.8), то получится параметрическое уравнение кривой AB :

 

 

 

 

x = r(ϕ)cosϕ,

 

y = r(ϕ)sinϕ.

(54.9)

в котором в качестве параметра выступает

полярный угол ϕ,

изменяющийся в пределах от ϕ

до ϕ

. При этом

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

x

2

(ϕ) + y

2

 

 

2

+ (r

(ϕ)sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ)

2

 

 

(ϕ) = (r (ϕ) cos ϕ − r(ϕ) sin ϕ)

 

 

 

= r 2 (ϕ) + r2 (ϕ).

Подставляя это выражение в соотношение (54.7), получим формулу для вычисления криволинейных интегралов 1-го рода в случае, когда кривая АВ на плоскости задана в полярных координатах:

106

 

 

 

ϕ2

ϕ

ϕ

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

f (x, y)dl

=

2

(

ϕ +

r

2

ϕ

(54.10)

 

f (r cos ,r sin

)

r

)

 

( )d .

 

AB

 

 

ϕ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти массу половины кардиоиды r = (1+ cosϕ), 0 ≤ ϕ ≤ π,

если плотность ρ = r в каждой её точке.

Рис. 54.5

Пользуемся формулами (54.3) и (54.10):

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M = rdl = r r 2 (ϕ) + r2 (ϕ)d ϕ =

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 + cos ϕ)2

+ (-sinϕ)2 d

ϕ =

 

 

 

 

 

 

= (1 + cos j)

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

j

 

π

 

 

 

 

psin j -

sin3 j

 

 

 

 

 

= 2 cos2

× 2 cos j d ϕ = 8(1 - sin 2 j) × d (sin j) = 8

 

2

=

16

2

3

 

 

0

2

0

2

2

 

0

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общий пространственный случай. Если кривая AB расположена в пространстве, то, как правило, она задается параметрическими уравнениями

x = x(t); y = y(t); z = z(t) α≤ t ≤ β,

причем параметру t = α соответствует точка A, а параметру t = β соответствует точка B . Предполагая, что производные x′(t), y′(t), z′(t) непрерывны при α ≤ t ≤ β, а функция f(x,y,z) непрерывна в некоторой

области D, окружающей кривую AB, и, проводя рассуждения, подобные приведенным для плоского случая, придем к следующей формуле:

 

β

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

(t)dx .

(54.11)

 

 

f (x, y,z)dl = f (x(t), y(t),z(t)) x

(t) + y

(t) + z

AB

α

 

 

 

 

 

 

107

 

 

 

 

 

 

54.3. Некоторы е приложения криволинейного интеграла 1-ого

рода. Определение площади цилиндрической поверхности. На рис. 54.6

изображено ограждение переменной высоты некотор ой горизонтально расположенной терр итории, ограниченной кривой L. Вопрос о расходе краски, необходимой для окраски этого огражде ния, сведется к нахождению его пло щади. Если ввести систему координат так, чтобы территория находилась в плоскости XOY, то можно считать, что данное ограждение представ ляет собой часть цилиндрической поверхности с направляющей L и образующей, параллельной оси OZ, причем высота ограждения задается функцией z = f ( x, y ) , определенно й в каждой точке

кривой L (рис.54.6). Если рассмотреть часть поверхности на небольшом

участке кривой Ai1Ai , то можно считать, что высота этой части постоянна и

равна значению

фун кции z = f (x, y) в некоторой точке P(x , y ). В таком

 

 

i i i

случае площадь

этого участка поверхности приблизительно равна

Si z(xi , yi ) L i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 54. 6

Суммируя по всем участкам и переходя к пределу в получающейся интегральной сумме, мы придем к тому, что площадь всей боковой

поверхности ограждения будет определяться по формуле

S = z(x, y)dl .

 

 

 

 

 

 

L

Вычисление

массы,

координат

центра

тяжести и

моментов инерции

материальной

кривой. Часто

математическую

идеализацию

пр

остранственного

материального

объекта можно

представить в виде

пространственной кривой AB, вдоль которой

распределена

мас

са с

линейной

плотностью ρ( x, y, z) (рис.54.1).

(Канаты, на которых подвешен мост через пролив Босфор, соединяющий Черное и Средизем ные моря, можно рассматривать в качестве примера такого объекта. В качестве математической модели канатов можно

108

рассматривать их оссевые линии с постоянной линейной плотностью, равной массе тонкого слоя поперечного сечения). В такомм случае основные механические характе ристики подобных объектов могут быть вычислены с помощью криволинейного интеграла 1-ого рода.

а) Масса материальной кривой. Как мы уже знаем, масса М такой кривой может быть в ычислена по формуле (54.3).

б) Моменты инеерции I x, I y, I z относительно осей OX , OY , OZ . Перечисленные моменты вычисляются по следующим формулам

Ix = (y2 +z2)ρ(x, y,z)dl, Iy = (x2 +z2)ρ(x, y,z)dl,

Iz = (x2 +y2)ρ(x, y,z)dl. (54.12)

AB

AB

AB

Для их вывода,

как обычно в таких ситуациях, разделяем кривую на

мелкие участки и считаем, что вся масса отрезка кривой (приблизительно равная ρ(ξi i , νi ) Li ) сосредоточена в некоторой ее точке Pi , ηi , νi ).

Момент инерции этой материальной точки относительнно, например, оси OX, будет равен ее массе, умноженной на квадрат расстояния от оси, т.е. ρ(ξi i i ) Li i2 i2 ). Суммируя по всем отрезкам кривой и переходя к

пределу, получаем искомые выражения.

в) Kоординаты центра тяжести. Координаты центра тяжести C(xc , yc , zc ) материальной пространственной кривой могут быть высчитаны

по формулам:

xc =

1

 

xρ(x, y,z)dl, yc =

1

 

yρ(x, y,z)dl,

zc

=

1

 

 

 

(zρ(x, y,z)dl ,

(54.13)

M

M

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

AB

 

 

 

 

 

AB

 

 

где M – масса кривой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

Найдем

механические

 

характеристики

верхней

полуокружности ради уса R с центром в начале координат, вдоль которой

равномерно распределена масса с плотностью ρ .

В да нном примере мы

имеем дело с плоской кривой и потому в соответствую щих формулах мы должны опустить переменную z. Очевидно, что масса M равна длине полуокружности, умноженной на ρ , т.е. M = πρR .

Рис. 54. 7

109

Для нахождения моментов инерции Ix и Iy сначала запишем уравнение полуокружности в параметрическом виде

 

 

 

x = Rcost,

 

 

 

 

 

 

y = Rsint,

 

0≤t ≤ π,

а затем воспользуемся формулой (54.11)

(для плоского случая) и (54.8).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

(t)dt

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ix = ∫ y

ρdl =∫ρy (t) x

 

(t) + y

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 sin2 t + R2 cos2 tdt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ∫ R2 sin2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

π

 

 

 

 

 

=

 

π

1

 

1

sin2t) =

ρπR3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρR3 ∫sin2 tdt

 

(

 

 

t

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нетрудно понять, что Iy

имеет такое же значение.

 

 

 

 

 

Что касается

 

 

координат центра

 

тяжести

 

 

 

C(xc , yc ), то в силу

симметрии

xc

= 0,

а

 

 

для

вычисления yc опять используем

параметрическое уравнение полуокружности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (t) + y (t)dt =

 

yc =

M

yρdl =

M

ρy(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2R

 

 

=

 

 

 

ρRsint

 

R2 sin2 t + R2 cos2 tdt =

 

.

 

πρR

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

110

M(x,y,z)

Лекция 55. Криволинейные интегралы 2-г о рода (по координатам)

Вданной лекции мы рассмотрим еще одн у интегральную

конструкцию, котор ая, как и все рассмотренные ра нее, изначально возникла при стремлении решить некоторую прикладную задачу (именно в физике), а потом оказалась применимой при решении других теоретических и пр икладных задач. Речь идет о криволинейных интегралах 2-го рода.

55.1. Определение и обозначения. Физическая задача, в которой подобная конструкц ия возникает, формулируется след ующим образом. Пусть в некоторой об ласти D пространства определено силовое поле, т.е. на материальную точку единичной массы, помещенную вR область D, действует зависящая от ее местонахождения вектор-сила F . И пусть в этой области материальная точка перемещается по кривой L из положения A в положение B. Требуется определить работу W сил данного поля при таком перемещении.

Рис. 55.1

На рисунке 55 .1 изображено плоское поле сил. Ясно, что при перемещении точки по кривой L по участку кривой ACB силы поля оказывают положительное воздействие, т.е. совершают положительную работу, а при движении по участку кривой DEF они оказывают отрицательное воздей ствие, т.е. совершают отрицательную работу. Точно также при спуске с горы мы ощущаем положительное воздействие силы тяжести, а при подъеме в гору нам приходится преодолевать отрицательное воздействие этой силы.

Если в пространстве введена декартова система к оординат, то сила, действующая в точке может задаваться посредством ее

R R R

разложения по едини чным векторам i , j,k

111

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]