9052

где w max – наибольшее значение перемещения сечения, взятое по модулю из эпюры пере-

мещений; [w] – допускаемое значение перемещения сечения для данной конструкции или ее элемента, устанавливаемое в нормах.

4.6. Статически неопределимые задачи

Брусья и шарнирно-стержневые системы, в которых внутренние усилия и реакции опор от заданной нагрузки можно определить с помощью лишь одних уравнений равновесия

(уравнений статики), называются статически определимыми.

В отличие от них статически неопределимыми называются брусья и системы, внутрен-

ние усилия или реакции опор в которых нельзя определить с помощью одних лишь уравне-

ний равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравне-

ния – уравнения совместности деформаций или перемещений сечений, учитывающих ха-

рактер деформации системы (геометрическая сторона задачи). Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости. Всегда можно составить столько дополнительных уравнений, сколько не хватает уравнений статики для решения задачи.

Составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений (гео-

метрическая сторона задачи) рассмотрим на примере (раздел 4.7)

4.7.Примеры решения задач

4.7.1.Статически определимые задачи

Задача 4.1 Определение площади поперечного сечения стержня

Дано:

Е1= 105 Мпа;

Е2= 2∙105 Мпа; [σ] 1= 120 Мпа;

[σ] 2= 80 Мпа.

Найти: А1=?, А2=?

Рис. 4.7

62

Решение:

1.Определяем опорную реакцию:

2.Строим эпюру внутренних усилий N графическим способом.

3.Исходя из максимальных усилий по эпюре N определяем площади попереч-

ных сечений в стержнях 1 и 2:

4. Строим эпюру напряжений σz:

σzА = ==-12 кН/см2=-120 Мпа;

σzB = ==-1,1 кН/см2=-11 Мпа;

σzС = ==8 кН/см2=80 Мпа.

5. Определяем смещения стержней:

WA=0 см, т.к. балка защемлена;

WB= WA+∆l1;

∆l1==-0,059 см;

WB=0-0,059=-0,059 см;

Вывод – точка B сместиться вверх на 0,059 см

Т.к. у нас имеется равномерно-распределенная нагрузка, то смещение второго стержня пойдет по квадратичной параболе, для определения которого зададимся от-

резком z и определим усилия на заданном отрезке: N2(z)=-110+100+0,8(z-50)=0,8z-50

Проверим: найдем усилие N на отрезке 50≤z≤150 см: N2(50)=-10 кН; N2(150)=70 кН.

Соответственно смещение в точке С будет найдено по формуле: WС= WB+∆l2;

Смещение ∆l2 будет найдено через интеграл:

∆l2= =0,017 см

WС=-0,059+0,017=-0,042 см

Вывод – точка С сместиться вверх на 0,042 см, т е стержень будет короче на

0.042 см.

63

Т.к. на графике напряжений σz и внутренних усилий N есть пересечение с осью z,

следовательно на параболе перемещений будет точка максимального смещения

Wmax, находящаяся на расстоянии z0 - это такое расстояние, на котором сумма проек-

ций сил на ось z равна нулю:

Определение максимального смещения тсержня Wmax:

,

следовательно

Wmax= WB+∆lmax;

∆lmax==-0,0003 см;

Wmax=-0,059-0,003=-0,0593 см

Ответ: площади поперечных сечений на первом участке А1 = 9.2 см2, на втором участке А2 = 8.8 см2.

Задача 4.2 Произвести проверку прочности стержня при действии заданной нагрузки.

Дано:

[σ] 1= 160 Мпа;

[σ] 2= 100 Мпа;

А1= см2; А2= см2.

Найти перемещение точки С, если Е=2∙105 Мпа.

Рис. 4.8

Решение:

1.Определяем опорную реакцию:

2.Строим эпюру внутренних усилий N графическим способом.

3.Исходя из максимальных усилий по эпюре N определяем напряжения в стержнях 1 и 2, и сравниваем их с допоскаемыми:

σz(1)= [σ] 1=160 МПа.

64

Вывод: прочность на 1-м участке обеспечена, условие выполняется.

σz(2)= [σ] 1=100 МПа.

Вывод: прочность на 2-м участке обеспечена, условие выполняется.

4. Строим эпюру напряжений σz:

5. Определяем смещение точки С:

WС= WА+ WВ+∆lс

WС=0,064+0,036=0,1 см

Ответ: точка С сместиться вниз на 0,1 см.

Задача №3. Определение допускаемой нагрузки (F=?) из условия прочности стержня, если дано:

А1=2А2==2А= см2;

А2= см2. [σ] = 160 Мпа;

Найти перемещение точки С, от найденной нагрузки, если Е=2∙105 Мпа.

Решение: Рис. 4.9

1.Строим эпюру внутренних усилий N от нагрузки F графическим способом.

2.Определяем напряжения σz, в характерных точках, чтобы определить точку с максимальным напряжением

65

3. Исходя из максимального напряжения σz в точке В второго участка σzB2 оп-

ределяем допускаемую нагрузку:

σzB2 = [σ] =160 МПа, тогда

Вывод: допускаемая нагрузка F должна быть меньше, либо равна 53,3 кН

4.Строим эпюру напряжений σz от полученной нагрузки

5.Определяем смещение точки С:

WС= ∆l1+∆l2+∆l3=0,013-0,04-0,02=-0,047 см ∆l1= см.

∆l2= = -0,04 см.

∆l3= =-0,02 см.

Ответ: точка С сместиться вниз на 0,047 см, допускаемая нагрузка F=53,3 кН.

4.7.2Статически неопределимые задачи.

Задача 4.4.

Стержень защемлен по концам и нагружен силой F, действующей вдоль оси стерж-

ня (рис. 4.10).

Рис.4.10

Под действием силы F в этом случае в заделках могут возникать только показанные реакции ZA и ZB, которые требуется определить. Направления неизвестных опорных реак-

ций выбираем произвольно.

Для данного случая (когда все силы действуют вдоль одной прямой) можно соста-

вить только одно уравнение равновесия:

66

1). ΣFz = 0; ZА – F + Z В = 0.

Для определения двух неизвестных ZA и ZB необходимо составить дополнительно

одно уравнение, т.е. рассматриваемая задача является статически неопределимой (степень статической неопределимости бруса равна единице).

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим геометрическую сторону задачи – составим условие совместности деформаций отдельных участков: общая длина

бруса не может изменяться, следовательно, L = 0.

Удлинение L можно выразить как сумму удлинений двух участков:

Рассмотрим физическую сторону задачи и абсолютные удлинения участков L1 и L 2 ,

используя закон Гука по формуле (4.18), выразим через продольные силы N1 и N2:

Реакцию ZA найдем из уравнения статики:

4.8Контрольные вопросы по теме

1.В чем заключается суть метода сечений при определении внутренних усилий, в част-

ности, при определении продольных сил?

67

2.Приведите рабочее правило для определения продольных сил в поперечных сечениях стержней и правило знаков для них.

3.Как определяется нормальное напряжение в поперечном сечении бруса при растяже-

нии– сжатии?

4.Что такое расчетное сопротивление материала?

5.Как записываются условия прочности при растяжении-сжатии для пластичных и хрупких материалов?

6.Как производится подбор требуемой площади поперечного сечения бруса из условия прочности?

7.Как формулируется закон Гука? Как он записывается для случая растяжения– сжатия?

8.Как определяется абсолютная деформация бруса при осевом растяжении– сжатии при наличии распределенной нагрузки на грузовом участке и при ее отсутствии?

9.Какие системы называются статически неопределимыми? Каков порядок их решения?

10.Назовите характеристики прочности материала. Как они определяются с помощью диаграммы растяжения для низкоуглеродистой стали?

11.Назовите характеристики пластичности материала. Как они определяются?

5.Кручение прямых призматических брусьев

5.1. Определение напряжений и расчеты на прочность при деформации кручения брусьев круглого сечения

Кручением называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникают только крутящие моменты, другие внутренние силовые факторы – продольная сила, изгибающие моменты и поперечные силы – равны нулю.

Теория кручения брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное се-

чение, основана на следующих гипотезах:

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, оста-

ются плоскими и нормальными к ней и после деформации (гипотеза плоских сечений),

они лишь поворачиваются на некоторые углы вокруг этой оси.

2.Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину.

3.Расстояния (вдоль оси бруса) между поперечными сечениями не изменяются.

В поперечном сечении бруса возникают только касательные напряжения от крутящего момента, определяемые по формуле (5.1). Их направление в каждой точке перпендику-

лярно радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения (рис. 5.1). В центре (при ρ = 0)

касательные напряжения равны нулю; в точках же, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности бруса, они наибольшие.

68

Рис. 5.1

Эпюры τ , построенные по формуле (1) для круглого сплошного и кольцевого сече-

ний, представлены на рис. 5.1а, б.

Наибольшие касательные напряжения в поперечных сечениях определяются по формуле:

где Wp – называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения (см3,

м3); ρmax – расстояние от центра тяжести до наиболее удаленной точки сечения, оно рав-

няется радиусу круга (ρmax = r).

Условие прочности при кручении запишется:

кр

Wp

где [τ] – допускаемое касательное напряжение.

Используя условие прочности (5.4), можно решать следующие задачи на кручение:

1. Проверочная задача, т.е. проверка прочности. Подставляя в формулу (5.4) вели-

чины max Мкр из эпюры крутящих моментов и Wρ, определенную по формуле (5.3), про-

веряем, выполняется ли условие прочности.

2. Проектная задача, т.е. подбор сечения. В этом случае из условия прочности

(5.4), предполагая, что maxτ кр = [τ ], определяется значение требуемого полярного мо-

мента сопротивления:

69

Из этого равенства определяется неизвестный диаметр стержня.

Ниже приведены формулы для определения полярных моментов сопротивления для стержней круглого поперечного сечений:

а) сплошное круглое сечение (рис. 5.2а):

б) кольцевое сечение (рис. 5.2б):

3. Определение допускаемого значения крутящего момента для стержня заданного диаметра и из заданного материала.

Из условия прочности (5.4), которое берем со знаком равенства, т.е. maxτ кр = [τ ], оп-

ределяем значение допускаемого крутящего момента:

5.2. Определение углов закручивания брусьев круглого поперечного сечения и расчеты на жесткость

Угол взаимного закручивания ϕ концевых сечений участка стержня длиной L опре-

деляется по формуле:

70