Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9014

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

	40
Если прямые l1 : y k1 x b1 ;	l2 : y k2 x b2	параллельны, то 0		и tg 0 ,
следовательно, из формулы (9) получаем, что k2 k1			0, то есть	k2 k1 . И
обратно, если прямые l1 и	l2 таковы, что	k1 k2 ,	значит tg 0 , то есть

прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых

является равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то			, значит	ctg	1 k1 k2	0,
		2			k2 k1

откуда 1 k1 k2 0 т.е. k1 k2 1. Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство k1 k2 1.

Пример 11. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 1; 2 и

перпендикулярной прямой L : 3x 2 y 5 0 .

Решение. Перепишем общее уравнение прямой L в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом kL :

L : 3x 2 y 5 0 , 2 y 3x 5 ,								y	3	x		5	, значит k				3	.
															L		3

								2			2					2
								2			2					2
Прямые l и L перпендикулярны по условию, значит kl															kL	1, следовательно,
k		1		2	. Подставляя в уравнение (5) kl								2	, x0 1,	y0 2 находим искомое
	l

		kL	3								3
		kL	3								3
уравнение прямой l : y 2						2	x 1 или					l :3y 6 2x 2, следовательно,
уравнение прямой l : y 2						3	x 1 или					l :3y 6 2x 2, следовательно,
						3
l : 2x 3y 4 0.
	2). Пусть теперь прямые l1					и		l2 заданы общими уравнениями
					A1 x B1 y C1 0,			A2 x B2 y C2 0 .
Сведём вычисление угла						между прямыми к вычислению угла между

нормальными векторами к этим прямым. Заметим, что угол между прямыми может быть только острым, а угол между векторами может быть и тупым.

Поэтому, если угол

A , B

между векторами

и n

острый, то

(см. рис.12).

Рис. 12

Если же угол

между нормальными векторами тупой, то (см.

рис. 13).

Рис. 13

Поскольку cos cos , то

cos | cos | . Таким образом для вычисления

угла между прямыми получаем формулу

cos

A1 A2 B1 B2

(10)

A2 B2

В частности: l1 l2 A1 A2

B1B2

0 ;

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

	A1	B1	C1		, то эти прямые совпадают.
	A	B	C		, то эти прямые совпадают.
2		2		2
					Расстояние от точки до прямой
		Пусть заданы прямая l уравнением Ax By C 0 и точка M 0 (x0, y0 )
(см. рис. 14). Требуется найти расстояние от точки M 0 до прямой l .

Расстояние d от точки M 0 до прямой l равно модулю проекции вектора M1M 0 ,

где M1 - произвольная точка прямой l , на направление нормального вектора

. Следовательно, n A; B

M 0

Рис. 14

d | прn M1M 0 |

______

| A(x0

x1 ) B( y0 y1 ) | | Ax0

By0 Ax1 By1 |

n M1M 0

_______

| n |

A2 B2

Так как точка M1 принадлежит прямой l , то Ax1 By1 C 0,

т.е. С Ax1 By1.

Поэтому

Ax0

By0 C |

(11)

A2 B2

что и требовалось получить.

Пример 12. Найти расстояние от точки M 0 (2, 1) до прямой

3x 4y 22 0.

Решение. По формуле (11) получаем

| 3 2 4 ( 1)

22 |

9 16

Задания для самостоятельной работы:

1. Построить прямые:

1) 2x 3y 6 0; 2) 4x 3y 240; 3) 3x 5y 2 0;

4) 5x 2y 1 0; 5) 2x 5y 10; 6) 3x 4y 0; 7) 5x 2 0;

8)2y 5 0; 9) 2x 0.

2.Составить уравнение прямой, отсекающей на оси OY отрезок b 3 и

образующей с положительным направлением оси OX угол 300 .

3. Уравнения прямых привести к виду в отрезках на осях. Прямые построить.

1)	2x 3y 6	3x 2y 4	3y 4x 12	y 6 4x
1)	; 2)	; 3)	; 4)	.

4. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси OX отрезок длиной

3 ед., а на оси OY отрезок длиной 4ед. Выполнить построение.

5.Написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и через точку 2 ; 3 . Прямую построить.

6.Даны точки O 0; 0 и A 3;0 . На отрезке OA построен параллелограмм,

диагонали которого пересекаются в точке B 0; 2 . Написать уравнения

сторон и диагоналей параллелограмма.

7. Прямые	y 2	и	y 4	пересекают прямую	3x 4y 5 0
					соответственно

в точках A и		B . Построить вектор AB , определить его длину и проекции
на оси координат.

8.Прямые x 1 и x 3 пересекают прямую y 2x 1 соответственно в точках A и B . Определить длину вектора AB и его проекции на оси координат.

9.Изобразить геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

1)	y 2 x, x 2 , y 2 ;				2) y 2 x, x 4 ,		y 0 ;
	x/4 y/2 1 y x 2		x 4			2 x y 2 x	2 x 4
3)	,	,		;	4)	,
							.
10. Найти точку пересечения двух прямых					3x 4y 2902x 5y 190
						,

11.	Стороны треугольника ABC				заданы, соответственно,				уравнениями AB :
	4x 3y 5 0 BC		:	x 3y 100 AC			x 2 0
	,					, :		. Определить координаты
	его вершин.
12.	Дана прямая	2x 3y 4 0				Составить		уравнение	прямой, которая
				.

проходит через точку M 2;1 :

1)параллельно данной прямой; 2) перпендикулярно к данной прямой.

13.Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A 5; 4 , B 1; 3 и C 3; 2 параллельно противоположным

сторонам.

14.Точка движется по прямой параллельной данной 4x 8y 1 и в некоторый

момент

времени проходит точку

A( 1, 8) .

Найти

уравнение

прямой,

по

которой движется точка.

15.

Даны середины сторон треугольника

2;1

5;3

M 3; 4

Составить уравнения его сторон.

16.

Даны вершины треугольника

A 2;1 ,

B 1; 1 ,

C 3;2 . Составить

уравнения его высот.

17.

Даны

вершины треугольника

A 1; 1 ,

B 2;1

C 3;5 .

Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины

на

медиану, проведенную из вершины B .

18.

Даны

уравнения двух

сторон

прямоугольника

5x 2y 7 0

5x 2y 360

3x 7y 100

и уравнение одной из его диагоналей

Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника и второй диагонали.

19. Необходимо восстановить границы квадратного участка земли по трем сохранившимся столбам: одному в центре участка и по одному – на двух

противоположных границах. Составить уравнения прямых, которые отображают границы участка на плоскости, если на плане координаты столбов: М(1, 6) – в центре, А(5, 9), В(3, 0) – на сторонах.

20.	Даны уравнения	двух		сторон		прямоугольника		2x 3y 5 0
								,
	3x 2y 7 0					A 2; 3
	и одна из его вершин						. Составить уравнения двух
	других сторон этого прямоугольника и его диагоналей.
21.	Найти проекцию точки		M 6;4		на прямую		4x 5y 3 0
								.
22.	Найти координаты	точки		Q ,		симметричной точке		P 5;13
	относительно прямой	2x 3y 3 0
					.

23.Составить уравнение прямой, проходящей через точку P 3; 5 на одинаковых расстояниях от точек A 7;3 и B11; 15.

24.Найти проекцию точки P 8;12 на прямую, проходящую через точки

	A 2; 3 и B 5;1 .
25.	Найти точку	M	1 , симметричную точке				M 5;3		относительно прямой,
25.	Найти точку		1 , симметричную точке				2		относительно прямой,
	проходящей через точки			A 3; 4 и B 1; 2 .
26.	Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны.
1)	3x y 5 0 x 3y 1 0				2)	3x 4y 1 0 4x 3y 7 0
1)		,		;	2)				,	;
3)	6x 15y 7 0 10x 4y 3 0					9x 12y 5 0 8x 6y 130
3)		,			; 4)				,	.
27.	Определить, при каких значениях a					и b две прямые				ax2y 1 0 и
	6x 4y b 0
		:
	1) имеют одну общую точку;				2) параллельны;				3) совпадают.
28.	Определить,	при каком значении a три прямые						2x y 3 0 x y 3 0
28.	Определить,	при каком значении a три прямые								,	,
	axy 130будут пересекаться в одной точке.
29.	Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой									3x 4y 120от
	координатного угла.
30.	Составить уравнение прямой,				которая проходит через точку P 8; 6						и

отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв.ед.

31.	Точка		A 2; 5 является				вершиной		квадрата, одна из сторон которого
	лежит на прямой			x 2y 7 0
	лежит на прямой						. Вычислить площадь этого квадрата.
32.	Даны		уравнения		двух сторон				прямоугольника	3x 2y 5 0
32.	Даны		уравнения		двух сторон				прямоугольника		,
	2x 3y 7 0и одна из его вершин								A 2;1 . Вычислить площадь этого
	прямоугольника.
33.	Доказать, что прямая					2x y 3 0			пересекает отрезок,		ограниченный
	точками		M 5;1			M	3;7
	точками		1		,	2 .
34.	Доказать, что прямая 2x 3y 6 0не пересекает отрезок,										ограниченный
	точками		M 2; 3 M 1; 2
	точками		1		,		2 .
35.	Вычислить расстояние					d	между параллельными прямыми в каждом из
	следующих случаев:
1)	3x 4y 100 6x 8y 5 0 5x 12y 260 5x 12y 130
1)			,				; 2)		,		;
3)	4x 3y 150 8x 6y 250 24x 10y 39012x 5y 260
3)			,				; 4)		,		.
36.	Доказать, что прямая					5x 2y 1 0параллельна прямым 5x 2y 7 0и
	5x 2y 9 0и делит расстояние между ними пополам.
37.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
прямых		3x 2y 5 0 4x 3y 1 0						и отсекающей на оси ординат
прямых					,			и отсекающей на оси ординат
отрезок b 3.
38.	Составить уравнение					прямой, которая проходит через точку
пересечения прямых				2x y 2 0 x 5y 230
пересечения прямых							,		и делит пополам отрезок,

ограниченный точками M 5; 6 и N 1; 4 .

§ 2. Линии второго порядка на плоскости

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Ax 2 2Bxy Cy 2 2Dx 2Ey F 0

(1)

Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из

чисел A, B или C отлично от нуля. Такие линии называются линиями

(кривыми) второго порядка. Уравнение (1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Окружность

Окружностью радиуса R c центром в точке M 0 называется множество всех точек M плоскости, удовлетворяющих условию M 0 M R . Пусть точка M 0 в

прямоугольной системе координат Oxy имеет координаты x0 , y0 а M (x, y) -

произвольная точка окружности (см. рис. 1).

y	M 0		M
	M 0

Тогда из условия M 0 M0 R получаем уравнение x								Рис.
Тогда из условия M 0 M0 R получаем уравнение x

			(x x	)2 ( y y		)2	R,
		0			0
то есть
		(x x0 )2			( y y0 )2		R 2 ,	(2)
Уравнению (2) удовлетворяют координаты							любой точки	M (x, y) данной

окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Уравнение (2) называется каноническим уравнением окружности.

В частности, полагая x0 0, и y0 0 , получим уравнение окружности с центром в начале координат x 2 y 2 R 2 .

Уравнение окружности (2) после несложных преобразований примет вид

x 2 y 2 2x0 x 2 y0 y x02 y02 R 2 0 .

При сравнении этого уравнения с общим уравнением (1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1)коэффициенты при x2 и y 2 равны между собой,

2)отсутствует член, содержащий произведение xy текущих координат.

Пример. Показать, что уравнение x2 y2 8x 2y 8 0 задает окружность.

Найти ее центр и радиус.

Решение. Т.к. B 0 , A C 1 – это окружность. Выделим полные квадраты x2 8x 16 16 y2 2y 1 1 8 0

x 4 2 16 y 1 2 1 8 0

x 4 2 y 1 2 9.

Получили уравнение окружности с центром в т. C 4, 1 и радиусом R 3 .

Задания для самостоятельной работы:

1.Дана точка A 4;6 . Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок OA.

2.Написать уравнение окружности, касающейся осей координат и

	проходящей через точку A 2;1 .
3.	Составить уравнение окружности зная, что точки A 3; 2 и
	являются концами одного из её диаметров.
4.	Написать уравнение окружности, проходящей через точки
	B 0;2 и C 1; 1 .

B 1;6

A 1;3 ,

5.											2
5.	Определить область расположения кривой y x 4x. Построить
	кривую.
6.	Написать уравнение окружности, проходящей через точки пересечения
	окружности				2 2					y x и через точку
	окружности				x y 4x4y0с прямой					y x и через точку
	A 4; 4 .
7.	Составить уравнение окружности, зная, что									она	касается оси OY в
	начале координат и пересекает ось OX в точке 6; 0 .
8.	Построить кривые:
		2 2							2 2
	1)	x y 4x6y30						2)	x y 2x4y50
	1)						;	2)				;
				2	2				2	2
	2) 3)		x y 8x 0					4)	x y 4y 0
	2) 3)					;		4)			;
		2 2							2 2
	5)	x y 8x6y 0						6) x y 2x20.
	5)					;		6) x y 2x20.
9.	Показать, что точка A 3; 0							лежит внутри			окружности
	2 2

x y 4x2y10, и написать уравнение хорды, делящейся в точке

A пополам.

Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости,

называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F1 и F2 , расстояние между ними через 2с, а

сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через 2 a . По определению 2a 2c, т.е. a c.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023160.72 Кб0901.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09010.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09011.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09012.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09013.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09014.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09015.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09016.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09017.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19018.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19019.pdf