8233

10

простейших сооружений на колебания. Выбор конкретного метода зависит от

особенностей системы и определяется самим расчетчиком.

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Более сложная система с несколькими степенями свободы необходима для анализа высокого здания. Как показано на рис. 1.1, высокое здание может быть упрощено как модель с сосредоточенной массой для каждого этажа. Это может проявляться в таком же количестве форм, как и степени свободы.

Каждая масса в такой системе обычно подвергается воздействию силы инерции, силы демпфирования, силы упругости и внешних динамических сил,

как было показано в системах с одной степенью свободы.

Если здание является жестким с небольшими массами, то период вибрации здания будет коротким, здание будет иметь ускорение с таким же движением, как и земля, и будет претерпевать незначительные относительные перемещения. Если здание очень гибкое с большими массами,

индуцированное движение вызовет небольшие ускорения здания и большое относительное смещение.

Рис. 1.1 - Модель системы с несколькими степенями свободы.

11

Уравнение собственных колебаний системы со многими степенями если принять P=0 и R*=0 (где 0 – нуль-вектор):

Записанное в матричной форме это уравнение представляет собой систему n линейных дифференциальных уравнений. Ее общее решение будем искать в виде суммы n частных решений

= ∑ ,

=1

являющихся простыми гармоническими функциями

Здесь – круговая частота собственных колебаний, – начальная фаза,

а не зависящий от времени вектор ai определяет форму i-го собственного колебания. Так как колебательная система имеет n степеней свободы, вектора перемещений и форм состоят из n компонент:

Учитывая (3.8) и что ̈= − 2 ∙ sin( + ), уравнение (3.7) сократим на sin( + ) и запишем как

− 2 + = 0

или в виде

Здесь введены следующие обозначения:

– динамическая матрица, = 2 – собственное значение матрицы.

Тогда (3.10) приводится к задаче на собственные значения

12

которое можно записать как систему линейных однородных уравнений

Таким образом, при задании закона движения масс (3.8)

дифференциальное уравнение колебаний (3.7) становится алгебраическим.

Уравнение (3.12) имеет два типа решения:

1)тривиальное (простейшее) решение a1i=a2i=...=ani=0; оно не представляет интереса, так как в этом случае амплитуды колебаний равны нулю, т.е. колебания отсутствуют;

2)неопределенное решение; оно возможно при равенстве нулю определителя системы линейных уравнений (3.13), т.е. когда

Это уравнение называется вековым уравнением. Оно названо так потому,

что подобное уравнение было впервые получено при изучении периодических отклонений движения планет, исчисляемых веками.

Если раскрыть определитель (3.14), получим полином n-ной степени относительно с постоянными коэффициентами qi:

Такой полином имеет n корней (среди них могут быть и кратные),

которые называются собственными значениями матрицы d. При расчете сооружений обычно все его корни бывают положительными.

Расположим корни полинома в порядке убывания:

1 ≥ 2 ≥ ≥

Так как = / 2, то = √ / . Поэтому круговые частоты собственных колебаний расположатся в порядке возрастания:

1 ≤ 2 ≤ ≤

14

(например, первое) и вынесем свободные члены вправо. Тогда получим систему линейных уравнений с n–1 неизвестными ̃2, ̃3, … , ̃ :

Важной характеристикой колебательного процесса является форма колебаний. Форма колебаний определяется перемещениями точек колебательной системы в фиксированный момент времени относительно положения равновесия.

Если внешним воздействием нарушить равновесие колебательной системы, и затем прекратить это воздействие, она начнет совершать колебания относительно первоначального положения равновесия. Такие колебания называются свободными. Свободные колебания зависят от внутренних характеристик системы и от начальных условий (смещений, скоростей,

ускорений) в момент снятия внешнего воздействия.

В реальных условиях свободные колебания затухают. Это связано с уменьшением энергии диссипативной системы за счет внешнего и внутреннего трения. Энергия консервативной системы не убывает, поэтому ее свободные колебания не должны затухать. Такие незатухающие колебания консервативной системы называются собственными колебаниями. Это название связано с тем, что формы и частоты собственных колебаний определяются только собственными характеристиками системы

(распределением масс, жесткостей, геометрией, типом опор и т.д.). Т.к.

консервативных систем в природе не существует, то и собственные колебания возможны только теоретически.

Собственные колебания – это колебания системы, вызванные кратковременным начальным возмущением (начальным смещением,

скоростью, ускорением, импульсом и т.д.) и совещающиеся при отсутствии

15

переменного внешнего воздействия. Собственные колебания описываются уравнением (1.1); характер их колебаний определяется параметрами (массой m и жесткостью k) системы. Свободные колебания происходят только за счет первоначально накопленной энергии [заруб].

Для систем с n степенями свободы уравнения свободных колебаний можно записать в одной из двух форм:

Где F и K – матрицы податливости и жесткости, M – матрица масс, A –

матрица-столбец амплитуд колебаний:

Каждое уравнение (1.59) называют частотным или вековым (иногда секулярным) уравнением системы с конечным числом степеней свободы.

После раскрытия определителя получается алгебраическое уравнение n-й

степени относительно частотного параметра (или 2); n корней этого уравнения позволяют определить n положительных значений частот = √ −1

или = √ 2. В последующем изложении предполагаем, что они различны и нумеруем их по возрастанию: 1 < 2 < 3 < < .

Таким образом, частные решения однородного дифференциального уравнения

̈+ = 0 или + ̈= 0

имеют следующий вид:

16

=1( ×1)

Если начальные условия движения выбраны так, что колебания всех масс происходят с одной частотой, например , то отношения перемещений любых двух масс всегда постоянны и не зависят от времени. Действительно, в (1.60) скалярная функция sin( + ) изменяется в диапазоне [–1, 1], а

перемещения qk прямопропорциональны амплитудному столбцу

= { 1 2 … }.

Если, например, из Ak вынести скаляр A1k, то получим

Введем обозначение = . Тогда

1

где = { 1 2 … }.

Матрица-столбец определяет форму колебаний системы по k-й частоте и называется главной (собственной) формой колебаний. Подставим (1.61) в

первое уравнение (1.58) и учтем, что = = ( 2)−1. После сокращения на

A1k получим

Определитель этой системы равен нулю (см. (1.59)), а ранг матрицы коэффициентов равен (n – 1), так как вначале мы предположили, что корни векового уравнения не равны между собой. В развернутой форме (1.62):

Предположим, что минор матрицы системы, соответствующий элементу

11 1 − , отличен от нуля. Перепишем систему в блочной форме:

17

и решим систему уравнений (n – 1)-го порядка относительно неизвестных ̃ :

Неизвестный вектор ̃ должен удовлетворять первому уравнению в

(1.63):

11 + 12̃ = 0 или 11 − 12 ∙ 22−1 ∙ 21 = 0

Проверка этого равенства является надежным контролем точности решения.

Система (1.63) при разных значениях решается n раз, т. е.

определяются n главных форм колебаний . В конце этих вычислений формируется матрица главных форм колебаний:

В заключение приведем следующую теорему [1].

Теорема. Частоты собственных колебаний и главные формы не зависят от начальных условий.

Это утверждение подтверждается составом уравнений для нахождения спектра частот:

| − 2 | = 0 →

и форм колебаний

[ − 2] = 0 → .

Таким образом, существенные характеристики колебаний спектра частот

и главные формы зависят от структуры системы. На этом основании можно поставить задачу изменения величин частот и форм колебаний,

18

целенаправленно изменяя структуру системы, т. е. изменяя характер связей

между элементами целого, перемещая отдельные массы системы.

ЛЕКЦИЯ 3.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ

СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МНОГОЭТАЖНЫХ ЗДАНИЙ

Проектирование многоэтажных зданий невозможно без учета динамических воздействий. Целью расчета многоэтажных зданий на динамическую нагрузку является обеспечение несущей способности конструкций при совместном действии статических и динамических нагрузок и ограничениями уровня колебаний конструкций пределами, которые исключают возможность вредного их влияния на людей.

При расчете многоэтажных зданий на динамическое воздействие очень важно правильно выбрать расчетную схему, чтобы она могла наиболее точно отразить горизонтальные смещения здания при минимальном числе условий.

Обычно в уровне каждого этажа многоэтажных зданий создается жесткий диск и при плоских боковых деформациях здания перемещение всех масс,

расположенных в уровне одного перекрытия, будут одинаковыми. Поэтому их можно заменить перемещением одной массы, представляющей сумму всех масс этого уровня.

При определении частотных характеристик следует считаться с реальной статической схемой здания, которая непосредственно зависит от его расчетной схемы (каркасная, бескаркасная, смешанная и т.д.).

Для расчета было принято 12-этажное жилое каркасное здание, план которого представлена на рис.2.

Анализ влияния податливости грунтового основания, выполняется на основе двух вариантов конечно-элементных моделей здания в SCAD Office:

-в виде жесткого защемления колонны в основании;

-основание в виде фундаментной плиты с упругим основание.

19

Расчетные схемы представлены на рис. 1 а,б.

а)

б)

Рис.1 Расчетные схемы здания: а) с жестким защемлением колонны в основании; б) с

фундаментной плитой на упругом основании

Нагрузки на здание рассчитаны соответствии с СП 20.13330.2016 и

представлены в приложении А.