8851

Имеем: на интервалах ( ,

3),

(0,

3) вторая производная отрицательна,

следовательно, здесь функция выпукла вверх, а на (

3, 0),

(

3, ) вторая

производная положительна и

данная функция выпукла вниз.

При переходе

через точку

x 0

вторая производная меняет

свой знак,

поэтому x 0

является абсциссой точки перегиба. Так как

y(0) 0 , то

точка O(0,0)

является точкой перегиба графика функции.

1

4, 4

12

8. Возьмем дополнительные точки 1,

;

2, 8

.

2

13

9. Построим график исследуемой функции.

10

8

6

4

2

0

-6

-4

-2

-2 0

2

4

6

-4

-6

-8

Рис. 1

Рис. 9

-10

Пример 2. Провести полное исследование функции

y (x 1)e1 x и

построить её график.

Исследование

1. Областью определения D данной функции y является вся числовая

ось R .

2. Функция непрерывна для всех x.

30

уравнение (x 1)e1 x 0, находим точку пересечения кривой с осью

Ox :

x 1.

С осью Oy график пересекается при x 0, откуда y f (0) e,

т.е.

(0, e)

– точка пересечения с осью Oy .

4. Функция

y (x 1)e1 x

не является

периодической. Исследуем

вопрос о четности.

Имеем: y( x) ( x 1)e1 ( x)

(x 1)e1 x . Мы заключаем,

y

(x 1)e1 x

1

1 x

k1

lim

lim

lim 1

e

1 0 0

k1 0,

x

x

x x

x

x

b lim ( y k x) lim (x 1)e1 x lim

x 1

lim

(x 1)

lim

1

0.

x

1

x

x

ex 1

x ex 1

x ex 1

y

(x 1)e1 x

1 1 x

k2 lim

lim

lim 1

e

1 ( ) ,

x

x x

x

x

x

значит, при x горизонтальных асимптот нет.

6. Исследуем функцию на экстремум и промежутки монотонности.

1 x

1 x

1 x

1 x

.

y (x 1)e

e

(x 1)e

(2 x)e

Определим критические точки функции: решаем уравнение y 0, т.е.

(2 x)e1 x

0

(2 x) 0

x 2.

Таким

образом,

имеется

одна

критическая точка

x 2 . Получившаяся точка делит область определения

функции

на

промежутки

( , 2),

(2, ).

Определяем

знак

первой

y (2 x)e

e

(2 x)e

(x 3)e

.

1 x

1 x

1 x

1 x

Приравниваем

y

к нулю:

(x 3)e1 x 0

(x 3) 0

x 3. Вычисляем

Имеем: y 0 на

(3, ),

следовательно данная функция выпукла вниз на

этом интервале; y 0 на

( ,3), поэтому функция выпукла вверх на этом

интервале. При

x 3

получаем

точку

перегиба,

ордината которой

2

y(3)

0, 27.

e2

8.Учитывая накопленную информацию, строим график исследуемой

функции.

2

y

1

x

0

-2 -1

0 1

2 3

4 5

6

-1

-2

-3

-4

-5

Рис. 10

32

Пример 3.

Провести полное исследование функции y 3 6x2 x3 и

построить её график.

Исследование

1.

Областью определения D данной функции y является вся числовая

ось R .

2.

Функция непрерывна на всей области определения.

3.

Для нахождения точек пересечения с осью Ox возьмем y 0, тогда

3 6x2 x3 0;

6x2 x3 0;

x2 (6 x) 0.

Отсюда

x1,2 0,

x3 6, значит кривая пересекает ось Ox в точках O(0,0) и

y

3

6x2 x3

6

k lim

lim

lim 3

1

1,

x x

x

x

x

x

b lim ( y kx) lim ( 3

6x2 x3

x)

x

x

3

x 3

x 3

x2

6x2 x3

(6x2 x3 )2

6x2 x3

6x2 x3 x3

lim

lim

2

x

3 (6x2 x3 )2 x 3 6x2 x3 x2

x 3 (6x2

x3 )2 x 3 6x2 x3 x2

Следовательно, прямая y x 2

является наклонной асимптотой кривой

y

12x 3x2

4 x

.

33 (6x2

x3 )2

3 x(6

x)2

Из рисунка видим, что

при x 0 и x 4 функция убывает, а при

0 x 4

возрастает. Точка x 0 является точкой минимума с «острием» (так

как производная в этой точке не существует), а точка

x 4 есть «обычная»

точка максимума.

Найдем

ординаты

точек

максимума

и

минимума:

y(0) 0,

y(4) 2 3 4.

При переходе через точку

x 6

первая производная не

меняет свой знак, следовательно,

в точке x 6 экстремума нет.

7.

Определим

точки перегиба и

области

выпуклости

и

вогнутости

кривой.

Вторая производная

4 x

8

в

нуль не

y

3

x(6 x)

2

3

x

4

(6 x)

5

Так как

y 0

слева и справа от

x 0 , то кривая выпукла вверх слева и

справа от точки с абсциссой x 0,

и, следовательно, точка

O(0,0) не является

точкой перегиба. Поскольку слева от

x 6

имеем y 0,

т.е. здесь кривая

выпукла

вверх,

а при x 6 имеем

y 0,

т.е. здесь она выпукла вниз;

34

поэтому точка A(6,0) является точкой перегиба.

Строим график функции.

10

8

6

4

2

0

-6

-4

-2 -2 0

2

4

6

8

10

12

-4

-6

-8

Рис. 11

-10

Пример 4. Провести полное

исследование

функции

y x2 ln x

и

построить её график.

x2 ln x 0 ln x 0 x 1,

т.е. (1,0) – точка

пересечения

с

осью Ox .

Находим интервалы знакопостоянства функции. Поскольку x2

0, при любом

действительном x , то y 0

ln x 0 x 1;

y 0 ln x 0

x 1.

a) Так как lim

x2 ln x

lim

ln x

lim

(ln x)

lim

1/ x

lim

x2

0,

(1/ x2 )

2 / x3

2

x 0 0

x 0 0

1/ x2

x 0 0

x 0 0

x 0 0

следовательно,

вертикальных асимптот нет.

b) Поскольку k lim

y

lim

x2

ln x

lim x ln x , то график не имеет ни

x

x x

x

x

y' 0 2x ln x x 0 x 0 D,

x2

1

0,6 D

1

e

При

0 x

1

имеем

f (x) 0,

значит

функция на промежутке

0,

1

e

e

1

0,

1

убывает, а

при

x

e

имеем

f (x)

поэтому на

интервале (

e

, )

1

функция возрастает. Следовательно,

x e

2

–

точка

минимума

нашей

функции. В этой точке

y

1

0,18.

2e

7.

Интервалы

выпуклости

и

точки

перегиба. Мы

имеем

y 2x ln x x 2 ln x 3. Решая уравнение

2ln x 3 0, находим корень

x

1

0,23 D

e3

Видим, что y (x) 0

при 0 x

1

и

y (x) 0 при

x

1

, то график

e3

e3

36

функции будет выпуклым вверх на интервале

0,

1

и выпуклым вниз на

e3

1

x

1

интервале

, .

Точка

является точкой перегиба, значение

e3

e3

функции в этой точке

y

3

0, 07.

2e4

1,5

y

1

0,5

0

x

0

0,5

1

1,5

Рис. 12

-0,5

точек x 1и x 1, т.е. D R \ 1 .

2. Данная функция непрерывна всюду, кроме точек x 1

и x 1 .

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат. Так как y 0

при всех x, следовательно график расположен выше оси

Ox .

С осью Oy

график пересекается при x 0, откуда

y f (0) e,

т.е.

(0,e) – точка

пересечения с осью Oy .

37

1

1

1

1

e1 ( x)2

определения

выполняется:

y( x)

e1 x2 y(x).

x2

1 ( x)2

1

Поэтому функция y(x)

четная и ее график симметричен относительно оси

ординат, а исследование достаточно провести только для x 0 .

5. Асимптоты

1

1

1

1

a) Поскольку

lim

e1 x2 ,

lim

e1 x2 0,

то

прямая x 1

1 x2

1 x2

x 1 0

x 1 0

1

1

e

1 x2

y

1 x2

1

1 x2

1

k lim

lim

lim

e

0 1 0 ,

x x

x

x

x x(1

x2 )

1

1

b lim ( y kx) lim

e1 x2

0.

x

x 1 x2

Следовательно, прямая y 0 является горизонтальной асимптотой графика

функции при x (тоже и при x ).

6. Исследуем функцию на экстремум и промежутки монотонности.

1

1

1

3

2

1

1

2x

2x

2x

(3

x

)

2

2

2

2

y

e1 x

e1 x

e1 x

e1 x

1 x2

(1 x2 )2

x2 )2 (1

(1 x2 )2 (1 x2 )2

(1

x2 )

2x3 (3 x2 )

1