8420

30

Рис. 2.2. Эпюра распределения напоров в трубопроводе

При отсутствии потерь:

2.2. Работа лопастного колеса. Формула Эйлера

2.2.1. Работа лопастного колеса Рабочее колесо является основным конструктивным элементом центро-

бежной, осевой или диаметральной гидравлической машины. Проходящая че- рез рабочее колесо жидкость приобретает в нем полное давление:

где с - скорость потока на выходе из колеса.

Колесо центробежного нагнетателя чаще всего состоит из двух дисков,

31

связанных друг с другом лопатками (или лопастями): одного - сплошного и другого - кольцеобразного с отверстием, через которое жидкость поступает в каналы между лопатками.

Если в рабочем колесе по его наружной выходной поверхности уста- новлена обечайка, то жидкость, заключенная в канале между лопатками, будет вращаться в этом случае вместе с ко-

лесом с угловой скоростью ω. Любая частица массой dm, вращаясь на рас- стоянии R от оси, получит центрост-

Приложенная к частице сила, на- правленная к центру вращения, равна

F = dm ×ω 2 R . Если выделить в колесе шириной b, имеющем z лопаток, эле- мент жидкости на расстоянии R от оси

вращения, то масса этого элемента толщиной dR (рис. 2.3) составляет: dm = γg × 2πzR b × dR .

Действие центростремительной силы на этот элемент равно:

Сила dF вызывается разностью давлений р и р + dр, действующих c двух сторон выделенного элемента площадью f:

откуда

32

зультате действия центростремительных сил. Очевидно, что под их влиянием

33

Из уравнения Д. Бернулли следует, что в диффузоре наблюдается увели- чение статического давления, так как

Таким образом, общая разность статических давлений с двух сторон кана- лов рабочего колеса составит:

Полученная разность статических давлений не является полным давлени- ем, сообщаемым жидкости протекающей через лопастное колесо, так как пол- ное давление, развиваемое колесом центробежного нагнетателя, представляет собой разность полных давлений после и до колеса.

Обозначая через с абсолютную скорость жидкости (т. е. скорость жидко- сти относительно неподвижного наблюдателя), запишем выражение для пол- ного давления рп при входе на лопатку колеса:

34

Формула (2.23) является основной в описании работы колеса радиального (центробежного) нагнетателя.

2.2.2. Формула Эйлера Уравнение (2.23) не раскрывает механизма передаче жидкости, проте-

кающей через рабочее колесо, энергии от вала машины. Более наглядное пред- ставление об этом может быть получено на основе теоремы количества движе- ния (теоремы импульсов).

В соответствии с этой теоремой изменение количества движения секунд- ной массы при переходе от одного сечения к другому равняется сумме внеш- них сил, приложенных к потоку между этими сечениями.

Если обозначить секундную массу γg Lсек , абсолютную скорость в началь-

ном сечении с1 и в конечном с2 , то на основании теоремы импульсов сила,

приложенная к массе между сечениями 1 и 2, равна:

Изменение момента количества движения секундной массы при переходе от одного сечения к другому равняется моменту внешних сил (моменту на ва- лу), приложенных к потоку между этими сечениями.

Уравнение момента внешних сил имеет следующий вид (рис. 2.4):

35

Подставляя последнее равенство в уравнение (2. 25), получим:

М = γg Lсек ( R2c2u - R1c1u ) .

Умножив обе части этого выражения на угловую скорость ω, имеем:

Мω = γg Lсек ( R2ωc2u - R1ωc1u ).

Учитывая, что мощность Мω = N , кг×м/с, а Rω = u , можно записать:

где р - полное (теоретическое) давление, кг/м2 .

Приравнивая значения мощностей из выражений (2.26) и (2.27), получим:

Это выражение носит название формулы Эйлера, лежащей в основе расче- та всех лопастных нагнетателей.

Нетрудно показать, что выведенное выше равенство (2.28) идентично вы- ражению (2.23).

Из треугольников скоростей следует (рис 2.4), что

ω 2 = с2 + u 2 - 2u × c × cosα = c2 + u2 - 2u × cu .

Преобразуем соответственно выражение (2.24):

откуда получим:

36

Приведенные выше выражения (2.28), (2.29) и (2.30) дают значения давле- ний, развиваемых лопастным колесом, при отсутствии потерь. В действитель- ности при движении жидкости в нагнетателе происходят различные потери, ко- торые учитываются коэффициентом полезного действия, характеризующим от- ношение полезной (теоретической) мощности N т к мощности затраченной

где pк − действительное давление, развиваемое колесом с учетом потерь.

Таким образом, давление, создаваемое лопастным колесом, равно произве- дению коэффициента давления на массовую плотность перемещаемой жидко- сти (или газа) и на квадрат окружной скорости на внешней (выходной) кромке лопатки. Это выражение является упрощенным видом формулы Эйлера для лопастного колеса, работающего в условиях подтекания незакрученного потока жидкости или газа (так называемый безударный вход потока).

37

Коэффициент давления зависит от коэффициента закручивания ϕ2 и, та-

ким образом, характеризует отношение с2u u , которое в большой степени за-

висит от формы (профиля) лопаток.

В зависимости от положения выходной кромки лопатки могут быть загну- тыми назад (рис. 2.5 а) при β2 >90°, радиальными (рис. 2.5 б) при β2 = 90° и

загнутыми вперед (рис. 2.5 в) при β2 <90°.

Рис. 2.5. Профили лопаток центробежных колес: а − лопатка загнутая назад; б − лопатка радиальная; в − лопатка загнутая вперед

Входные кромки лопаток всегда выполняются загнутыми назад ( β1>90°).

При входной кромке, расположенной радиально, и в особенности при кромке, загнутой вперед, резко возрастают гидравлические потери на вход жидкости в колесо.

Очевидно, что при лопатках, загнутых назад, ϕ2 = с2u u2 < 1, при ради-

альных ϕ2 =1, а при загнутых вперед ϕ2 >1. В соответствии с изменением ϕ2

меняется и коэффициент давления. Практически можно принять следующие значения коэффициентов давлений для лопаток разного профиля:

−лопатки загнутые назад ψ = 0,4...0,7;

−лопатки радиальные ψ =0,7...0,9;

−лопатки загнутые вперед ψ = 0,8...1,3.

Казалось бы, для получения возможно более высоких давлений целесооб- разно применять только машины с лопатками загнутыми вперед, что позволи-

38

ло бы примерно удвоить давления по сравнению с нагнетателями, имеющими колеса с лопатками загнутыми назад, при одинаковых окружных скоростях. Однако лопатки загнутые вперед имеют существенные недостатки. Движение

потока между лопатками характеризуется значительными вихреобразованиями и связанными с ними большими гидравлическими потерями. Поэтому кпд ма- шины с лопатками загнутыми вперед значительно ниже, чем у машин с коле- сами, имеющими лопатки загнутые назад. Вихреобразования в потоке, кроме того, являются источником возникновения аэродинамического шума. Поэтому в тех случаях, когда требуется по возможности бесшумная работа вентилято- ров, всегда используют машины с лопатками загнутыми назад.

Вентиляторы оборудуются колесами как с лопатками загнутыми вперед (когда требуется большое давление), так и с лопатками загнутыми назад (когда требуется относительно бесшумная работа машин при более высоких кпд). В системах пневмотранспорта при перемещении воздуха с взвешенными части- цами используют вентиляторы с радиальным профилем лопаток для уменьше- ния вероятности забивания колес механическими примесями.

Насосы всегда выполняются только с лопатками загнутыми назад, так как

вихреобразования в потоке жидкости могут повлечь за собой гидравлические удары, действие которых весьма неблагоприятно отзывается на конструкции машины.

Влияние на коэффициент давления оказывает число лопаток. При умень-

шении числа лопаток степень расширения каналов между ними увеличивается и поток, проходящий по каналу, легко отрывается от его стенок, что ведет к увеличению гидравлических потерь в колесе. Увеличение числа лопаток до 12...16 шт. способствует повышению коэффициента давления. Дальнейшее увеличение уже меньше влияет на значение коэффициента ψ. Поэтому наи- большее число лопаток в радиальных вентиляторах не превышает 36...48. Кро- ме того, увеличивать число лопаток свыше этого предела не имеет смысла, так как лопатки, даже выполненные из сравнительно тонкого металла, начнут уменьшать площадь проходного сечения каналов воздуха. Потери на трение в

39

каналах небольшого сечения возрастут, а коэффициент давления при этом бу- дет снижаться.

Приведенные соображения в равной степени касаются и рационального числа лопаток в колесах центробежных насосов. В насосах обычно не менее 6 и не более 20...24 загнутых назад лопаток.

Второй множитель, входящий в формулу (2.32) (массовая плотность ρ

или удельный вес γ), характеризует жидкость, которую перемещает нагнета- тель. Следует отметить, что вывод формулы Эйлера действителен независимо от удельного веса перемещаемой среды, будь то капельная жидкость или газ. Единственным условием, определяющим допустимость применения формулы, являются или несжимаемость перемещаемой среды (справедливая для капель- ной жидкости) или незначительные изменения плотности (справедливые для упругих сред − газов), которыми в технических расчетах можно пренебрегать. Например, для воздуха при атмосферном давлении можно с ошибкой, не пре- вышающей 2...3%, вести расчеты машин, развивающих давления до 300...350

кг/м2 , без учета поправок на изменение плотности.

Последний множитель формулы (2.32) (квадрат окружной скорости u22 )

характеризует режим работы нагнетателя. При этом, если первые две величины

− ψ и ρ для машины определенного назначения и конструкции практически по- стоянны, то величина окружной скорости u2 может меняться в весьма широких пределах. Поэтому режим работы машины, т. е. окружная скорость колеса, яв- ляется основной характеристикой, от которой зависит развиваемое нагнетате- лем давление.

От величины окружной скорости зависят центробежные силы, возникаю- щие в материале колеса, и напряжения, возникающие в его конструкции.

Учитывая, что u2 = π × D × n60 , можно при одинаковых значениях u2 ис-

пользовать машины с колесами меньших диаметров, но работающие при боль- шей частоте вращения и наоборот. При этом будут созданы одинаковые давле- ния.