9097

Соединение стержней в узлах выполняется с помощью сварки, болтов или заклёпок, т.е., вообще говоря, жестко. Однако, как показывают исследования и сравнительные расчеты, если стержни фермы относительно длинные, т.е. отношение высоты их сечения к

длине h 1 , то в расчетной схеме влиянием жесткости узлов можно пренебречь и рас- d 10

сматривать их как идеальные шарниры, допускающие взаимный поворот соединяемых ими стержней без трения.

При действии на ферму только узловой нагрузки и при учете сопряжения стержней в узлах идеальными шарнирами, в каждом стержне будет возникать внутреннее усилие, линия действия которого будет проходить через центры шарниров стержня. В связи с этим, если стержни прямые, то в них будет возникать только продольное усилие растяжения или сжатия, т.к. линия действия усилия будет совпадать с центральной осью самого стержня. Если стержни криволинейные, то помимо растяжения или сжатия они будут дополнительно испытывать изгиб, вызываемый продольным усилием на плече, равном величине отклонения центральной оси стержня от линии, соединяющей центры шарниров. Изгиб стержней фермы будет иметь место и в случае вне узлового приложения нагрузки.

В фермах различают следующие основные элементы (см. рисунок): верхний и нижний пояса и решетка, включающая стойки (вертикальные стержни) и раскосы (наклонные стержни) или, иначе совокупность стержней, расположенных между поясами.

Пролетом называют расстояние между центрами опорных узлов фермы. Панелью фермы (верхней или нижней) называется расстояние между соседними узлами стержня пояса.

9.1. Классификация ферм

Фермы классифицируют по ряду признаков:

- по направлению опорных реакций. В зависимости от направления опорных реакций, вызываемых действием вертикальной нагрузки, фермы подразделяются на а) безраспорные – балочные и консольно-балочные,

б) распорные – арочные и висячие, в которых при вертикальной нагрузке возникают и горизонтальные составляющие опорных реакций, в) консольные - фермы, закрепленные только с одной стороны.

- по очертанию поясов:

а) фермы с параллельными поясами, б) треугольного очертания, в) трапецеидального очертания, г) полигонального очертания.

35

Кроме этого, пояс фермы (верхний или нижний) может быть и криволинейным. В этом случае узлы фермы лежат на какой-либо кривой (параболе – параболическая ферма, окружности – круговая ферма), а стержни между узлами остаются прямыми.

- по характеру решётки:

а) с раскосной системой, когда наклонные стержни одного направления – раскосы чередуются с вертикальными стержнями – стойками; б) с треугольной системой, когда решетка со-

стоит из последовательно чередующихся раскосов различного направления. Такая решетка часто усиливается дополнительными стойками и, в сочетании с ними, является основной решеткой, используемой практически во всех схемах типовых ферм; в) с полураскосной системой – такая ферма в

каждой панели имеет два разных направления раскоса, идущих к стойке; г) двух или многорешетчатые фермы, т.е. та-

кие, у которых решетка состоит из нескольких самостоятельных решеток; д) с составной или шпренгельной системой,

т.е. такой, которая кроме основной раскосной или треугольной решетки включает дополнительные малые фермы (шпренгеля), разделяющие большую панель на малые.

9.2. Определение усилий в стержнях плоских ферм

Основными способами определения усилий в стержнях статически определимых ферм являются статический и кинематический.

Если ферма геометрически неизменяема и не имеет лишних связей, то она статически определима, т.е. все усилия в ее стержнях могут быть определены с помощью обычных уравнений статики.

Статический способ определения усилий в стержнях плоских ферм состоит в том, чтобы путем разрезания ее на те или иные части получить столько независимых друг от друга уравнений равновесия статики, сколько неизвестных усилий содержит заданная ферма.

Кинематический способ определения усилий в фермах основан на применении принципа возможных перемещений. Особенность этого способа заключается в том, что в заданной геометрически неизменяемой ферме устраняют стержень, усилие в котором определяется и в направлении этого стержня прикладывается соответствующее усилие.

36

Ферма превращается в механизм, которому придаётся возможное малое перемещение в направлении искомого усилия. Затем, в соответствии с принципом возможных перемещений, составляется выражение работ, исходя из которого и определяется искомое усилие.

9.2.1. Статические способы определения усилий

а) Способ вырезания узлов

Рассматривая каждый узел фермы как материальную точку на плоскости, находящуюся в равновесии под действием внешних и внутренних сил, вырезают в определенной последовательности узлы фермы так, чтобы в каждом из них было не более двух неизвестных. Используя уравнения равновесия статики как для системы сходящихся сил на плоскости в форме x1 0 и x2 0, определяют усилия в стержнях фермы.

При рассмотрении равновесия узлов неизвестные усилия принимают растягивающими. В этом случае знак полученного усилия в результате решения уравнений будет всегда соответствовать его фактической деформации: (+) - растяжение, (-) - сжатие. Оси проекций x1, x2 следует, как правило, выбирать ортогонально каждому из неизвестных усилий. Этим добиваются разделения неизвестных в уравнениях и исключения накопления ошибок в вычислении искомых усилий.

Рассмотрим изложенный способ на примере.

Дана ферма, изображенная на рисунке. Ферма входит в состав несущих конструкций покрытия, в котором они установлены с шагом 6 м. Определить усилия в стержнях фермы от снеговой нагрузки, расчетное значение которой g = 2,4 кН/м2.

Интенсивность равномерно распреде- лен-ной нагрузки по длине верхнего пояса

фермы будет: q 2,4 6 14,4кН / м. При

длине панелей верхнего пояса d = 3 м, значения сосредоточенных сил в узлы составят:

37

Узел 2.

x1 0 21,6 0,707 86,4 0,707

x2 0 21,6 86,4 D1 0,707 0,

D1 91,65кН.

Узел 3.

x1 0 91,65 0,707 D2 0,707 43,2 0,

D2 30,56кН.

x2 0 43,2 0,707 91,65 O2 0,707 0,

O2 86,41кН.

Узел 4.

x1 0 Q3 86,41кН;

x2 0 V2 43,2кН.

9.2.2. Способ сечений

Для определения усилий в стержнях фермы проводят сечение (разрез), разделяя ферму на две части, причем неизвестных усилий в этом сечении должно быть не более трех. Этому условию удовлетворяет сечение, проведенное через три стержня, в том числе и через стержень, усилие в котором требуется определить.

Отбросив одну из отсеченных частей фермы (удобнее отбросить ту часть фермы, где больше сил), заменяют действие отброшенной части фермы действием неизвестных усилий, направленных вдоль рассеченных стержней. При этом, неизвестные усилия всегда предполагаются растягивающими. Для отсеченной части фермы составляют три уравнения равновесия статики в одной из трёх возможных разновидностей:

решая которые определяют неизвестные усилия.

Следует стремиться вести вычисления так, чтобы усилие в каждом стержне определялось независимо от усилий в других стержнях, что избавляет от нарастания погрешностей и увеличивает точность расчета.

Способ моментных точек.

38

Этот способ применяют в тех случаях, когда можно провести сечение через три стержня, направления которых не пересекаются в одной точке.

Пусть для фермы по рисунку требуется определить усилия О3 , D2 , U3 . Считаем опорные реакции найденными. Проведем сечение 1-1 через изучаемые стержни. Отбросим правую часть фермы и заменим ее действие неизвестными усилиями, полагая их растягивающими.

Для определения усилия O3 составим уравнение равновесия, в виде суммы моментов сил, приложенных к левой отсеченной части фермы, относительно точки “1” – точки пересечения направлений усилий D2 и U3 :

В этом выражении числитель представляет собой момент M10 левых внешних сил

Таким образом, при применении способа моментных точек усилие всегда выражается отношением момента внешних сил, действующих на отсеченную часть фермы, относительно моментной точки, к плечу изучаемого усилия относительно этой же точки.

Этот способ может быть применен и в том случае, когда сечение рассекает более трех стержней при условии, что все стержни, кроме изучаемого, пересекаются в одной точке.

39

опорной реакции рассматриваемой отсеченной части фермы относительно т. 1.

Для определения усилий в стержнях ряда ферм бывает целесообразно использовать замкнутое сечение. С помощью замкнутого сечения выделяется часть фермы с тремя неизвестными усилиями в рассеченных стержнях, которые определяются из уравнений равновесия, составленных для этой рассматриваемой части.

На рисунке изображена статически определимая и геометрически неизменяемая ферма. Проведем замкнутое сечение и рассмотрим равновесие внутренней части фермы. Стержни 2-6 и 3-6 пересеченные дважды, будут уравновешены усилиями, приложенными по их концам и в уравнения равновесия статики не войдут.

Выбирая для определения неизвестных усилий в стержнях 1-2, 3-4 и 5-6 соответствующие моментные точки (для каждого из определяемого усилия моментная точка выбирается на пересечении усилий двух других стержней), составляем независимые уравнения равновесия и определяем искомые усилия.

Частным случаем способа моментных точек является способ проекций, когда два из пересекаемых сечением стержня параллельны друг другу, т.е. моментная точка находится в бесконечности. В этом случае для определения усилия в одном из стержней составляется уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил, приложенных к отсеченной части, на ось, перпендикулярную к направлениям параллельных стержней.

9.2.3. Способ совместных сечений

Если в ферме невозможно провести сечение через три стержня, а только через большее количество стержней, то и неизвестных усилий будет больше уравнений равновесия статики. Следовательно, для таких ферм определение усилий с помощью одного сечения становится невозможным.

Способ совместных сечений целесообразно применять в тех случаях, когда удается провести два разреза таким образом, чтобы каждый из них пересекал четыре стержня, причем какие-либо два повторялись в обоих разрезах.

Способ совместных (например, двух) сечений заключается в решении задачи при помощи составления совместной системы двух уравнений с двумя неизвестными. Так например, рассмотрим ферму, изображенную на рисунке.

40

Проведя сечения 1-1 и 2-2, запишем уравнения моментов для отсеченной части, лежащей выше сечения 1-1 и той части, которая лежит ниже сечения 2-2. Первое уравнение составим относительно моментной точки O, а второе – относительно точки O1. Будем иметь:

1.MO 0: D3 6 h3 6 D4 1 h4 1 MO 0

2.MO1 0: D1 4 h1 4 D6 3 h6 3 MO1 0

где: MO и MO1 моменты внешних сил относительно моментных точек O и O1 соответственно для верхней и нижней отсеченных частей фермы.

Оба уравнения содержат одни и те же неизвестные усилия в пересеченных диагональных стержнях. Решая систему уравнений, определяем неизвестные усилия.

9.2.4. Расчет статически определимых ферм на подвижную нагрузку.

Построение линий влияния усилий в стержнях ферм статическим способом.

При построении линий влияния усилий в стержнях ферм подвижная нагрузка считается перемещаемой по одному из поясов ферм (верхнему или нижнему). При этом, с помощью специальных устройств (прогонов, подвесок) обеспечивается узловая передача нагрузки, чем исключается изгиб стержней.

В зависимости от того, где расположен грузовой пояс, различают фермы с ездой по низу и с ездой по верху.

Для построения линии влияния усилия в каком-либо стержне фермы статическим способом, необходимо выразить на основании уравнений равновесия статики усилие в изучаемом стержне в зависимости от положения единичного подвижного груза на грузовом поясе. Получив аналитическое выражение ветвей линии влияния, представляют графически закон изменения этого усилия. Для получения уравнений ветвей статическим способом могут использоваться все известные методы определения усилий в стержнях ферм от неподвижной нагрузки (метод вырезания узлов, метод сечений). При построении линий влияния усилий следует различать фермы балочные и консольные. Отличие в построении линий влияния для этих ферм рассмотрим на примерах.

Пример 1. Для отмеченных на рисунке стержней, построить линии влияния усилий при езде единичного подвижного груза по нижнему (по верхнему) поясу.

Для построения линии влияния усилия в стержне O2 выбираем пролетное сечение I-I и рассмотрим две предпосылки:

- пусть груз P=1 находится правее рассеченной грузовой панели.

41

Тогда из равновесия левой отсеченной части будем иметь:

Это есть уравнение правой ветви линии влияния, представляющей собой уравнение линии влияния балочной реакции RA, все ординаты которой умножены на постоянный коэффици-

вее рассеченной грузовой панели m-n.

- пусть груз P=1 находится левее рассеченной грузовой панели. Тогда из равновесия правой отсеченной части будем иметь:

M1 0, RB b1 O2 hO2 0, O2 RB b1 . hO2

Это есть уравнение левой ветви линии влияния, представляющей собой уравнение линии влияния балочной реакции RB, все ординаты которой умножены на постоянный коэффи-

Проводя на участке рассеченной грузовой панели, как при узловой передачи нагрузки, передаточную прямую, соединяющую правую и левую ветви, получим линию влияния усилия O2.

Легко показать, что правая и левая ветви всегда будут пересекаться под моментной точкой рассматриваемого стержня – в данном случае это точка 1.

Для построения линии влияния усилия в стержне U2 используем то же сечение 1-1: - груз P=1 правее рассеченной панели m-n. Из рассмотрения равновесия левой от-

сеченной части фермы будем иметь: M2 0, RA a2 U2 hU2 0, U2 RA a2 . hU2

Это есть уравнение правой ветви линии влияния, представляющей собой уравнение линии влияния балочной реакции RA, все ординаты которой умножены на постоянный ко-

есть уравнение левой ветви линии влияния, представляющей собой уравнение линии

42

влияния балочной реакции RB, все ординаты которой умножены на постоянный коэффи-

Рассмотренные примеры убедительно показывают, что при построении линий влияния усилий в стержнях пролетной части фермы, левые и правые ветви отсекают на опорных вертикалях отрезки, равные отношению расстояния от соответствующей опорной вертикали до моментной точки к плечу изучаемого усилия относительно той же моментной точки. При этом знак откладываемых опорных отрезков всегда отвечает знаку изучаемого усилия при рассматриваемом положении груза, а ветви пересекаются под моментной точкой.

Используя это положение, можно легко строить линии влияния в пролетных стержнях ферм, используя метод сечений. Для этого:

-откладываем на одной из опорных вертикалей отрезок, равный отношению расстояния от этой опорной вертикали до моментной точки к плечу изучаемого усилия по отношению той же моментной точки с соответствующим знаком и проводим ветвь линии влияния;

-учитывая, что правая и левая ветви линии влияния всегда пересекаются под моментной точкой, проводим другую ветвь линии влияния;

-на участке рассеченной грузовой панели правую и левую ветви линии влияния соединяем передаточной прямой.

Из рассмотренного выше примера видно, что при изменении грузового пояса, положение моментной точки и положение ветвей линии влияния не меняются, а будет изменяться только положение передаточной прямой. В этой связи, при перестройке линии влияния, построенной, например, при езде подвижного груза по верхнему поясу фермы в линию влияния того же усилия, но при езде груза по нижнему поясу фермы, необходимо изменить только передаточные прямые.

При построении линий влияния усилий в стержнях консольных ферм с помощью консольных сечений, целесообразно в обеих предпосылках рассматривать равновесие одной и той же отсеченной части фермы, свободной от опорных связей.

Пример 2. Для отмеченных на рисунке стержней, построить линии влияния усилий при езде единичного подвижного груза по нижнему (по верхнему) поясу.

Линия влияния усилия O2.

Проводим консольное сечение 1-1 и рассматриваем две предпосылки:

43