9017

10

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противо-

положно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

ра параллельно самому себе, получим равный ему вектор. Равные векторы назы-

вают также свободными.

Три вектора (или более трех) называются компланарными, если они ле-

жат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди векторов

хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланар-

ны.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложе-

ния и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c , начало кото-

рого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b ,

причем конец вектора a и начало вектора b совмещаются и обозначается:

c a b .

Пусть даны вектора a и b (см. рис. 3).

Рис.3

12

Противоположным вектору a называется такой вектор

при сложении с вектором a дает нулевой вектор, то есть a a 0 .

Под разностью векторов a и b понимается вектор c a b такой, что a c b (см. рис.7).

Рис. 7

Можно вычитать векторы по правилу: a b a b , то есть вычита-

ние векторов заменить сложением вектора a с вектором, противоположным вектору b .

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах a и b , одна направленная диагональ является суммой векторов a и b , а другая – разностью

(см. рис. 8).

Рис. 8

Произведением вектора a на число называется такой вектор a ,

направление которого совпадает с вектором a , если 0 и противоположно направлению вектора a , если 0; длина же вектора a в раз «больше»

длины вектора a , то есть

a a .

Если 0 , то a 0 .

13

Пусть дан вектор a (см. рис. 9), тогда векторы b 2a , c 3a изоб-

ражены на рисунке 9.

b

a

c

Рис. 9

Свойства линейных операций над векторами:

1.a b c a b c

2.a b b a

3.a 0 a

4.a a 0

5.a a

6.a b a b

7.a a a

8.1 a a , где , , , – действительные числа.

Теорема 1 (критерий коллинеарности) Два ненулевых вектора a и b

коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется единственное число такое,

что b a .

Теорема 2 (о разложении вектора по двум неколлинеарным) Любой век-

тор c на плоскости может единственным образом быть разложен по двум не-

коллинеарным векторам a и b , то есть

14

c ! , R c a b .

Теорема 3 (критерий компланарности) Три вектора a , b и c компла-

нарны тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно разложить по двум остальным, то есть , R c a b .

Теорема 4 (о разложении вектора по трем некомпланарным) Любой век-

тор d пространства может единственным образом быть разложен по трем не-

компланарным векторам a , b и

d ! , , R d a b c .

Пример. Диагонали параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Разложите векторы CD и D1O по векторам AA1 , AB и AD .

Решение.

1)Так как CD AB , то искомое раз-

ложение будет иметь вид:

Рис. 10

очередь D1 B D1 A1 D1C1 D1 D

Или D1 B AD AB AA1 . Тогда получаем разложение :

D1O 12 AA1 12 AB 12 AD .

Решение. Поскольку векторы a и b ненулевые, то можно на них постро-

ить параллелограмм (см. рис. 8). Векторы a b и a b - направленные диа-

гонали параллелограмма, а a b и a b их длины. Из школьного курса гео-

17

Под углом между осью l и векто-

ром AB будем понимать меньший из углов,

который отсчитывается от направления оси до направления вектора (см. рис. 3). Очевидно,

Рис.3

что 0 .

Свойства проекции

1) Проекция вектора a на ось l равна произведению модуля вектора a

на косинус угла между вектором и осью, т.е.

2)Проекция суммы векторов на одну и ту же ось равна сумме их проек-

ций на эту ось, т.е.

Пp l (a b) Пp l a Пp l b .

3)При умножении вектора a на число его проекция на ось также умножается на это число, т.е.

Пp l ( a) Пp l a .

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответ-

ствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

18

§ 3. Координаты вектора и их свойства

Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k простран-

ства, через которые условились выражать все векторы пространства, называют-

ся базисными векторами или базисом.

Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве назы-

вается совокупность точки O и базиса i, j, k .

Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz , проходящие

через начало координат – точку O в направлении базисных векторов i , j и k

называются осями координат. Плоскости xOy , xOz и yOz , проходящие через каждую пару осей координат называются координатными плоскостями.

Выберем произвольный вектор a

пространства и совместим его начало

Рис.1

ным плоскостям.

Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно

через M1 , M 2 , M 3 . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диа-

гоналей которого является вектор OM . По определению суммы векторов полу-

чае2м a OM OM1 M1 N NM . А так как M1 N OM 2 , NM OM 3 , то

a OM1 OM 2 OM 3 .

Заметим, что OM1 (Пp x a) i , OM 2 (Пp y a) j , OM 3 (Пp z a) k .

19

Обозначим через ax Пp x a , ay Пp y a , az Пp z a . Тогда a ax i ay j az k .

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется

разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ax , a y , az

называются координатами вектора a , то есть его координаты это проекции вектора на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство a ax i ay j az k более кратко записывается a ax , ay , az .

Зная координаты вектора, можно легко найти его длину. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно записать

a ax2 ay2 az2 .

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, то есть сам вектор.