9180

aD = j3 + j2 + j1 = j3 + j2 + Мt (1) × L1 =

GIt

= - + 2,1 кН × м×1 м = - + =

0, 0086 0, 0086 0, 0224 0, 0138 рад. 93,8 кН × м2

Эпюра полных углов закручивания α показана на рис. 5.6в.

6. Сдвиг. Расчет заклепочных соединения

Мы изучали, что при простом растяжении или простом сжатии две части стержня,

разделенные наклонным сечением, стремятся не только оторваться друг от друга, но и

сдвинуться одна относительно другой. Растяжению сопротивляются нормальные, а сдвигу

—касательные напряжения.

На практике целый ряд деталей и элементов конструкций работает в таких условиях,

что внешние силы стремятся их разрушить именно путем сдвига.

В соответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план вы-

ступают касательные напряжения. Простейшими примерами подобных деталей являются болтовые и заклепочные соединения. Заклепки во многих случаях уже вытеснены свар-

кой; однако они имеют еще очень большое применение для соединения частей всякого рода металлических конструкций: стропил, ферм мостов, кранов, для соединения листов в котлах, судах, резервуарах и т. п. Для образования заклепочного соединения в обоих лис-

тах просверливают или продавливают отверстия. В них закладывается нагретый до крас-

ного каления стержень' заклепки с одной головкой; другой конец заклепки расклепывает-

ся ударами специального молотка или давлением гидравлического пресса (клепальной машины) для образования второй головки. Мелкие заклепки (малого диаметра — меньше

8 мм) ставятся в холодном состоянии (авиационные конструкции).

Для изучения работы заклепок рассмотрим простейший пример заклепочного соеди-

нения (Рис.6.1). Шесть заклепок, расположенных в два ряда, соединяют два листа внахле-

стку. Под действием сил Р эти листы стремятся сдвинуться один по другому, чему пре-

пятствуют заклепки, на которые и будет передаваться действие сил ).

Рис.6.1 Расчетная схема заклепочного соединения

Для проверки прочности заклепок применим общий порядок решения задач сопротив-

ления материалов.

На каждую заклепку передаются по две равные и прямо противоположные силы: од-

на— от первого листа, другая — от второго. Опытные исследования показывают, что одни из заклепок ряда нагружаются больше, другие — меньше. Однако к моменту разрушения усилия, передающиеся на различные заклепки, более или менее выравниваются за счет пластических деформаций. Поэтому принято считать, что все заклепки работают одинако-

во. Таким образом, при заклепках в соединении, изображенном на рис. 6.1, на каждую

из них действуют по две равные и противоположные силы (рис.6.2); эти силы пе-

редаются на заклепку путем нажима соответствующего листа на боковую полуцилиндри-

ческую поверхность стержня. Силы стремятся перерезать заклепку по плоскости mk

раздела обоих листов.

Рис.6.2 Силы, действующие на заклепочное соединение.

Для вычисления напряжений, действующих по этой плоскости, разделим мысленно заклепочный стержень сечением mk и отбросим нижнюю часть (Рис.6.2). Внутренние уси-

лия, передающиеся по этому сечению от нижней части на верхнюю, будут уравновеши-

вать силу т. е. будут действовать параллельно ей в плоскости сечения, и в сумме дадут равнодействующую, равную . Следовательно, напряжения, возникающие в этом сече-

нии и действующие касательно к плоскости сечения, это — касательные напряжения .

Обычно принимают равномерное распределение этих напряжений по сечению. Тогда при диаметре заклепки d на единицу площади сечения будет приходиться напряжение:

Величина допускаемого касательного напряжения , или, как говорят, допускаемого напряжения на срез, принято определять в виде: Зная , мы напишем условие прочности заклепки на перерезывание в таком виде:

т. е. действительное касательное напряжение в материале заклепки должно быть

равно допускаемому или меньше его.

Из этого условия можно определить необходимый диаметр заклепок, если задаться их

числом, и наоборот. Обычно задаются диаметром заклепочных стержней d в соответствии

с толщиной t склепываемых частей (обычно ) и определяют необходимое число за-

клепок :

Знаменатель этой формулы представляет собой ту силу, которую безопасно может

взять на себя каждая заклепка.

Рис.6.3 Расчетная модель действия нормальных напряжений

При выводе формулы расчета заклепки на перерезывание, помимо оговоренных, допущена еще одна неточность. Дело в том, что силы действующие на заклепку, не направлены по одной прямой, а образуют пару. Эта пара уравновешивается другой парой, образующейся из реакций соединенных листов на головку заклепки (рис.6.3) и ведет к появлению нормальных напряжений, действующих по сечению mk.

Кроме этих нормальных напряжений, по сечению mk действуют еще нормальные напряжения, вызванные тем, что при охлаждении заклепочный стержень стремится сократить свою длину, чему мешает упор головок заклепки в листы. Это обстоятельство, с одной стороны, обеспечивает стягивание заклепками листов и возникновение между ними сил трения, с другой — вызывает значительные нормальные напряжения по сечениям стержня заклепки. Особых неприятностей эти напряжения принести не могут. На заклепки идет сталь, обладающая значительной пластичностью; поэтому даже если бы нормальные напряжения достигли предела текучести, можно ожидать некоторого пластического удлинения стержня заклепки, что вызовет лишь уменьшение сил трения между листами и осуществление в действительности той схемы работы заклепки на перерезывание, на которую она и рассчитывается. Поэтому эти нормальные напряжения расчетом не учитываются.

7.Напряжения при прямом поперечном изгибе

7.1Чистый изгиб. Нормальные напряжения (формула Новье)

Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый чистым изгибом, и

выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая. Отме-

тим, что методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормаль-

ных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые гипотезы.

Таких гипотез при изгибе три:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки,

лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой - сжимать-

ся; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2)гипотеза о постоянстве нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3)гипотеза об отсутствии боковых давлений - соседние продольные волокна не да-

вят друг на друга.

Кроме этих гипотез следует ввести ряд ограничений:

1.Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

2.Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растя-

жении и сжатии одинаков.

3. Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плос-

кого изгиба без коробления или скручивания.

Приведенные выше гипотезы в обычных случаях изгиба верны только приблизи-

тельно. Однако вытекающие из них погрешности теории так невелики, что ими можно пренебречь.

Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротивле-

ния, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а

поперечные силы равны нулю. Для тех участков бруса, где соблюдается данное условие,

изгибающий момент, вдоль продольной оси z принимает постоянное значение. Так как в любом сечении стержня при чистом изгибе Mx(z) = const, то для однородного бруса посто-

янного поперечного сечения изменение кривизны постоянно вдоль оси z. Под действием изгибающих моментов ось бруса искривляется. Исходя из этого, ось бруса принимает

форму дуги окружности с радиусом кривизны (рис. 7.1). В данном случае с высокой степенью точности справедлива гипотеза плоских сечений. Следовательно, точки, распо-

ложенные до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса, в результате изгиба пере-

местятся в пространстве таким образом, что их совокупность снова образует плоскость.

Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга.

Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz

(рис. 7.1).

Врезультате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между собой угол dθ, в связи

счем верхние волокна удлиняются, а нижние − укоротятся. Очевидно, что при этом суще-

ствует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и обозна-

чим отрезком СD. При этом . Произвольный отрезок АВ, располо-

женный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на величину . С

учетом построений, изображенных на рис. 7.1, легко определить величину его относи-

тельной линейной деформации:

(7.1)

рис.7.1

Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из

них будет находиться в условиях простого растяжения − сжатия. Тогда переход от дефор-

маций к нормальным напряжениям можно осуществить посредством закона Гука:

Рис. 7.2

Установим положение нейтральной оси x, от которой происходит отсчет координа-

ты у (рис.5.2). Учитывая, что сумма элементарных сил по площади поперечного се-

чения A дает нормальную силу Nz. Но при чистом изгибе Nz =0, следовательно:

Как известно, последний интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит,

нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси Mx через σ. Оче-

видно, что

(7.3)

C учетом выражения (2) получим:

(7.4)

Откуда

где − кривизна нейтрального волокна; EIx − жесткость бруса.

Из формулы (7.3), исключая , окончательно получим:

(7.5)

Эта формула называется формулой Новье.

Таким образом, нормальные напряжения в любой точке сечения прямо пропорцио-

нальны величине изгибающего момента и расстоянию точки от нейтральной линии сече-

ния и обратно пропорционально моменту инерции сечения относительно нейтральной оси.

Из выражения (7.5) можно сделать ряд важных выводов:

1) центр тяжести сечения балки является началом координат для анализа напряже-

ний и приведения внешних сил;

2)напряжения изгиба зависят от значений изгибающего момента, момента инерции сечения и координаты точки, в которой это напряжение определяется;

3)напряжения в любой точке, лежащей на одинаковом расстоянии от нейтральной линии, равны между собой;

4)нормальные напряжения не зависят, а упругие перемещения зависят от модуля упругости материала балки.

В нейтральном слое при y=0 напряжения σ=0, в сжатой зоне (при y<0, рис.7.1) на-

пряжения становятся отрицательными, в растянутой зоне (при y>0, рис.7.1) напряжения становятся положительными. По мере удаления от нейтрального слоя нормальные напря-

жения σ в поперечном сечении бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних во-

локон (при ):

(7.6)

Измеряется осевой момент сопротивления единицами длины в третьей степени, на-

пример (см3). Физический смысл момента сопротивления состоит в следующем: чем больше Wx, тем больший изгибающий момент может принять на себя балка, не подверга-

ясь опасности разрушения. Таким образом, величина момента сопротивления характе-

ризует влияние формы и размеров поперечного сечения балки на ее способность со-

противляться внешним нагрузкам, не разрушаясь.

При симметричном относительно нейтральной линии сечении, например, прямо-

угольном, расстояния до крайних растянутых и сжатых волокон одинаковы и такое сече-

ние имеет одно вполне определенное значение момента сопротивления относительно оси

Oz. Так, при высоте прямоугольника (рис. 7.3, а), равной h

Рис. 7.3

Если сечение несимметрично относительно нейтральной линии – тавр, мы получим два момента сопротивления: один для волокон А (рис. 7.3,б): и другой для воло-

кон В: . Теперь в формулу (7.6) следует вводить: W1 − при вычислении напряже-

ний в точке А и W2 − при вычислении напряжений в точке В:

Для круга:

Для прокатных профилей (двутавра, швеллера, уголка) Mx приводится в таблицах сортамента.

7.2 Расчет на прочность при чистом изгибе

Формулой (7.6) удобно пользоваться для расчета балок пластичного материала в упругой области, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак на-

пряжения в этом случае не имеет значения, напряжения вычисляются по модулю, и усло-

вие прочности при изгибе балки в форме призматического стержня получает вид

max

Wx

где maxMx — максимальное значение изгибающего момента (легко определяемое по его эпюре), [σ] - допускаемое напряжение на простое растяжение (сжатие). Напомним,

что чистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее волокон (неравномерному в отличие от деформации растяжения (сжатия) призматического стержня, при котором

σ=const).

При расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшие растяги-

вающие maxσp и наибольшие сжимающие maxσc напряжения, которые также определяют-

ся по модулю непосредственно и сравниваются с допускаемыми напряжениями на растя-

жение [σp] и сжатие [σc]. Условие прочности в этом случае будет иметь вид:

(7.7а)

В зависимости от того, чему лучше сопротивляется материал, приходится соответ-

свующим образом конструировать сечение, выбирая его форму и размеры так, чтобы удовлетворяли условию прочности.

Из условия (7.7) формулируют три рода задач на прочность при изгибе:

1. Проверка прочности: задана балка, нагрузка, известен материал. Строится эпюра

Mx – определяется Mmax, вычисляется Wx и по (7.7) проверяется условие прочности.

Строится эпюра – определяется , вычисляется правая часть (7.9) и подби-

раются размеры поперечного сечения, удовлетворяющие (7.9).

Для прямоугольного сечения

Задаваясь шириной b по (7.10) получим h.

Для двутаврового сечения по таблице сортамента подбирают номер двутавра с Wx

большим, чем правая часть (7.9).

7.3Напряжения при прямом поперечном изгибе

Вслучае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению нерав-

номерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки, строго говоря, не остают-

ся плоскими. Однако при h/l<<1 (где h − высота поперечного сечения, l − длина балки)

оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на из-

гиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений σ применяют ту же формулу (7.5).

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dz (рис. 7.4,а).

Рис. 7.4

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от ней-

тральной оси, разделим элемент на две части (рис. 7.4,в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны каса-

тельным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 7.4,б). С учетом дан-