8458

теплопередаче. Поэтому наличие ребер может использоваться как средство интенсификации процесса теплопередачи или как средство снижения температуры стенки. Пусть на рис. 3.2 поверхность стенки со стороны жидкости с температурой Тж2 имеет в наличии ребра. При Тж1 Тж2 температура ребра, равная у его основания температуре поверхности между ребрами Тс2, будет уменьшаться к его концу. Температуру среды Тж2 можно считать неизменной для всей поверхности ребра. Поэтому участки поверхности ребра, удаленные от основания, будут отдавать меньше тепла, чем участки, расположенные вблизи основания ребра. Отношение количества тепла, передаваемого поверхностью ребер в окружающую среду Qp, к теплу, которое эта поверхность могла бы передать при постоянной температуре на поверхности ребер, равной температуре у их основания, Q p, называется коэффициентом эффективности ребер

ηp Q p .

Q p

Коэффициент эффективности ребер всегда меньше единицы. Чем резче меняется температура вдоль ребра, тем меньше коэффициент эффективности. Для коротких ребер, выполненных из высокотеплопроводных материалов, коэффициент эффективности близок к единице. Определим тепловой поток через плоскую стенку, площадь гладкой поверхности которой F1, а площадь ребристой поверхности – F2. Площадь F2 складывается из площади боковой поверхности ребер Fp и площади межреберных участков Fм. При стационарном режиме поток тепла от горячей среды к стенке, через стенку и от стенки к холодной среде выразится формулами

Qм α 2 (Tc2 Tж2 )Fм ,

то, подставив это в (3.65) и исключив из (3.63), (3.64) и (3.65) температуры Тс1 и Тс2, получим

что для интенсификации теплообмена стенку необходимо оребрять со стороны малого коэффициента теплоотдачи. Если ребра используются как средство снижения температуры стенки, то независимо от коэффициентов теплоотдачи их постановка должна выполняться со стороны холодного теплоносителя. Увеличение поверхности ребристой стенки приводит к уменьшению

33

термического сопротивления теплоотдаче, но при этом возникает дополнительное термическое сопротивление теплопроводности ребер. Поэтому при небольшом коэффициенте теплопроводности материала постановка ребер на поверхности стенки будет мало эффективной или даже вызовет уменьшение эффективности теплообмена. Анализ переноса тепла в ребре показывает, что ребра уменьшат термическое сопротивление теплоотдаче при условии 2 / 5 , где – толщина ребра.

3.10. Температурное поле и коэффициент эффективности ребра постоянного поперечного сечения

Рассмотрим на рис. 3.5 ребро постоянного поперечного сечения, для которого изменением температуры по поперечному сечению ребра можно пренебречь по сравнению с изменениями температуры по длине ребра.

λ f

Решением дифференциального уравнения (3.67) является функция

34

поверхности, то теплоотдачу торца ребра можно учесть удлинением ребра на величину f/u и вместо длины ребра в расчетах использовать эффективную длину эф= +f/u. Тогда коэффициент эффективности ребра постоянного по длине произвольного поперечного сечения равен

4. Нестационарная теплопроводность

4.1. Общие положения

При нестационарном процессе теплопроводности или теплопередачи температура в каждой точке тела изменяется во времени. Если при стационарном режиме поток тепла, подводимый к телу, равен потоку тепла отводимому от тела, то при нестационарном режиме переноса тепла эти потоки не равны. Разность этих потоков тепла в соответствии с законом сохранения энергии расходуется на изменение энтальпии тела, что связано с изменением температуры во времени. Поэтому, в отличие от задач стационарной теплопроводности или теплопередачи, при решении уравнений (3.1) или (3.2) задают еще и начальные условия. Т.е. для того чтобы рассчитать, каким будет температурное поле в теле для некоторого момента времени, необходимо задать, каким оно было в некоторый начальный момент времени.

Однако для тел конечных размеров в случае постоянных, не зависимых от времени граничных условий, протекание процесса нестационарной теплопроводности можно подразделить на две стадии. В первые моменты процесса характер изменения температуры различных точек тела во времени будет различным. Температура поверхности тела с начала процесса начнет приближаться к температуре окружающей среды, тогда как участки тела, удаленные от поверхности, могут некоторое время сохранять свою температуру или изменять ее в зависимости от начального распределения температур. Эта стадия процесса называется неупорядоченной. По истечении некоторого промежутка времени начальное распределение температур перестает влиять на характер протекания процесса. Закон изменения температуры во времени становится одинаковым для всех точек тела. Эту стадию процесса называют регулярным режимом.

При периодических во времени граничных условиях протекание процесса нестационарной теплопроводности также можно подразделить на две стадии. В стадии неупорядоченного режима температурное поле в теле зависит от начального распределения температур. По истечении некоторого промежутка времени в теле устанавливается квазистационарное температурное поле. Оно характеризуется тем, что в любой точке тела температура изменяется во

36

времени, но ровно через период температура в любой точке тела принимает тоже значение.

Для определения температурного поля в телах классической формы (плоская неограниченная по длине и ширине стенка, неограниченный цилиндр, шар) используют аналитические методы решения. В телах сложной формы температурное поле определяют в результате численного интегрирования уравнений (3.1) и (3.2).

4.2. Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины

Рассмотрим расчетные зависимости, полученные аналитическим методом [1,2,3], на примере охлаждения плоской стенки, размеры которой по длине и ширине настолько велики, что теплообменом с торцов можно пренебречь. При одинаковых условиях теплообмена на обеих поверхностях температурное поле будет одномерным и симметричным относительно середины стенки. Поэтому на рис. 4.1 ее толщина обозначена через 2 .

При этом граничные условия в середине и на поверхности пластины соответственно можно записать так:

Решение этой задачи позволяет выразить безразмерную температуру в виде

ряда

Так как 1, 2,….., n представляет собой ряд возрастающих чисел, то чем больше , тем меньше роль последующего члена ряда в (4.5) по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число Fo, тем быстрее будут убывать члены знакопеременного (из-за cos n X) ряда (4.5) с увеличением номера n. Исследования показали, что уже при Fo 0,3 ряд (4.5) становится настолько быстросходящимся, что распределение температуры достаточно точно, с ошибкой не более 1 %, описывается первым членом ряда (4.5)

натуральный логарифм безразмерной температуры линейно зависит от безразмерного времени Fo. Для Х=0 и Х=1 решение (4.7) в [1] представлено в виде номограмм для различных значений чисел Био, так как 1 зависит в соответствии с (4.6) только от числа Био. Эти номограммы можно использовать в практических расчетах.

При Bi (практически при Bi 100) из (4.6) имеем ctg =0 и n

(2n 1)π , где n=1, 2, …… В этом случае температура поверхности пластины

2

сразу при Fo 0 становится равной температуре окружающей среды, а безразмерная температура при Х=1 =0. Иначе говоря, процесс отвода теплоты с поверхности тела происходит существенно интенсивнее, чем выравнивание температуры в теле. В этом случае процесс охлаждения (нагревания) определяется размерами тела и его физическими свойствами.

При Bi 0 (практически при Bi 0,1) ctg = и n =(n-1) . В этом случае все члены ряда (4.5), кроме первого, равны нулю. Но при 1 0

поверхности пластины мало отличается от температуры в центре. Это указывает на то, что температура по толщине пластины практически распределяется равномерно. Иначе говоря, процесс выравнивания температуры в теле происходит существенно интенсивнее, чем отвод теплоты с поверхности тела, и задача охлаждения (нагревания) становится внешней.

38

Количество отданной (полученной) стенкой теплоты на любой момент времени 1 можно определить из следующих соображений. Количество отданной (полученной) стенкой теплоты с обеих ее поверхностей за время от=0 до = должно равняться (в изобарном процессе) изменению энтальпии пластины за период ее полного охлаждения (нагревания)

пластины в момент времени 1.

Из соотношений (4.9) и (4.10) следует, что расчет количества теплоты, отданного (полученного) пластиной, сводится к нахождению средней безразмерной температуры в интересующий нас момент времени. Средняя безразмерная температура для слоя пластины от ее центра до плоскости Х равна

1 X

θ X 0 θ dX

в соответствии с теоремой о среднем.

Если в это выражение подставим под знак интеграла значение из уравнения (4.5) и проинтегрируем в пределах от нуля до единицы, то получим

Подставив в уравнение (4.10) вычисленное по формуле (4.11) значение средней температуры пластины для интересующего нас момента времени Fo, получим количество теплоты, отданное пластиной в окружающую среду за этот промежуток времени.

4.3. Регулярный режим

Как показано выше, начиная с некоторого момента времени 1 охлаждения пластины, начальные условия начинают играть Второстепенную роль. Процесс полностью определяется только условиями охлаждения на границе пластины и среды, физическими свойствами материала тела и его геометрической формой и размерами. Математически это означает, что температурное поле в пластине описывается первым членом ряда (4.5)

39

геометрических форм температурное поле в стадии регулярного режима также будет описываться уравнением вида (4.12). Специфика геометрической формы учитывается различным видом множителей А1 и U1. Логарифмируя последнее уравнение и опуская индексы, получим

Величина m называется темпом охлаждения. При наступлении регулярного режима темп охлаждения не зависит ни от координат, ни от времени и является величиной постоянной для любой точки тела. Если экспериментально определить изменение избыточной температуры во времени и построить зависимость в полулогарифмических координатах, то темп охлаждения в стадии регулярного режима найдется как

Зависимость темпа охлаждения от физических свойств материала тела, его геометрической формы и размеров, а также условий теплообмена на поверхности тела можно найти из теплового баланса. При отводе от тела объемом V тепла dQ изменение энтальпии тела составит

где V – средняя по объему избыточная температура.

За тот же промежуток времени эта теплота должна быть отведена с

Из этого уравнения следует, что относительная скорость охлаждения или темп охлаждения тела при конечном значении коэффициента теплоотдачи прямо пропорциональна коэффициенту теплоотдачи, поверхности тела и обратно пропорциональна его теплоемкости (первая теорема Кондратьева [1]).