9182

В отдельных случаях, когда заданное сечение нельзя разбить на простейшие, положе-

ние центра тяжести необходимо определять путём интегрирования.

2.2. Моменты инерции сечений.

Для сечения, показанного на рис. 2.1, можно ввести следующие новые геометрические характеристики:

осевой момент инерции сечения относительно оси х:

Jx = ∫ y 2 dA ;

A

осевой момент инерции сечения относительно оси у:

Jy = ∫ x 2 dA ;

A

центробежный момент инерции сечения:

Jxy = ∫ xy dA ;

A

полярный момент инерции сечения:

Jp = ∫ ρ 2 dA .

Для моментов инерции можно указать следующие свойства:

моменты инерции имеют размерность мм4, см4 и т. д.;

осевые моменты инерции Jx, Jy и полярный момент инерции Jp всегда положительны и

не равны нулю;

центробежный момент инерции Jxy может быть положительным, отрицательным и равным нулю;

оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю: Jxy = 0, в

дальнейшем будем называть главными осями инерции.

Рассмотрим сечение, у которого ось у, например, - ось сим-

метрии (рис.2.4).

Центробежный момент инерции двух площадок, расположен-

ных симметрично, равен:

dJxy = xydA – xydA = 0.

Интегрируя по площади сечения, имеем Jxy = 0.

Таким образом, центробежный момент инерции

Рис. 2.4

сечения относительно осей, из которых одна или обе являются осями симметрии, равен нулю.

Складывая осевые моменты инерции и учитывая, что ρ 2 = х2 + у2 (см. рис. 2.1), получим

Jx + Jy = ∫ y 2 dA + ∫ x 2 dA = ∫ (x 2 + y 2 ) dA = ∫ ρ 2 dA = Jp ,

A A A A

т.е. сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей рав-

на полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей:

Jx + Jy = Jρ .

Осевой момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме осевых моментов инерции составляющих его частей относительно этой же оси.

Аналогично, центробежный момент инерции сечения относительно двух взаимно перпенди-

кулярных осей равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей от-

носительно этих же осей.

Полярный момент инерции сложного сечения относительно некоторой точки равен сумме по-

лярных моментов инерции составляющих его частей относительно этой же точки.

Следует помнить, что нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно различных осей и точек.

2.3. Моменты инерции простейших сечений.

1). Осевые моменты инерции прямоугольного сечения шириной b и высотой h относительно осей симметрии прямоугольника х и у (рис. 2.5).

Выделим линиями, параллельными оси х, элементарную полоску высотой dy и шири-

ной b. Площадь этой полоски dA = b dy, а координата её центра тяжести – у. Пределы интег-

рирования: от y = - h/2 до y = + h/2. Вычислим осевой момент инерции прямоугольника от-

носительно оси симметрии х:

Для прямоугольного коробчатого сечения (рис. 2.6) моменты инерции равны разности моментов инерции большого прямоугольника и малого прямоугольника:

В строительстве широкое применение находит прокатная сталь. Сечения прокатных

профилей показаны на рис. 2.7:

Рис. 2.7

Геометрические характеристики прокатных профилей определяют из таблиц на про-

катную сталь.

2.4. Преобразование моментов инерции при параллельном переносе осей.

Установим зависимость между моментами инерции одного и того же сечения относи-

Учитывая, что статические моменты фигур относительно центральных осей равны нулю:

Sxc = 0 , в результате получаем

Jx = Jxc + a 2 A .

Выполняя аналогичные вычисления для второго осевого момента инерции и центро-

бежного момента инерции, будем иметь следующие формулы преобразования моментов инер-

ции при параллельном переносе осей

Jx = Jxc + a 2 A . Jy = Jyc + b 2 A . Jxy = Jxc yc + a b A .

Из формул для осевых моментов инерции следует, что для всех параллельных осей наимень-

шее значение осевые моменты инерции имеют относительно центральных осей хс и ус.

Если заданное сечение можно разбить на простейшие фигуры, то полученные формулы вы-

числения моментов инерции при параллельном переносе осей можно записать в следующем виде

2.5. Преобразование моментов инерции при повороте осей.

Предположим, что моменты инерции сечения Jx, Jy, Jxy относительно заданной системы координат х, у известны. Повернём заданную систему координат вокруг начала координат на произвольный угол ά (рис. 2.9). Положительным будем считать угол поворота от положитель-

ного значения х к положительному значению у.

На рис. 2.9 показан положительный угол поворота для заданной системы координат.

Формулы, связывающие координаты центра тяжести элементарной площадки dA в новой (по-

вёрнутой) и старой системах координат, приведены на рис. 2.9.

Рис. 2.9

2.6. Главные оси инерции. Главные моменты инерции.

Как было установлено ранее, Jx + Jy = Jp .

Если оси координат поворачивать в своей плоскости вокруг начала координат, то по-

лярный момент инерции останется неизменным, а осевые моменты инерции будут изменяться,

причём Jx + Jy = const.

Если сумма двух переменных величин остаётся постоянной, то одна из них уменьшает-

ся, а другая увеличивается. Следовательно, при каком-то положении осей один из осевых мо-

ментов инерции достигает максимального значения Jmax, а другой момент инерции - мини-

мального значения Jmin.

Оси, относительно которых моменты инерции имеют максимальное и минимальное зна-

чения, называются главными осями инерции, а моменты инерции – главными момен-

тами инерции.

В теории моментов инерции доказывается, что центробежный момент инерции равен нулю: Jxy = 0 относительно главных осей инерции.

Ранее мы установили, что центробежный момент инерции равен нулю, если одна из осей х или у – ось симметрии. Кроме того, ось симметрии – центральная ось.

Следовательно, оси симметрии фигуры являются главными центральными осями инерции.

Величины главных моментов инерции можно определять по формуле

Ось, относительно которой момент инерции достигает максимального значения, называется осью максимум или первой главной осью инерции.

Ось, относительно которой момент инерции достигает минимального зна-

чения, называется осью минимум или второй главной осью инерции.

Поскольку сумма осевых моментов инерции должна оставаться постоян-

ной, то для проверки вычислений можно использовать равенство

Jx + Jy = Jmax + Jmin .

Углы наклона главных осей инерции относительного исходной оси х можно определять по следующим формулам

Из формул следует, что, если один из углов получится положительным, то другой бу-

дет обязательно отрицательным. Для проверки вычислений можно использовать условие, что сумма абсолютных значений углов должна быть равна девяносто градусов:

αmax + α min = 90o .

2.7.Моменты сопротивления сечений.

При решении задач изгиба и кручения используется геометрическая характеристика се-

чения, которая называется моментом сопротивления.

Осевым моментом сопротивления называют отношение главно-

го центрального момента инерции к расстоянию от главной цен-

тральной оси до самой удалённой точки на внешнем контуре се-

чения (рис.2.10):

Моменты сопротивления вычисляются в мм3, см3 и т. д.

Моменты сопротивления величины положительные и не равны нулю.

. Рис. 2.10 Моменты сопротивления сложных сечений не равны сумме моментов сопротивлений составных частей сечения, за исключением некоторых фигур.

Подсчитаем моменты сопротивления прямоугольного сечения (см. рис. 2.5).

Момент сопротивления коробчатого сечения относительно оси х (рис. 2.6):

При решении задач кручения круглых стержней используются полярный момент инерции и полярный момент сопротивления.

Проверка : Jx + Jy = 4695.1 + 7537.8 = 12232.9см4 , Jmax + Jmin = 8585.74 + 3647.16 = 12232.9 см4.

.

). Определяем углы наклона главных центральных осей инерции сечения.

Задача 2.2. Для заданного поперечного сечения стального стержня, состоящего из следую-

щих элементов:

1.вертикального листа 400 х 12 мм;

2.прокатного двутавра №20;

3.прокатного швеллера №20;

4.неравнополочного уголка 100 х 65 х 10 мм,

необходимо определить:

-положение центра тяжести поперечного сечения (т. С);

-главные центральные оси поперечного сечения;

-главные центральные моменты инерции поперечного сечения;

-главные центральные радиусы инерции сечения.

Ре ш е н и е.

Геометрические характеристики элементов, составляющих заданное сечение:

1). Общая площадь составного сечения

А = ∑ А i = 48.0 + 26.8 + 23.4 + 15.67 = 113.87 см2.