8325

30

Выразим необходимые линейные и угловые скорости через искомую

скорость

:

Тело Avсовершаетq

поступательное движение со скоростью

vq

.

Нить нерастяжима, поэтому

.

Колесо В совершает

вращательноеrдвижениеq

. Его угловая скорость

v

v

ωs tvwu tvwx txy.

направлена по ходу часовой стрелки и равна

Скорость точки Н равна

vz

ω

sRs

. y

y

2vq

.

Скорость точки F

равна

tx|w

tx∙"y

Колесо

C совершает

плоскопараллельное} z движениеq

. МЦС находится в точке

v

v

2v

tyx

tyx.

ω~

t|•€ |tx€

D. Угловая скорость направлена по ходу часовой стрелки и равна

Скорость точки С равна

~

ω~

~

tx|€

v

q.

3. Определим моменты

инерции колес В и С.

v

R

y

Колесо В имеет реборду. Если толщина реборды составляет половину

толщины колеса, момент инерции колеса определяется по следующей

формуле:

J B =

1

m ×

RB 4 + rB 4

=

1

m ×

(4a)4 + (2a)4

=10ma2 .

RB 2 + rB 2

(4a)2 + (2a)2

ZB

2

B

2

Колесо С сплошное:

J C =

1

m R2

= 0.5ma2 .

ZC

2

B

C

4. Определим кинетическую энергию системы в начальном и конечном

состояниях.

T Tq Ts T~

где

В начальном состоянии тело находится в состоянии покоя:

T 0.

В конечном состоянии кинетическая энергия равна

,

Тело A:

Tq

mqvq mvq.

txy 1.25mvq.

Тело B:

Ts

J„ss ωs

ma

0.75mvq.

Тело C:

T~ m~v~

J„~~ ω~

mvq

" ma tyx

Сумма:

T Tq Ts T~ mvq

1.25mvq

0.75mvq 3mvq.

∑ A

ˆ

Oq

OOPq

OPТР

Os

OOPs

V

O~

OOP~

V

ARP V ARN

V ARF

V ARP

V ARN

ARP V

ARN

31

Учтем, что перемещения точек пропорциональны их скоростям, и

Точка B v

v

OP~

S

S

S

Os

OPs

Реакции

OPq и

направлены ARP

V 0, ARN

V 0.

поскольку

~

q

то и

~

q .

неподвижна, поэтому

OPq

OP~

движенияN,

N

β

V 0..

Oq

q q

ARN

V 0, ARN

ARP V m

g S

∙ sin

перпендикулярно к направлению

.

µ 2 m g S ∙µ0.68 1.72βm g S

OPТР

поэтому

V

%F

ТР

S

q

%

q

S %

q

∙ S %0.1 m g S

ARF

αN

m . g ∙ cos

ARP‰ V

%m

g S

~

∙ sin

%0.5 m g S

O

~

~

OPТР

O~

∑ A

ˆ

Oq

1.72mgS % 0.1mgS % 0.5mgS

ARP V

ARF

V ARP V

1.12mgS.

6. Найдем значение скорости тела А.

Используем теорему об изменении кинетической энергии механической

системы:

T % T

∑ A‰ˆ .

T 0,

Так как

то

T ∑ A‰ˆ .

Составим уравнение:

3mvq 1.12 m g S, решая которое получим, что

vq •

. – —

2.71 мс.

Ответ: VА=2,71м/с.

Задача Д-2

Определение реакций опор составной балки, используя принцип

F 20 кН;

возможных перемещений

α 30°.

Дано:

P 40кН;

M 25 кНм; q 10 кН; a 1м;

α

q

P

М

E

H

A

B

α

C

D

a

a

a

2a

a

a

a

a

32

2• > 2• √ •√3

и 2• > 2•

F.

Заменим распределенную нагрузку ее равнодействующей ž 3ŸB 30 кН.

Удалим связи, заменив их неизвестными реакциями, учитывая, что на

неподвижной опоре реакция

_ пройдет наклонно и может быть представлена

F

3

Q = 3qa

P

М

α

E

H

F

A

X A

B

C

D

a

a

a

2a

a

a

a

a

Y

R

A

R

R

RD

A

B

C

0.5a

1.5a

Рис.10

¡_, и изобразим на

2. Удалим опору A, заменив ее неизвестной реакцией

рисунке виртуальные перемещения элементов системы.

′

Q

P

A

δϕ1

H

М

A

E

B

C

D

F 3

E′

Q

δϕ1

B′

P

М

A

E

H

δϕ1

B

δϕ2

C

D

RB

Рис.12

Составим соответствующее уравнение:

•√3B ¢b g 2B ¢b % ž 1.5B ¢b 0.

¢b

3¢b

Учитывая, что

££¤ B ¢b 3B ¢b

получим, что

•√3 B 3¢b

g 2B ¢b % ž 1.5B ¢b

0, откуда 3• 2 g %

1.5ž 0,

g R1.5ž % 3•√3V #1.5 ∙ 30 % 3 ∙ 20 ∙ 1.732& %29.46 кН.

4. Удалим опору C, заменив ее неизвестной реакцией

¥, и изобразим на

рисунке виртуальные перемещения элементов системы.

Q

H ′

C′

P

F 3

δϕ1

δϕ

δϕ3

D

М

E

2

H

C

A

δϕ2

B

δϕ3

δϕ

RC

1

E′

Рис.13

Составим соответствующее уравнение:

¦ ¢b 0.

%•√3 B ¢b % ž ∙ 0.5B ¢b

¥ 2B ¢b % fB ¢b

Учитывая, что

££¤ B ¢b B ¢b

получим, что ¢b ¢b .

Учитывая, что

§§¤ 2B ¢b

3B ¢b

получим, что

¢b ¢b

1.5¢b .

%•√3 B 1.5¢b % ž ∙ 0.5B 1.5¢b ¥ 2B ¢b % fB ¢b ¦ ¢b 0.

откуда

¥ 2B % fB ¦ 0.

5. Удалим опору D, заменив ее неизвестной реакцией

¨, и изобразим на

рисунке виртуальные перемещения элементов системы.

D′

F 3

P

A

δϕ

E′

δϕ2

Q

δϕ3

М

1

H

δϕ1

E

C

D

B

δϕ2

δϕ3

RD

H ′

Составим соответствующее уравнение:

¨ 2B ¢b % ¦ ¢b

0.

•√3 B ¢b ž ∙ 0.5B ¢b % fB ¢b

Учитывая, что ££¤ B ¢b B ¢b

получим, что ¢b

¢b .

Учитывая, что §§¤ 2B ¢b B ¢b получим, что ¢b ¢b 2¢b .

•√3 B ¢b ž ∙ 0.5B ¢b % fB 2¢b

¨ 2B 2¢b % ¦ 2¢b 0.

35

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

3

Задание на выполнение самостоятельной проектировочной работы

4

по теоретической механике

Данные для решения задач К-1 и К-2

19

Данные для решения задачи Д-1

20

Данные для решения задачи Д-2

21

Пример решения задач К-1

22

Пример решения задач К-2

24

Пример решения задач Д-1

28

Пример решения задач Д-2

31