8465

Необходимо добавить еще уравнения. Таким уравнением может быть уравнение закона сохранения энергии.

2.2. Дифференциальное уравнение сохранения энергии

При выводе уравнения будем полагать, что движущаяся жидкость однородна и изотропна, ее физические свойства постоянны, энергия деформации мала по сравнению с изменением внутренней тепловой энергии. Выделим в потоке жидкости неподвижный относительно координатной системы элементарный объем, с ребрами dx, dy, dz (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Через грани этого объема теплота переносится конвекцией и теплопроводностью, так как суммарный вектор плотности теплового потока с учетом уравнений (1.4) и (1.9) равен

Вобщем случае в рассматриваемом объеме может выделяться (или

поглощаться) теплота внутренними источниками (теплота химических реакций, Джоулево тепло при прохождении электрического тока) плотностью qV Вт/м3.

Внаправлении оси Ox в элементарный объем вносится теплота

dQx dx q x dx dy dz dτ .

Ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора,

Вычитая (б) из (а), получим результирующий подвод тепла в направлении оси Ox

Это подведенное тепло обусловливает изменение температуры жидкости в объеме dV и равно изменению энтальпии данного объема во времени

Подставим эти проекции плотности теплового потока в формулу (к)

Уравнения (2.5) – (2.8) называют уравнениями Навье-Стокса. Член, стоящий в левой части уравнений, представляет собой полную производную от скорости по времени

где i соответственно x, y, z.

Первые слагаемые в правой части (2.9) характеризуют локальное изменение скорости во времени в какой-либо точке жидкости. Остальные три слагаемых в правой части характеризуют изменение скорости при переходе от точки к точке. Такая полная производная называется субстанциональной производной. Уравнения движения получены при постоянных теплофизических свойствах жидкости. В то же время свободное движение жидкости (естественная конвекция) определяется разностью плотностей холодных и нагретых частиц жидкости. В общем случае при const необходимо учитывать и энергию деформации жидкости. Поэтому ограничимся приближенным учетом переменности плотности в слагаемом, связанным с силой тяжести в уравнениях

движения. Пусть плотность линейно зависит от температуры

ρ ρo 1 β ,

где и 0 – плотности, соответствующие температурам t и t0;

=t-t0; t0 – некоторая фиксированная температура (точка отсчета). Подставляя это значение плотности в первое слагаемое правой части (2.8),

получим приближенно

такой замене приближенное векторное уравнение движения будет описывать и

Таким образом, для задач теплообмена система дифференциальных уравнений сохранения массы (уравнение неразрывности или сплошности), энергии и движения в проекциях на координатные оси оказывается замкнутой. Эта система уравнений в принципе позволяет определить в движущейся жидкости поле температуры T=T(x, y, z, ), поле давлений p=p(x, y, z, ) и поля проекций скоростей wx=wx(x, y, z, ), wy=wy(x, y, z, ), wz=wz(x, y, z, ).

16

Для задач массообмена, не осложненных теплообменом (в изотермических условиях), уравнение энергии в этой системе заменяется уравнением сохранения массы i-го компонента смеси. Вывод этого уравнения, которое называют уравнением массообмена, аналогичен выводу дифференциального уравнения сохранения энергии при qV=0 и имеет вид

где mi=Ci/ – относительная массовая концентрация i-го компонента.

В случаях, когда массообмен осложнен теплообменом (в неизотермических условиях), кроме уравнения (2.11), необходимо уравнение сохранения энергии. Однако вывод этого уравнения с учетом (1.13) усложняется. Для двух компонентной (бинарной) смеси оно имеет вид

Из этого уравнения видно, что, если удельные изобарные теплоемкости компонентов смеси равны ср1=ср2, то результирующий перенос энтальпии отсутствует, и это уравнение переходит в ранее полученное уравнение (2.4).

3.Теплопроводность при стационарном режиме

3.1.Дифференциальное уравнение теплопроводности

Если в дифференциальном уравнении энергии (2.4) скорость и ее проекции на координатные оси приравнять нулю, то уравнение будет описывать только микроскопический перенос тепловой энергии, который мы назвали ранее теплопроводностью. Тогда дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности можно записать в виде

Если имеются внутренние источники тепла, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, то дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности превращается в уравнение Пуассона

Наконец, при стационарной теплопроводности и отсутствии внутренних источников тепла выражение (3.3) принимает вид уравнения Лапласа

Каждое из дифференциальных уравнений теплопроводности (3.1) – (3.4) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить конкретное решение, необходимо к дифференциальному уравнению присоединить дополнительные условия. Эти условия получили название краевых условий, или условий однозначности.

3.2. Краевые условия для процессов теплопроводности

Частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, включают в себя:

1)геометрические условия, по которым задаются в конкретной задаче форма и размеры тела, в котором протекает процесс теплопроводности;

2)физические условия, по которым задаются физические свойства материала (плотность, коэффициент теплопроводности и т.п.) тела, а также закон распределения внутренних источников теплоты;

3)начальные условия состоят в задании для нестационарных процессов теплопроводности поля температуры внутри тела в начальный момент времени

T=f (x, y, z) при =0;

4) граничные условия могут быть заданы несколькими способами. Граничные условия первого рода состоят в задании значений температуры

в точках границы тела, внутри которого разыскивается поле температуры

TC=f (xГ, yГ, zГ),

где TC – температура на поверхности тела;

xГ, yГ, zГ – координаты точек поверхности тела.

В частном случае температура в точках границы тела может быть постоянной TC = const в течение всего процесса теплопроводности.

Граничные условия Второго рода состоят в задании значений плотности теплового потока в точках границы тела, внутри которого разыскивается поле температуры

qC=f (xГ, yГ, zГ).

В простейшем случае плотность теплового потока на поверхности тела и во времени остается постоянной qC = const.

Граничные условия третьего рода состоят в задании в точках границы тела связи между значениями плотности теплового потока и температуры. Эта связь представляет собой закон теплоотдачи Ньютона-Рихмана

qC = (TC – ТЖ). (3.5)

При этом задаются температура окружающей тело жидкости ТЖ вдали от него и коэффициент теплоотдачи на границе тела и омывающей его жидкости. Величины qC и TC при этом не заданы, являясь искомыми

18