8203

равно z 2 2 12 1 3,5 .

Следовательно, наименьшее значение функции z на участке BC равно 3 , а наибольшее 3,5 , то есть zнаим. 3, zнаиб. 3,5 .

30

4,5

31

3)Сравнивая полученные результаты в пунктах а), б), в), г), имеем:

Рис. 18

Площадь поперечного сечения канала называют его живым сечением, а

длину P AB BC CD (см. рис. 19) границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено [4], что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей

32

фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят, что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.

Наиболее часто сооружают каналы, а также оросительные и водосточные канавы с сечением формы равнобочной трапеции ( АВ=CD, см. рис. 19).

A F E D

h

B C

Рис.19

Пример. Найти наивыгоднейший с точки зрения гидравлики профиль

канала трапецеидальной формы.

Решение. Найдем размеры поперечного сечения канала заданной площади

CED – прямоугольный,

33

равенство в (3), находим

значение.

Найдя частные производные функции P h, и приравняв их к нулю,

получим систему уравнений:

34

2) При приближении точки (h, ) к прямым h 0 и 0 , а также при удалении в бесконечность по h функция P h, неограниченно возрастает.

P(h; ) P h0 , 0 .

Отсюда следует, что P h0 , 0 – наименьшее значение функции P h, в

области D1 , и оно же будет наименьшим значением этой функции в области D .

АВС 120 .

35

§ 3. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1. Основные понятия

Одной из основных задач дифференциального исчисления является нахождение производной функции или дифференциала заданной функции.

Основной задачей интегрального исчисления является обратная задача – отыскание функции по ее производной или заданному ее дифференциалу.

Функция F x называется первообразной для функции f x , если функции F x и f x связаны следующим соотношением:

является единственной. Так, в предыдущем примере в качестве первообразных можно взять следующие функции:

F x sin x 1, F x sin x 2

или в общем виде

F x sin x C ,

где C – произвольная постоянная, так как при любом значении C

sin x C sin x C cos 0 cos x .

В связи с этим возникает вопрос, исчерпывает ли функция вида sin x C

все возможные первообразные для cos x или существуют еще функции другого вида, которые также будут первообразными для cos x .

Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если F x есть какая-либо из первообразных для данной функции f x , то самое общее выражение для первообразной имеет вид:

36

F x C ,

где C – есть первообразная постоянная.

Доказательство. Пусть F1 x есть любая функция, имеющая своей

производной F1 x f x .

С другой стороны, рассматриваемая функция F x также имеет f x

своей производной, то есть F x f x .

Вычитая это равенство из предыдущего, имеем:

F1 x F x F1 x F x f x f x 0

и, следовательно,

F1 x F x C ,

где C есть постоянная, что и требовалось доказать.

Действительно, если производная некоторой дифференцируемой функции

x 0 , то сама функция x может быть только постоянной.

Полученный результат можно сформулировать и так: если производная

(или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то сами функции

отличаются лишь постоянным слагаемым.

Если функция F x является первообразной для f x , то семейство всех ее первообразных функций F x C называется неопределенным интегралом

от функции f x и обозначается как f x dx .

Таким образом, по определению

f x dx F x C ,

если

F x f x .

При этом функцию f x называют подынтегральной функцией, f x dx

– подынтегральным выражением, переменную x – переменной

37

2. Таблица основных интегралов

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. В

интегральном исчислении нет универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций. Методы нахождения первообразных сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному.

Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.

Степенные функции:

Показательные функции:

ex dx ex C ;

38

Тригонометрические функции:

sin x dx cos x C ;

cos x dx sin x C ;

tgx dx ln cos x C ;

ctgxdx ln sin x C ;

Дробные рациональные функции: