8116

R = 20кН

q = 20 кН/м

Пример 1.2. Подобрать сечение стальной балки (рис. 1.7) из прокатного двутавра. Расчётные характеристики балки: [ σ ] = 160 МПа, [ τ ] = 100 МПа, Е = 2٠105 МПа.

Длина пролёта балки l = 6 м. Допускаемый прогиб [ f ] = l / 400 = 6000 мм / 400 = 15 мм.

1. Определяем размеры прокатного двутавра из условия прочности балки на изгиб.

Из таблицы 1. Сталь горячекатанная. Балки двутавровые (ГОСТ 8239-72*) находим сле-

=23 МПа << [τ ] = 100 МПа.

3.Определяем жёсткость балки при изгибе.

EJx = 2٠104 кН/см2× 7780 см4 = 15560 ٠104 кНсм2 = 15560 кНм2 .

4. Балка имеет 2 участка (рис. 1.7).

Составляем дифференциальное уравнение для каждого участка и дважды интегрируем. Начало координат помещаем на левом конце балки. Ось у направляем вниз.

5. Определяем постоянные интегрирования.

· Условие плавности изогнутой оси при z = 4 м: θ1 (4) = θ 2 (4). Отсюда находим С1 = С2.

·Условие непрерывности изогнутой оси z = 4 м: v1 (4) = v 2 (4). Отсюда находим D1 = D2.

·Условие закрепления балки при z = 0: v1(0) = vA = 0. Отсюда находим D1 = D2 = 0.

·Условие закрепления балки при z = 6 м: v2(6) = vВ = 0. Отсюда находим С1 = С2 = 320/3.

С учётом полученных значений постоянных интегрирования для углов поворота и прогибов сечений балки окончательно получаем следующие выражения:

Эпюры углов поворота и прогибов балки показаны на рис. 1.7.

Максимальный прогиб в сечении балки 1 участка, где θ1 = 0:- 10 z2 + 320/3 = 0.

Отсюда находим координату сечения z ≈ 3,266 м.

Максимальный прогиб в этом сечении будет равен f ≈ 14,93 мм.

Прогиб в середине пролёта балки при z = 3 м равен vсер. ≈ 14,78 мм.

Максимальный прогиб и прогиб в середине пролёта отличаются всего лишь на 1%, поэтому при проверке балок на жёсткость достаточно определить прогиб в середине пролёта.

Рис. 1.7

4. Вычисляем перемещения в сечениях балок и строим эпюры перемещений.

5. Проверяем условие жёсткости балок:

Прямоугольная балка - v = 8,75 мм < [ f ] = 4000 мм / 200 = 20 мм.

Круглая балка - v = 7,43 мм < [ f] = 4000 мм / 200 = 20 мм.

Таким образом, полученные из условий прочности размеры поперечного сечения балок обеспечивают также выполнение условий жёсткости балок.

На рис.1.9 приведены задачи для самостоятельного решения методом непосредственного интегрирования по участкам. Подобрать сечение стальной балки из прокатного двутавра.

Расчётные характеристики балок: [ σ ] = 160 МПа, [ τ ] = 100 МПа, Е = 2٠105 МПа. Допускаемый прогиб [ f ] = l / 100, где l – длина балки.

Рис. 1.9

1.2.Метод начальных параметров

1.2.1Основные положения метода

Существует метод: метод начальных параметров, который позволяет свести решение к определению всего двух постоянных интегрирования. Для этого необходимо при решении использовать приём, который сводится к следующим правилам:

∙При решении задачи использовать единую (глобальную) систему координат для всех участков балки. Начало координат необходимо помещать на левом или правом конце балки.

∙Жесткость всех участков балки должна быть одинаковой и постоянной – EJx = const.

∙Прогиб и угол поворота в начале координат обозначим vo и θо, которые называются геометрическими или кинематическими начальными параметрами.

∙Изгибающий момент и поперечную силу в начале координат обозначим Mo и Qо, которые называются статическими начальными параметрами.

∙При составлении выражения изгибающего момента для нагрузки от сосредоточенных моментов необходимо использовать следующую форму записи: M = M(z-a)o.

∙Если распределённая нагрузка обрывается в сечении, расположенном левее сечения с абсциссой z (ось z направлена вправо), необходимо нагрузку продолжить до конца балки и одновременно приложить на этой части балки такую же нагрузку, но противоположного направления (рис. 1.10).

Рис. 1.10

∙ При интегрировании двучленов вида (z-a)k следует пользоваться следующей форму-

Как будет показано в следующем параграфе, при соблюдении этих правил,

произвольные постоянные интегрирования на всех участках получаются одинаковыми, и

решение задачи сводится к нахождению лишь двух неизвестных при любом числе участков статически определимой балки.

1.2.2 Универсальное уравнение прогибов и углов поворота.

Рассмотрим балку постоянного сечения, нагруженную моментом M, cосредоточенной силой F и распределёнными нагрузками (рис. 1.11). Ось z направим вправо. Направление на-

грузок создают положительные изгибающие моменты. Рассматриваемая балка имеет четыре

Изогнутая ось балки есть плавная кривая. На границах участков балки значения углов

поворота и прогибов, вычисленных из уравнений соседних участков, будут равны. Эти ра-

венства называются условиями плавности и непрерывности изогнутой оси на границе участ-

ков (рис. 1.11).

Рассмотрим эти условия, используя полученные для балки выражения (1.7) ÷ (1.10).

Из полученного решения следует, что, используя при решении правила, изложенные в пункте 2.1, постоянные интегрирования всех участков балки всегда будут равны и могут

быть заменены фактически двумя постоянными интегрирования независимо от количества участков балки:

С1 = С2 = С3 = С4 = ….. = С. D1 = D2 = D3 = D4 = ….. = D. (1.11)

С учётом введённых обозначений угла поворота и прогиба в начале координат (п. 2.1) из

равенств (2.3) при z = 0 получим следующие выражения постоянных интегрирования С и D:

Из формул (2.6) следует, что выражения моментов, углов поворота и прогибов преды-

дущих участков входят как составная часть выражений для последнего (4-го ) участка балки.

Это позволяет результаты решения для всех участков объединить и записать формулы для углов поворота и прогибов в виде единого выражения для всех участков, используя сле-

дующий приём:

Применяя правило (2.9), из формулы для погибов 4-го участка (2.6) при z < a получим выражение прогиба 1-го участка, при z < b получим выражение прогиба 2-го участка,

при z < c получим выражение прогиба 3-го участка.

Таким образом, для уравнения прогибов балки с учётом (2.7) и (2.8) можно записать обобщённое уравнение прогибов в виде:

Уравнение (1.14) является универсальным уравнением прогибов балки,

поскольку может быть использовано для определения прогибов для балки с любым числом участков.

Определение прогибов балок с помощью универсального уравнения (1.14) требует выполнения следующих правил.

1.Уравнение (1.14) применимо для решения балок только с постоянной жёсткостью:

EJx = const.

2.Начало координат необходимо помещать либо на левом конце балки, либо на правом конце балки.

3.Знак «плюс» перед квадратными скобками следует выбирать, если ось у направить вверх, а знак «минус», если ось у направить вниз.

4.Прогиб балки всегда выражается через четыре начальных параметра: два статических Мо, Qo и два геометрических vo, θo, поэтому метод называется методом начальных параметров.

5.Неизвестный прогиб vo и угол поворота θo в начале координат необходимо определять из условий закрепления балки (рис.1.11). В частности:

6.При использовании универсального уравнения условия плавности и непрерывности на границах участков балки выполняются автоматически.

7.Знак слагаемых, стоящих в квадратных скобках, определяют по правилу знаков для изги-

бающих моментов. В частности:

∙если силы F и нагрузки q направлены вверх, то изгибающие моменты от такой нагрузки будут положительными независимо от выбора положения начала координат;

∙если силы F и нагрузки q направлены вниз, то изгибающие моменты от такой нагрузки будут всегда отрицательными;