9013

0

x

l

-2

Рис. 3

2) При A 0,

B 0, C 0 уравнение (2)

примет вид: Ax C 0

или x

C

.

A

точку

C

. (См. рис. 4)

; 0

A

C

0

x

A

0

Рис. 4

3)

При A 0 , B 0, C 0

уравнение (2) примет вид:

Ax By 0 . Одним из

решений уравнения является пара чисел

x 0, y 0. Это означает,

что прямая

проходит через начало координат.

4)

При A 0, B 0, C 0

уравнение (2) примет вид:

By 0 или

y 0 . Это

уравнение координатной оси Ox .

5)

При A 0, B 0, C 0

уравнение (2) примет вид:

Ax 0 или

x 0. Это

уравнение координатной оси Oy .

3. Уравнение прямой в отрезках

Из

(2) следует Ax By С и далее,

предполагая, что

C 0 (т.е.

прямая не

проходит через начало координат) и, разделив обе части этого уравнения на C

, получим уравнение

x

y

1,

(3)

a

b

в котором a

C

и b

C

величины отрезков, которые прямая «отрезает» от

A

A

осей координат (См. рис. 5).

y

l

b

a0

x

Пример 4. Записать уравнение прямой

l : 2x 3y 6 0 в отрезках и

Рис. 5

2x 3 y 6 0 ;

или

2x 3 y 6 .

Разделив почленно последнее уравнение на 6 получим

2x

3 y

1;

или

x

y

1.

2

6

6

3

Отметим на оси Ox точку x 3, а на оси Oy точку

y 2 и через эти точки

проведем прямую. Это и будет искомая прямая (см. рис. 6).

y

x

0

3

-2

условию, то уравнение (3) можно переписать в виде:

x

y

или

l : a

a 1

l : x y a .

34

Поскольку точка

M 0 1; 2 лежит на прямой l , то, подставляя ее координаты

x 1

y 2 в

последнее уравнение, получаем a 3. Следовательно,

y

. M(x, y)

N

y

).

(0,b

.

P(x, y b)

x

0

x

l

а угол между прямой NP и прямой l равен α. Из прямоугольного треугольника

Рис.7

NMP получаем равенство tg

y b

,

т.е. y tg x b . Введя обозначение

x

k tg , получаем уравнение

y kx b,

(4)

Решение. Находим угловой

коэффициент:

k tg

1

.

Воспользовавшись

6

3

уравнением (4), получаем y

1

x 3 . Освобождаясь от знаменателя и перенося

3

все члены в левую часть, получаем общее уравнение прямой

x 3 y 3 3 0 .

Пусть прямая l проходит через точку

M 0 x0 ; y0 и ее направление

характеризуется угловым коэффициентом k

( k tg ).

y

M 0 (x0 ; y0 )

l

0

x

Тогда уравнение этой прямой можно записать в виде: l : y kx b , где

b –

Рис.8

пока неизвестная величина. Так как точка M 0 x0 ; y0 лежит на прямой l ,

то ее

координаты

удовлетворяют уравнению прямой

l , то есть

имеет место

равенство:

y0 k x0 b , откуда

b y0

kx0 .

Подставляя

значение

b в

уравнение y kx b , получаем: y kx y

kx

или

0

0

y y0

k x x0

(5)

образующей с положительным направлением оси

Ox угол 45 .

Решение. По условию задачи x0 4,

y0 5. Найдем угловой коэффициент

k tg 45 1. Подставив эти значения в уравнение

(5) получим: y 5 (x 4) или

x y 9 0.

6. Каноническое уравнение прямой

направляющий вектор p m, n , параллельный данной прямой.

y

p

M 0

Возьмем на

прямой

произвольную точку

M (x, y)x и

рассмотрим вектор

l

Рис. 9

M 0 M x x0 ; y y0 .

Так как векторы p

и

M 0 M коллинеарны, то имеем

равенство

M

0 M k p, где k

- некоторое число. В координатах это равенство

имеет вид

x x0 k m

y y0 k n,

или

x x0

k

y y0

k.

m

n

Отсюда

x x0

y y0

.

(6)

m

n

Полученное уравнение называется каноническим уравнением прямой на

плоскости.

В частности,

если одна из координат направляющего

вектора равна нулю,

y y0 .

например,

p m, 0 , то получаем уравнение прямой

Пример 8. Даны вершины треугольника:

A 1; 2 ,

B 3; 1 и C 0; 4 . Составить

вектор

BC

является

направляющим

вектором этой прямой. Найдем

вектора:

0 3; 4 1 или

3; 5 .

Подставляя в уравнение (6)

координаты

BC

BC

38

y y0

t

y y

nt

y y

nt

0

0

n

Отсюда получаем:

x x0

m t

t .

(8)

y y0

n t

точку M 1; 2 параллельно вектору a 3;5 .

Решение. Подставляя в уравнение (8) координаты вектора

и точки M,

a

получаем искомое параметрическое уравнение

x 1 3t

.

y 2

5t