9173
.pdfренциальному уравнению L dIdt RI E . Найти зависимость силы тока I I t
от времени, если E меняется по закону E kt и I 0 0 ( L, R, k - постоянные),
k– коэффициент пропорциональности.
§5. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков,
допускающие понижение порядка
В задачах 10.132 10.156 найти общее решение данных дифференци-альных уравнений.
10.132. |
xy 1. 10.133. y cos 3x . |
|
10.134. y |
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1 |
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. 10.135. y |
1 |
. |
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sin 2 |
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x |
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x5 |
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||||
10.136. |
y e4 x . |
10.137. y ln x . 10.138. |
xy |
y . |
10.139. x2 y y 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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y |
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y |
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y y x |
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||||||||||
10.140. |
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1. |
10.141. |
y |
|
|
|
1 |
ln |
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. |
10.142. |
. |
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2xy y |
|
y |
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x |
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|
|
x |
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||||
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y |
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2 |
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10.143. |
y |
|
x x . |
|
10.144. x |
|
y |
xy |
|
1. |
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10.145. |
xy |
y |
1 x . 10.146. |
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xy |
y 0 . |
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10.147. yy y 2 . |
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10.148. |
y3 y 1. |
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||||||||||||||||||||
10.149. yy y 2 |
1 0. 10.150. |
1 y 2 |
|
2yy 0 . 10.151. 2 yy y 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
. |
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10.152. |
y |
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2 |
10.153. |
|
y |
|
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|
2 |
. |
10.154. |
|
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2 y . 10.155. |
|||||||||||||||
|
y |
1 |
( y ) |
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1 y |
|
3y y |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
y |
2 |
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y y ln y . |
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10.156. |
y |
|
0 . |
|
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|||||||||||||||
|
1 y |
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В задачах 10.157 10.173 найти соответствующие частные решения дифференциальных уравнений.
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2 |
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6 |
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10.157. |
y |
|
tg |
|
|
x , |
y 0 |
0 , |
y 0 0 . |
|
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10.158. y |
x3 |
|
, y 1 2 , |
|
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1 |
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|
π |
|
ln 2 |
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|
π |
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|||||||||
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|
y |
|
|
|
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||
y 1 1, |
|
y |
|
1 1. |
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10.159. |
|
|
cos2 |
|
, |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
y |
0 . |
|||||||||||||||||||||
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|
x |
|
|
|
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|
4 |
|
2 |
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|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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||||
10.160. y e |
|
|
|
, |
y 0 8 , |
y 0 4 , |
y 0 |
|
2 . 10.161. 1 x |
|
y |
2xy |
0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y 0 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
10.162. |
xy |
|
|
y |
|
x |
3 |
, |
|
|
|
y 1 0 , |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y 0 3 . |
|
|
|
|
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|
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|
|
y 1 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
10.163. |
|
|
|
x |
|
1 y |
|
0 , |
y 0 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.164. |
y |
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||
y e |
|
|
|
|
|
y 0 2 . |
|
|
x ln x y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y e 2 , |
|
|
|
y |
e 4 . |
|
|
|
10.165. |
xy |
|
|
y |
|
|
|
|
x |
, |
|
y 1 4 , |
|
|
y 1 0 . |
11
10.166. tg x y y sin1 x 0 ,
y y ctg x sin 2x , |
|
π |
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y 1 3 . |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
0, |
y |
|
|
|
|
. 10.167. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
y 1 1 , |
|
|
, |
|
|
|
|
|
0 . |
|
10.168. y |
18 y , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
9 0 , |
y 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
y |
4 |
16 , |
|
y 0 2 |
|
|
|
|
|||
10.169. |
, |
|
|
10.170. y |
|
|
|
|
2 , |
|
|||||||||||||||
y y |
y 1 3 . |
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
y 1 y |
|
|
y 0 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 . |
10.171. |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||
y 0 |
|
2 y |
|
|
y |
0 1. 10.172. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
y 0 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, y 0 |
|
|
|
|||
18sin y cos y |
|
0, |
|
y 0 3 . |
|
10.173. |
y |
|
|
tg y 2 y |
|
|
2 |
, |
y 0 1.
§6. Линейные дифференциальные уравнения второго
ивысших порядков с постоянными коэффициентами
Взадачах 10.174–10.186 составить линейное однородное дифферен-циальное уравнение с постоянными коэффициентами, фундаментальная система решений которого имеет вид.
10.174. e x , e 2 x |
10.175. |
e x , e x |
10.176. |
1, x . |
10.177. ex , x ex . |
||
10.178. sin 3x , cos 3x . |
10.179. sin x , cos x, ex |
. |
10.180. e x , xe2 x , e2 x . |
||||
10.181. e x , e3x , |
1. 10.182. sin 2x, cos 2x,1. 10.183. 1, x , x 2 . 10.184. e x , e x , |
||||||
sin 2x, cos 2x . |
10.185. |
e x , |
xe x , sin x , |
cos x . |
10.186. sin 3x, cos3x, 1, x . |
В задачах 10.187–11.206 решить однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
10.187. |
y 5 y 6 y 0 . 10.188. y 6 y 5 y 0 . 10.189. y 6 y 9 y 0 . |
|||||
10.190. |
y 6 y 0. |
10.191. |
y 9 y 0 . |
10.192. |
y 9 y 0 . |
|
10.193. |
y 6 y 10 y 0 . |
10.194. |
y y y 0 . |
10.195. |
4 y y 0 . |
|
10.196. y 2 y 3y 0 . |
10.197. y 2 y y 0 . |
10.198. y 4 y |
||||
13y 0 . 10.199. y |
y 0 . 10.200. |
y y 0 . |
10.201. y y 0 . |
|||
10.202. |
y y 2 y 0 . |
10.203. |
y |
y 0 . 10.204. |
y y 0 . |
|
10.205. |
y y 0 . |
10.206. y y 0 . |
|
|
В задачах 10.207 – 10.215 найти частные решения уравнений, удовлет-воряющие указанным начальным условиям.
12
10.207. |
y |
|
5 y |
|
6 y |
0 , |
y 0 |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
10.208. y |
|
4 y |
|
4 y 0 |
, |
|||||||||||
|
|
y 0 1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
y 0 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.209. |
y |
|
2 y |
|
5 y |
0 |
, |
|
|
y 0 0 , |
|
|
|
|
|||||||
|
y 0 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 1. |
|
||||||||||||||||||
10.210. |
y |
|
3y |
|
0 |
, |
|
y 0 3 , |
|
|
|
|
|
10.211. |
y |
|
9 y |
0 , |
|
|
y 0 3 , |
|
||||||||||
|
|
|
|
y 0 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
10.212. |
y |
|
25 y 0 |
, |
y 0 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
10.213. |
y 7 y |
|
|||||||||||||
y 0 3. |
|
|
y |
0 1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
12 y 0 , |
y 0 4 , |
|
|
|
|
|
|
10.214. |
y |
|
8 y |
|
|
16 y 0 , |
|
|
y 0 0 , |
|||||||||||||||
y |
0 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
10.215. |
y |
|
2 y |
|
4 y 0 , |
y 0 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y 0 5 . |
|
|
|
|
|
y 0 0 . |
|
|
|
|
В задачах 10.216 10.235 найти общее решение неоднородного линей-ного уравнения, находя частное решение методом неопределённых коэффициентов.
10.216. y 3y 2 y 10e x . 10.217. y 2 y 2 y 2x . 10.218. y 4 y
5y 0 . |
10.219. y 4 y 4 y xe2x . |
10.220. |
y 2 y y cos x . |
|||||
10.221. y 3y 2e 3x . |
10.222. |
y 2 y 2 sin 3x . |
10.223. y 4 y |
|||||
2 cos 3x . |
10.224. |
y 3y 18x 9. |
|
10.225. y 4 y x 2 1. |
||||
10.226. |
y y cos x . |
10.227. y y sin 2x . |
10.228. |
y 2 y 3y |
||||
e x cos x . |
10.229. y 5y 8y 4 y e2x . |
10.230. |
y y 2x . |
|||||
10.231. |
y y 8e x . |
10.232. |
y y e x . |
10.233. |
y y 6x . |
|||
10.234. |
y y 2xe x . |
10.235. |
y y cos x . |
|
|
В задачах 10.236–10.248 найти частное решение неоднородного линей-ного уравнения, удовлетворяющие указанным начальным условиям.
10.236. |
y 3y 2 y 2x 1, |
y 0 0 , |
y 0 1. |
|
10.237. y 4 y 3y |
||||||
1 x , |
y 0 0 , y 0 2 . 10.238. y 5 y 6 y x 2 |
2 , |
y 0 0 , |
y 0 4 . |
|||||||
10.239. |
y y 6 y x 2 , |
y 0 0 , |
y 0 3. |
|
10.240. y 3y x 3 , |
||||||
y 0 0 |
|
10.241. |
y |
2 y x |
2 |
1, |
y 0 0 , |
y 0 4 . |
|||
, y 0 3 . |
|
||||||||||
10.242. |
y y 4xe x , |
y 0 2 , |
y 0 0 . |
|
|
10.243. y |
y 4 sin x , |
||||
y 0 1, |
y 0 2 . |
10.244. |
y y sin 2x , |
|
y 1, |
y 1. |
|||||
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
10.245. y 9 y 6 cos 3x , |
y 0 1, |
y 0 3 . |
10.246. y 2 y 3y |
|||||
= 48x 2 e x , |
y 0 1, y 0 |
3 |
. |
10.247. y y 2x , y 0 0 , |
y 0 1, |
|||
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
y 0 2 . 10.248. y y 8e x , |
y 0 1, y 0 0 , y 0 1, |
y 0 0 . |
В задачах 10.249–10.260 найти общее решение методом вариации произвольных постоянных.
10.249. |
y 4 y |
|
1 |
|
|
. |
10.250. y y tg x . |
|
10.251. |
y y ctg 2 |
x 0 . |
|||||||||||||||||||
|
sin 2x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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||||||
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|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
10.252. |
y 9 y |
|
|
|
|
. 10.253. y 4 y |
1 |
|
|
|
|
. 10.254. y 2 y y |
e |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
cos 3x |
|
sin 2 x |
x 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10.255. y y |
|
1 |
|
|
|
|
|
10.256. y 2 y |
y |
e |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
. 10.257. |
|
|
|
|||||||||||||||
1 e x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
y 2 y y |
|
|
|
|
e x |
. |
|
|
10.258. y y |
|
e x |
. |
|
|
10.259. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
6 y |
9 y e3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10.260. |
|
y y e2x |
|
1 e2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 10.261–10.270 решить дифференциальные уравнения, приме-няя принцип суперпозиции решений.
10.261. |
y 2 y y sin x e x . |
10.262. y y 2e x x 2 . |
||||||||
10.263. |
y 4 y 4 y sh x sin x . |
10.264. y 4 y 4 y sin x cos 2x . |
||||||||
10.265. y y 6x e x . |
|
|
10.266. y y xe x |
cos x . |
||||||
|
y 25 y 3e x |
|
4 |
|
|
|
e |
2x |
|
|
10.267. |
|
. |
10.268. y 4 y 13y x 2 |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
||||||
cos 5x |
|
|
|
|
||||||
|
cos 3x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
10.269. |
y y cos2 x x 2 . |
|
10.270. y 4 y x sin 2 x . |
|
В задачах 10.271 – 10.279 найти общие (частные) решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
|
dx |
|
dx |
|
1 |
|
, |
|
dx |
|
y |
2 |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||
10.271. |
|
|
|
|
10.273. |
dt |
|
|
|
x |
|||||||||||||||
dt |
|
10.272. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
dy |
|
x. |
|
dy |
|
1 |
. |
|
|
|
dy |
|
x |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dt |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
14
dx |
x 3y, |
dx |
x 5 y, |
dx |
4x y, |
||||||||
10.274. |
dt |
10.275. |
|
dt |
|
10.276. |
dt |
||||||
|
dy |
3x y. |
|
|
dy |
x 3y. |
|
dy |
18x y. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dt |
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
dx |
|
|
||||
10.277. |
|
|
|
|
3x 5 y, |
|
|||
|
|
dt |
x 0 2, y 0 5. |
||||||
|
dy |
2x 8 y. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
dt |
|
|
|||||||
dx |
2x y sin t, |
|
|||||||
10.279. |
dt |
при условии |
|||||||
|
|
dy |
4x 2 y cos t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
dt |
|
dx y,
10.278. dt
dy
x et e t .
dt
x π 1, y π 2 .
Глава 11
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Расстановка пределов интегрирования
В задачах 11.1 11.17 найти пределы двойных интегралов f x , y dxdy при дан-
D
ных (конечных) областях интегрирования D , представив интегралы в виде одного из повторных интегралов.
11.1. |
D — прямоугольник со сторонами x 1, x 4 , y 0 , y 2 . |
||
11.2. |
D — прямоугольник : |
0 x 2, |
1 y 5 . |
11.3. |
D — треугольник со сторонами |
x 0 , y 0 , x y 2 . |
|
11.4. |
D — треугольник : |
x 3y 0 , |
y 2x 0 , x 3 . |
11.5. |
D — ограничена линиями x y 2, 4x 4 y 2 . |
11.6. D :
11.9. D :
x 0,
0 y 1,x y 2 4.
x 0,
y x 3,x 2 y 2 .
|
|
|
|
|
|
1 x 2, |
|
x 0, |
|
||
11.7. D : y x, |
11.8. D : y 0, |
|
|
||
|
|
2 |
y |
2 |
1. |
xy 1. |
x |
|
|
15
11.10. D ограничена линиями |
y x 3, y 2x 2 , x 0 . |
|
|
||||||||
11.11. D ограничена параболами |
y x 2 , |
x y 2 . |
|
|
|||||||
|
x 2 |
|
|
y 2 |
|
|
2 |
2 |
|
||
11.12. D : |
|
|
|
|
|
1. |
11.13. D : x 2 y 3 |
|
4 . |
||
4 |
9 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 0, |
|
|
|
|
x 0,5, |
|
|
|||
11.14. D : 4 y 3x, |
11.15. D : y x, |
|
|
||||||||
|
|
2 |
y |
2 |
25. |
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
xy 1. |
|
|
11.16. D треугольник со сторонами y x , y 2x , x y 6 . |
|
11.17. D параллелограмм: y x , y x 3, y 2x 1, y 2x 5 . |
|
В задачах 11.18–11.25 представить двойные интегралы f x , y dxdy , где |
D за- |
D |
|
данные ниже треугольники, в виде одного повторного интеграла, выбрав соответствующим образом порядок интегрирования.
11.18. |
|
|
|
11.19. |
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
. |
|
|
. |
|
|
|
|
. . |
. . . |
x |
. . |
. . . |
x |
||
. |
|
|
. |
|
|
|
|
11.20. |
|
|
|
11.21. |
|
|
|
|
. y |
|
. y |
|
|||
. |
|
|
. |
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
|
. . |
. . . |
x |
. . |
. . . |
x |
||
. |
|
|
. |
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
11.22. |
|
|
|
11.23. |
|
|
|
. |
y |
|
. |
y |
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
|
. . . |
. . . |
x |
. . . |
. . |
. |
x |
|
. |
|
|
. |
|
|
|
16
11.24. |
|
11.25. |
|
|
|
y |
|
y |
|
|
. |
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
. . |
. . . x |
. . |
. . . |
x |
|
. |
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
В задачах 11.26 – 11.35. представить двойные интегралы f x , y dxdy , где D -
D
заданные ниже области, границы которых составлены из отрезков прямых и дуги окружности, в виде одного повторного интеграла, выбрав со-ответствующим образом порядок интегрирования.
11.26. |
|
y |
|
11.27. |
у |
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
. |
|
|
. |
|
. . |
. . . . |
x |
. . |
. . . |
x |
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
. |
|
|
. |
|
11.28. |
|
y |
|
11.29 |
у |
, |
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
. . |
. . . |
x |
. . |
. . . |
x |
|
|
. |
|
|
. |
|
11.30. |
y |
11.31. |
|
y . |
|
|
. |
|
|
. |
|
|
. |
|
|
. |
|
. . |
. . . x |
. |
. |
. . . |
x |
|
. |
|
|
. |
|
|
. |
|
|
. |
|
11.32. |
|
y |
11.33. |
. у |
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
. |
|
|
. |
|
. |
. |
|
. . . x |
. . |
. . . |
x |
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
17
11.34. |
|
|
11.35. |
|
|
|
|
|
y |
|
. у |
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
. . |
. . . x |
. . |
. |
. . |
x |
|
||||||
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
. |
|
. |
f x , y dxdy в виде сум- |
|
|
|
|
||||
В задачах 11.36 – 11.43 представить двойной интеграл |
||||||
|
|
|
|
|
D |
|
мы повторных интегралов (с наименьшим числом слагаемых), если граница области D составлена из отрезков прямых линий и дуг окружностей.
11.36. |
|
|
|
|
11.37. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|||||
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. . . . . |
. |
x |
. . . . . . |
x |
|||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
11.38. |
|
|
|
|
11.39. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y. |
|
|
|
|
|
y |
|
|||||
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. . |
. . |
. |
x |
. . |
|
|
. . |
x |
|||||
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
11.40. |
|
|
|
|
11.41. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|||||
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. . . . |
. |
. |
x |
. . . |
. |
. . |
x |
||||||
11.42. |
|
|
|
|
11.43. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. y |
|
|
|
|
|
y |
|
|||||
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. . . . . |
. |
x |
. |
. . |
. |
|
. . |
x |
|||||
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В задачах 11.44 – 11.75 |
изменить порядок интегрирования. |
|
18
3 |
3 x |
0 |
x 1 |
0 |
0 |
x , y dx . |
11.44. dx |
f x, y dy . |
11.45. dx |
f x, y dy . |
11.46. dy |
f |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
y 1 |
|
0 |
2 y 2 |
|
5 |
25 y 2 |
|
11.47. dy |
f |
x, y dx . |
11.48. dy |
f x, y dx . 11.49. |
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
2 |
4 |
dx f x, y dy . |
|
2 |
x 2 |
π
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
f x, y dy . |
|
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
1.50. dx |
11.51. dy f x, y dx . |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
0 |
|
|
y |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
y 2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
||||
11.53. dy f x , y dx . |
11.54. dy |
f |
x , y dx . |
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
y 2 |
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
3 y 3 |
|
|
1 |
|
|
|
2 x |
|||||
11.56. |
|
dy |
f x, y dx . 11.57. |
|
dx |
|
f x, y dy . |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 y 2 |
|
|
2 |
|
|
x 2 |
|
|||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
2 |
|
|
|
2 x |
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x , y dy . |
||||||||
11.59. dx |
f x, y dy . |
11.60. |
dx |
|
f |
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
1 x |
|
6 |
|
|
x |
2 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 x |
|
|
|
|
4 |
25 y2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x , y dy . 11.63. dy |
|
f x , |
y dx . 11.64. |
|||||||||||||
dx |
|
|
f |
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
cos x |
|
||||
11.52. dx f x, y dy . |
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 2 2x |
x, |
y dy . |
|||||||||
11.55. |
dx |
|
|
|
f |
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
2x 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
1 |
x |
|
|||||||
11.58. |
dx |
|
f x, y dy . |
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
1 x 2 |
|
|||||||
11.61. dx |
|
|
|
|
f x, y dy . 11.62. |
|||||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
x 1 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dy |
|
f x, y dx . |
|
|||||||||||
6 |
1 |
y 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
0 2 1 y 2 |
|||||||||||||||
11.65. |
dx f x, y dy . |
11.66. |
dy |
f ( x, y)dx . |
11.67. |
dy |
|
f ( x, y)dx . |
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
y |
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
4 |
|
25 x 2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
2 y y 2 |
||||||||||
11.68. |
dx |
|
|
f ( x, y)dy . |
11.69. dy |
|
f ( x, y)dx . |
11.70. 2dy |
|
|
f ( x, y)dx . 11.71. |
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
4 y |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
1 1 y |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
25 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 x |
|
|
|
|
|
||||
dx f (x, y)dy . |
11.72. |
dy |
f ( x, |
y)dx . |
11.73. |
|
dx |
f x, y dy . |
|||||||||||||||||||||
0 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
4 x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11.74. |
dx |
|
f ( x, y)dy . |
11.75. |
dy |
f (x, y)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 11.76–11.77 изменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного повторного интеграла.
1 |
x |
2 |
2 x |
11.76. dx |
f x, y dy + dx |
f x, y dy . |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
19
|
|
|
3 x |
|
|
x 2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
|
||
11.77. dx |
f x, y dy + dx |
f x, y dy . |
||
0 |
0 |
1 |
0 |
|
§ 2. Вычисление кратных интегралов
В задачах 11.78 – 11.95 вычислить повторные интегралы.
|
4 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
x2 |
|
|
|
2 |
|
2 x |
11.78. |
dx x 2 ydy . |
11.79. dx x y dy . |
11.80. |
dx |
x 2 dy . |
||||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 y2 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
9 x2 |
1 |
1 y 2 dx . |
|
3 |
5 |
|
|
|||||
11.81. |
dx |
|
|
x y dy . |
11.82. dy |
|
11.83. |
dy |
|
x 2 y dx . |
|||||
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
y2 |
|
|
3 |
y2 4 |
|
|
|
|
|
|
y 3 |
|
2 |
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
xy2dx . 11.85. |
|
x 2 |
y 2 dx . |
|
0,5 |
|
y |
||||
11.84. |
|
dy |
|
dy |
|
11.86. dy |
4xy x dx 11.87. |
|||||||||
|
|
|
0 |
|
y |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
y2 |
|
y2 |
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
2 |
e |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
dy |
|
dx . |
11.88. dx |
|
xe y dy . |
11.89. |
dy sin 2x 3y dx . |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
0 |
0 |
|
y |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 x2 |
|
ln 4 |
|
1 |
|
|
|||
11.90. |
dx |
xe3 y dy . |
|
11.91. |
dy 4 ye2xy dx . |
||||||
|
0 |
|
0 |
|
ln 3 |
|
0,5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
π xy |
|||||
11.93. |
dy 4 y 3 sin xy |
2 |
dx .11.94. dy |
y 2 cos |
|||||||
|
4 |
||||||||||
|
|
|
π |
|
1 |
|
1 |
2 y |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1y
11.92.dy 2 y 2e xy dx .
00
π2
dx .11.95. dy y cos xy dx .
π 1
2
В задачах 11.96 – 11.115 вычислить двойной интеграл |
f x , y dxdy |
по заданной |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
области |
D в прямоугольных координатах, рационально выбрав порядок интегриро- |
||||||||||||||||||||
вания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdxdy , |
|
x2 y2 |
4, |
|
xydxdy , |
|
|
у x 2 , |
||||||||||||
11.96. |
где |
D : |
|
1.97. |
где |
D : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
x y |
2. |
|
D |
|
|
|
y x. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
y 2, |
11.99. cos y |
|
dxdy , где |
|
x 0, |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11.98. |
|
|
|
dxdy , |
где |
D : xy 1, |
|
D : |
x y, |
||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
D x |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y x. |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20