8448

110

выражение:

Проанализируем зависимость КПД от характеристик электрической цепи. Для рассматриваемой цепи существует связь между силой тока и параметрами элементов, включенных в цепь (закон Ома): ε = I × (R + r) . Причем для данного источника значения ЭДС и внутреннего сопротивления являются фиксированными. Оставшиеся две величины – сила тока I и сопротивление нагрузки R могут связаны между собой. Возьмем в качестве основной величины сопротивление нагрузки, а силу тока исключим из полученных соотношений при помощи закона Ома. В результате получим:

Этот случай соответствует полному отсутствию работы источника и полной и полезной.

Мощность источника имеет максимальное значение ε 2 / r при R=0 (короткое замыкание), когда η = 0 . С увеличением сопротивления нагрузки PИСТ монотонно убывает до нуля (бесконечное сопротивление нагрузки и отсутствие тока в цепи).

Более сложная зависимость от сопротивления нагрузки соответствует полезной мощности. При R>>r можно пренебречь величиной r в знаменателе выражения для PН и убедиться, что она убывает с ростом сопротивления нагрузки. С другой стороны, при R=0, полезная мощность рана нулю. Так как мощность всегда положительна, это означает, что при промежуточных значениях R она достигает максимального значения. В точке максимума производная функции PН (R) обращается в ноль. Вычислив эту производную, и приравняв ее нулю, найдем, что точка максимума соответствует R=r. Значит полезная мощность максимальна, когда сопротивление нагрузки равно

η =1/ 2 , т.е. полная мощность источника в этом случае в два раза больше полезной.

Таким образом видим, что максимальная мощность источника достигается, когда полезная мощность равна нулю, а максимальная полезная мощность достигается при КПД, равном 1/2 и мощности источника равной половине максимальной.

111

2.6.Правила Кирхгоффа

Каким образом получить уравнения связи между отдельными характеристиками в сложных (разветвленных) цепях, состоящих из нескольких источников и потребителей электроэнергии? Эту задачу можно решить для любой цепи постоянного тока при помощи правил Кирхгофа. Определим некоторые термины.

Узел – точка, к которой присоединено больше двух проводов. Ветвь – участок цепи, на котором нет узлов. Контур – замкнутая часть цепи.

1-й закон Кирхгофа:

Сумма токов входящих равна сумме токов выходящих для каждого узла.

∑ Iвход = ∑ Iвых .

Это можно сформулировать иначе:

Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю ( ∑(±Ii ) = 0 ),

причем токи, входящие в узел берутся со знаком минус, а выходящие из него – со знаком плюс.

Сформулированный закон является прямым следствием закона сохранения электрического заряда. Он формулирует условия, необходимые для того, чтобы заряд не накапливался в узле.

2-й закон Кирхгофа справедлив и для любого контура разветвленной цепи.

Сумма (алгебраическая) ЭДС равна алгебраической сумме падений

напряжения на всех элементах данного контура

∑(±εi ) = ∑(±I j Rj ) ,

где ток, текущий по сопротивлению.

Правило знаков подразумевает, что выбирается (произвольно) направление обхода контура.

∙ЭДС > 0, если при обходе контура ЭДС проходится от «–» к «+» (движение в направлении действия сторонней силы; в противоположном случае ЭДС берется со знаком минус.

∙Аналогично знак падения напряжения выбирается «+», если ток в элементе контура совпадает с направлением обхода контура и минус в противном случае .

Рекомендации по практическому применению. Перед применением правил Кирхгофа необходимо расставить токи на схеме цепи. Для этого в каждой ветви необходимо указать направление тока стрелкой и ввести его буквенное обозначение. При этом стрелку можно ставить в произвольном направлении, поскольку в сложной цепи направление токов может меняться в зависимости от параметров цепи и угадать истинное направление бывает невозможно. Если ток течет в направлении, противоположном стрелке, то в результате решения уравнений Кирхгофа соответствующий ток будет иметь отрицательное значение.

Если цепь имеет N узлов, первое правило Кирхгофа необходимо записать для N-1 узла. Последнее уравнение будет являться следствием уже известных.

112

Остальные независимые уравнения могут быть получены с использованием второго закона Кирхгофа. При этом каждый новый контур, для которого применяется этот закон, должен содержать хотя бы одну новую ветвь, не входящую в другие контуры.

Если придерживаться этих рекомендаций, то число полученных независимых уравнений будет равно числу ветвей цепи (или числу токов). Для определения неизвестных токов по заданным характеристикам элементов цепи необходимо решить линейную алгебраическую систему уравнений. Число уравнений равно числу неизвестных и равно числу ветвей. Решение этой задачи не представляет принципиальных трудностей (например, можно решать уравнения методом Крамера). Таким образом, законы Кирхгофа позволяют рассчитать произвольную разветвленную цепь.

Пример расчета разветвленной схемы , изображенной на рисунке. Предположим заданы значения ЭДС источников и сопротивления всех элементов. Необходимо определить токи во всех ветвях.

I 2

ε 2 , r2

А Б

I

R

1.Расставляем стрелки направлений токов в каждой ветви (направления произвольные) и вводим буквенные обозначения токов. Это сделано на рисунке.

2.Схема содержит два узла. Для узла «А» применяем первое правило Кирхгофа: I − I1 − I2 = 0 . Если применить это правило для узла «Б», то получим то же самое соотношение, умноженное на минус 1. Поэтому недостающие два соотношения для определения трех неизвестных токов можно получить, пользуясь вторым правилом – для контуров.

3.Выберем замкнутый контур А-ε1 -Б – R – А и направление его обхода по

часовой стрелке (выбирается произвольно). Применим для него второе правило Кирхгофа: ε1 = I1r1 + IR . ЭДС имеет знак + поскольку, при

движении внутри источника, проходится от отрицательной к положительной клемме. Вторым возьмем контур А- R – Б - ε 2 - А и

обойдем его против часовой стрелки. Второе правило Кирхгофа в этом случае приводит к соотношению: − ε 2 = −IR − I2 r2 .

4.Решаем полученные уравнения относительно неизвестных токов и в

113

Видим, что токи, текущие через источники могут менять направление (знак) в зависимости от параметров цепи. Поэтому угадать как нужно ставить стрелки до решения задачи не возможно.

Из первой формулы можно сделать вывод, что батарею из двух параллельно присоединенных источников тока можно заменить одним источником со следующими параметрами:

же ток, равный I при прежнем сопротивлении нагрузки R.

Краткие выводы

·Электрический ток – это упорядоченное движение электрически заряженных частиц. Количественными характеристиками тока являются

сила тока

I = dq dt

и плотность тока

j = dI . dS

Ток, сила и направление которого не изменяются с течением времени, называется постоянным.

·Для возникновения и поддержания электрического тока необходимо: а) наличие свободных электрических зарядов; б) наличие электрического поля; в) присутствие в цепи устройств (источников тока), способных поддерживать разность потенциалов за счет работы сторонних сил.

·ЭДС – физическая скалярная величина, определяемая работой сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда:

ε= Аст .

q0

·Напряжение на участке цепи – физическая скалярная величина, определяемая работой суммарного поля кулоновских и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке:

U12 = ε12 + (ϕ1 − ϕ 2 ).

Напряжение на концах участка цепи равно разности потенциалов, если участок не содержит источника тока (ε 12 = 0 ), т.е. является однородным.

114

∙Электрическое сопротивление линейных металлических проводников зависит от материала, длины и площади поперечного сечения:

R = ρ l .

S

Сувеличением температуры сопротивление таких проводников

увеличивается:

ρ = ρ 0 (1 + αt ),R = R0 (1 + αt ).

∙Проводники в электрической цепи могут соединяться последовательно и параллельно:

Закон Ома в дифференциальной форме связывает плотность тока в любой

точке проводника с напряженностью электрического поля в той же точке: j = γE .

∙Участок цепи, содержащий источник тока, называется неоднородным.

Закон Ома для неоднородного участка цепи (закон Ома в интегральной форме)

I = ε12 + (ϕ1 − ϕ 2 ) .

R

В зависимости от конфигурации участка цепи или режима из этого закона получаем:

115

∙Количество теплоты, которое выделяется в проводнике при протекании электрического тока, определяется законом Джоуля-Ленца:

Q = I 2 Rt.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме связывает удельную тепловую мощность тока с напряженностью электрического тока:

ω= γE 2 .

∙Мощность электрического тока – физическая величина, определяемой работой, совершенной током за единицу времени:

P = dA = UI = U 2 = I 2 R. dt R

∙Одним из методов расчета разветвленных электрических цепей является расчет с использованием правил Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов в узле

электрической цепи равна нулю, т.е.

n

∑ I к = 0.

к=1

Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС источников равна алгебраической сумме падений напряжений на отдельных участка этого контура, т.е.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1.Что понимают под электрическим током? Каковы условия возникновения и поддержания электрического тока проводимости?

2.Что называют силой тока, плотностью тока? Каковы их единицы?

3.Какова физическая природа электрического сопротивления проводника? От чего зависит сопротивление металлического проводника?

4.Какова связь между сопротивлением и проводимостью, удельным сопротивлением и удельной проводимостью? Каковы их единицы?

5.Какой участок электрической цепи называют однородным, неоднородным? Выведите закон Ома в дифференциальной форме.

6.Какова физическая сущность ЭДС источника тока, разности потенциалов, напряжения?

7.Как определяется эквивалентное сопротивление проводников при их последовательном и параллельном соединении?

8.Сформулируйте закон Ома в интегральной форме. Какие частные законы можно из него получить?

116

9.Что называют мощностью электрического тока? Сформулируйте закон Джоуля-Ленца.

10.Выведите закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Что называют удельной тепловой мощностью тока?

11.Сформулируйте правила Кирхгофа и запишите их математические выражения.

12.Изложите сущность метода расчета разветвленной электрической цепи с использованием правил Кирхгофа.

3.Магнитное поле постоянного тока

Постоянные магниты были известны еще в древности, поскольку проявления их можно наблюдать в природе. Позже, в 1820г. Эрстедом была обнаружена связь магнитных явлений с электрическими. Он обнаружил, что прямолинейный ток взаимодействует с магнитной стрелкой, причем последняя устанавливается перпендикулярно направлению тока.

3.1.Действие магнитного поля на ток. Индукция магнитного поля

Взаимодействие постоянного магнита и тока на расстояние можно объяснить наличием вокруг постоянного магнита особой формой материи - магнитного поля. Французский физик А. Ампер провел систематические исследования силы взаимодействия между полем постоянного магнита и проводником с током. Результатом этих исследований является закон, позволяющий вычислить силу магнитного воздействия на проводник с током в зависимости от характеристики магнитного поля – индукции магнитного поля.

Основные положения удобно формулировать для проводника бесконечно малой (практически достаточно малой) длины. Назовем элементом тока вектор, модуль которого равен произведению длины малого проводника на силу тока в нем, а направление совпадает с направлением тока ( I × l ).

Измеряя силу, действующую на элемент тока, помещенный в данную точку магнитного поля (силу Ампера FА ) можно придти к следующим выводам:

сила пропорциональна модулю элемента тока FА ~I×l;

направление силы перпендикулярно элементу тока FА ^( I × l );

величина силы зависит от направления элемента тока; при некоторой ориентации элемента тока сила в данной точке пространства обращается в ноль, а при повороте элемента тока на угол π / 2 относительно этого направления, сила принимает максимальное значение для данной точки пространства FMAX .

Значение FMAX / (I×l) не зависит от величины и направления элемента тока, а является характеристикой магнитного поля в данной точке пространства – индукцией магнитного поля - B :

B = FMAX .

I × l

117

Таким образом индукцией магнитного поля называется вектор, модуль которого равен максимальной силе, действующей на единичный элемент тока, помещенный в данную точку магнитного поля. За направление вектора магнитной индукции принимается направление вектора элемента тока, при котором сила Ампера обращается в ноль в данной точке пространства. Это направление я совпадает с ориентацией северного полюса магнитной стрелки.

В системе СИ единицей измерения магнитной индукции является тесла (Тл), связанная с другими единицами соотношением 1 Тл=1 Н/( А м). То есть один тесла это индукция такого магнитного поля, которое действует на проводник с током 1 ампер с максимальной силой 1 Н на каждый метр длины проводника.

Суммируя отмеченные свойства силы и определение магнитной индукции, можно записать закон Ампера, определяющий величину и направление силы, действующей на элемент тока, помещенный в магнитное моле:

FA = [Il × B ] ,

где квадратные скобки подразумевают векторное произведение. Предлагаем убедиться, что приведенная формула правильно описывает все перечисленные свойства силы Ампера.

Пользуясь известным выражением для модуля векторного произведения, получим из закона Ампера формулу для вычисления величины магнитной силы:

FA = I × l × B × sinα , где a ¾ угол между элементом тока и вектором B . Направление силы Ампера можно определить либо из векторного произведения, либо известного со школы правила левой руки: «если расположить левую руку так, чтобы четыре пальца были направлены в направлении тока в проводнике, а вектор магнитной индукции – в ладонь, то отставленный большой палец покажет направление силы».

3.2.Принцип суперпозиции для магнитного поля

Если в пространстве есть магнитное поле с индукцией В1 (создаваемое, например постоянным магнитом), то сила, действующая на кокой – либо проводник с током будет определяться законом Ампера. Если вы поднесете к проводнику второй магнит, создающий поле В2 , то магнитная сила, действующая на проводник изменится. Поскольку проводник и ток в нем остались прежними, следовательно изменилось магнитное поле в месте расположения проводника. На опыте можно установить, что сила действия двух магнитов F1+2 равна векторной сумме сил F1 и F2 , с которыми действует на элемент тока каждый из магнитов. Используя закон Ампера и свойства аекторного произведения это можно записать в виде:

F1+2 = F1 + F2 = [Il × B1 ] + [Il × B2 ] = [Il × (B1 + B2 )] .

118

С другой стороны, поскольку сила Ампера определяется вектором магнитной индукции B1+2 , имеющимся в пространстве, можно записать:

= [Il × B1+2 ]. Сравнивая два последних выражения приходим к выводу, что суммарный вектор магнитной индукции равен векторной сумме индукции магнитных полей, создаваемых каждым магнитом в отсутствии другого:

B1+2 = B1 + B2 .

Сказанное справедливо не только для двух источников магнитных полей, но и для произвольного их числа. Принцип суперпозиции говорит о независимом наложении магнитных полей.

3.3.Закон Био-Савара-Лапласа

На опыте наблюдается не только взаимодействие между постоянным магнитом и проводником с током, но и между двумя проводниками с током в отсутствие магнита. Можно объяснить наличие силы, действующей на первый проводник тем, что другой проводник с током окружен своим собственным магнитным полем, которое действует на первый проводник по закону Ампера. Таким образом можно сделать вывод, что вокруг всякого проводника с током образуется магнитное поле. Определить индукцию магнитного поля проводника с током можно при помощи закона Био – Савара – Лапласа, являющегося обобщением опытных фактов.

Удобно сформулировать закон генерации магнитного поля для бесконечно малого элемента тока (длиной dl). Тогда, в соответствие с принципом суперпозиции, индукция любого проводника с током может быть найдена в любой точке наблюдения как векторная сумма полей, создаваемых всеми элементами тока, из которых состоит проводник.

На рисунке изображен элемент тока. Вектор r соединяет элемент тока и точку наблюдения. Индукцию магнитного поля, создаваемую бесконечно малым элементом тока в точке наблюдения обозначим как dB .

I

dl

S

dB – элементарное магнитное поле, создаваемое элементарным отрезком провода с током I.

Закон Био – Савара – Лапласа в векторной форме можно записать в виде (используется система Си):

В данной форме закон определяет и величину и направление магнитного

119

поля. Видим, что магнитное поле пропорционально величине элемента тока и направлено перпендикулярно и элементу тока и вектору r . Здесь μ0 -

магнитная постоянная, равная 4π ×10−7 Тл×м/А. Величина μ учитывает

влияние среды, в которой возникает магнитное и называется относительной магнитной проницаемостью. μ показывает во сколько раз в данной среде

индукция магнитного поля больше, чем было бы при тех же условиях в вакууме.

Для модуля индукции магнитного поля можно записать следующую формулу:

магнитное поле убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до точки наблюдения и существенно зависит от направления на точку наблюдения. В частности, электрический ток не создает магнитного поля в точках, лежащих на прямой, совпадающей с направлением тока (a=0).

Кроме индукции для описания магнитного поля используют

напряженность магнитного поля H, в изотропной среде связанную с

индукцией по формуле:

B = mm0 H .

На напряженность магнитного поля не оказывает влияния окружающая среда. Она определяется только макроскопическими токами.

Применим закон Био – Савара – Лапласа для расчета магнитного поля в центре кругового тока. Дано: радиус витка равен R, ток в нем – I .

Разделим виток на большое число N кусков. При очень большом числе N каждый элемент тока практически совпадает с направлением касательной к окружности. Проведем из каждого элемента тока, с номером i радиус вектор

R

ri в точку наблюдения (в центр окружности). Очевидно, что все радиусы перпендикулярны направлению тока в соответствующем элементе (αi = π / 2). Нетрудно убедиться, что все элементы тока создают одинаково направленное магнитное поле в центре витка – перпендикулярное плоскости витка. В этом случае модуль результирующего магнитного поля можно найти как сумму

первых, что расстояния от всех элементов тока до точки наблюдения равны радиусу кольца и, во-вторых, что сумма длин всех элементов тока, на которые мы разбили кольцо равна длине окружности. При выводе этой формулы мы избегали интегрирования. Однако в других случаях расчета полей с использованием закона Био – Савара – Лапласа, интегрирование является необходимым математическим аппаратом.