7959
.pdf30
Таблица 8
Ротатабельный центральный композиционный план для n = 3
Параметры плана |
N |
z0 |
z1 |
z2 |
z3 |
z4 |
z5 |
z6 |
z7 |
z8 |
z9 |
|
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x2 |
x2 |
x2 |
x1x2 |
x1x3 |
x2x3 |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
|
2 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
|
|
3 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
|
Полный факторный |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
|
эксперимент |
5 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
|
|
6 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
|
|
7 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
|
|
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
|
9 |
+1 |
–1,682 |
0 |
0 |
2,828 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
10 |
+1 |
+1,682 |
0 |
0 |
2,828 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Звездные точки |
11 |
+1 |
0 |
–1,682 |
0 |
0 |
2,828 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
12 |
+1 |
0 |
+1,682 |
0 |
0 |
2,828 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
||||||||||||
|
13 |
+1 |
0 |
0 |
–1,682 |
0 |
0 |
2,828 |
0 |
0 |
0 |
|
|
14 |
+1 |
0 |
0 |
+1,682 |
0 |
0 |
2,828 |
0 |
0 |
0 |
|
|
15 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
16 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Центральная точка |
17 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
18 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
||||||||||||
|
19 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
20 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Проведение эксперимента.
Эксперимент проводится точно так же, как и при ПФЭ и ОЦКП.
Вычисление коэффициентов уравнения регрессии.
В отличие от ортогональных планов коэффициенты уравнения регрессии для ротатабельных планов вычисляются методом наименьших квадратов по бо-
лее сложным формулам:
|
|
|
|
|
A |
2 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
n N |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
b0 |
|
2λ4 (n 2) xg yg |
|
|
2λ |
4C xig yg ; |
|
|
(44) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
g 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
i 1 g 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
x |
|
y |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
N g 1 |
iy |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
y |
|
; |
|
|
|
|
(46) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ij |
Nλ4 g 1 |
ig |
|
jg |
|
g |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A |
2 |
(n 2)λ4 |
n |
N |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n N |
2 |
|
N |
|
|
|||
bii |
|
C |
|
xig yg |
C |
|
(1 |
λ4 ) xig yg 2λ |
4C yg , |
(47) |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
N |
|
|
|
|
|
g 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 g 1 |
|
|
g 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2λ4 (n 2)λ n |
|
|
|||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
x2 x2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
g 1 |
ig |
jg |
|
|
N |
|
||||
|
|
|
|
; C |
|
|
. |
|||||
|
|
N |
|
|
N |
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x2 |
|
|
x2 |
||||||
|
|
|
g 1 |
ig |
|
|
g 1 |
ig |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Статистический анализ результатов.
Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии и адекватно-
сти полученного описания производится по методике, изложенной в п. 2.2, при этом оценки дисперсии коэффициентов модели определяются по формулам
|
|
s |
2 |
(b0 ) |
|
|
2Aλ42 (n 2) |
s |
2 |
( y); |
|
||||
|
|
|
|
|
Nm |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
s2 (b ) |
C |
|
s2 ( y); |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
Nm |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
s |
2 |
(b ) |
|
A (n 1)λ4 |
(n 1) C2s2 ( y) |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ii |
|
|
|
|
|
|
|
|
Nm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 (bij ) C2s2 ( y) .
λ4 Nm
(48)
(49)
(50)
(51)
Число степеней свободы при использовании t-критерия равно v = N(m–1).
2.5 Специальные экспериментальные планы
Критерии оптимальности ОЦКП и РЦКП не предъявляют специальных требований к значению дисперсии оценок коэффициентов и предсказанных значений уравнения регрессии; экспериментатор может использовать ряд спе-
циальных планов, учитывающих различные требования, предъявляемые к точ-
ности математического описания. Приведем некоторые из них.
План называется A-оптимальным, если он минимизирует среднюю дис-
персию оценок коэффициентов (минимизирует сумму диагональных элементов ковариационной матрицы).
32
План называется E-оптимальным, если он минимизирует максимальное собственное число соответствующей ему ковариационной матрицы оценок ко-
эффициентов, т. е. минимизирует максимальную ось эллипсоида рассеяния оценок.
План называется D-оптимальным, если он максимизирует определитель информационной матрицы, что соответствует минимизации обобщенной дис-
персии оценок неизвестных оценок коэффициентов уравнения регрессии.
План называется G-оптимальным, если он минимизирует значение мак-
симальной дисперсии предсказанных значений уравнения регрессии.
В соответствии с перечисленными критериями могут быть использованы как точные, так и непрерывные планы. Точные планы – это планы оптимальные при заданном числе экспериментов. Непрерывные планы полностью определя-
ются спектром плана и частотами проведения наблюдений в точках спектра.
Используя непрерывные планы, экспериментатор может осуществить последо-
вательное планирование эксперимента, при котором каждый последующий опыт ставится в наиболее информативной точке факторного пространства, а
число опытов определяется из условия достижения заданной точности матема-
тического описания. Каталоги специальных планов для построения математи-
ческих моделей различной структуры при разном количестве варьируемых фак-
торов приведены в [4].
Найденные уравнения регрессии могут быть использованы:
1)для предсказания выхода во всей области варьирования переменных;
2)для количественной оценки влияния каждой переменной и их взаимо-
действий на выход;
3) для аналитического отыскания по модели экстремального значения выхода и соответствующих ему значений переменных.
Кроме наиболее распространенных методов планирования эксперимента,
рассмотренных в данном разделе, существует большое число специальных мето-
дов, позволяющих исследователю решать задачи поиска экстремума и построе-
ния математической модели в особых условиях, которые характеризуются [3]:
33
1)временным дрейфом характеристик объекта;
2)качественным или целочисленным характером варьируемых независи-
мых переменных; 3) большим числом независимых переменных, что требует предваритель-
ного ранжирования их и выделения наиболее значимых;
4) нелинейным видом математической модели относительно оценивае-
мых коэффициентов.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.Чем натурные исследования отличаются от модельных?
2.Перечислите основные этапы проведения электротепловой аналогии для решения задач теплопроводности.
3.Чем гидродинамическая аналогия отличается от электротепловой?
4.Дайте определение понятию план эксперимента.
5.Чем полный факторный эксперимент отличается от дробного фактор-
ного эксперимента?
6.Что такое экстремальный эксперимент?
7.Назовите основные особенности эксперимента второго порядка
34
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Минашин, В.Е. Теплофизика ядерных реакторов с жидкометалличе-
ским охлаждением и методы электромоделирования / В.Е. Минашин, А.А. Шо-
лохов, Ю.И. Грибанов. – М.: Атомиздат, 1971. – 311 с.
2. Адлер, Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Программное введение в планирование эксперимента / Ю.П. Адлер,
Е.В. Маркова, Ю.В. Грановский. – М.: Наука, 1976. – 280 с.
3. Круг, Г.К. Проблемы планирования эксперимента / Г.К. Круг. – М.:
Наука, 1969. – 395 с.
4. Бродский, В.З. Таблицы планов эксперимента (для факторных и поли-
номиальных моделей) / В.З. Бродский, Л.И. Бродский, Т.И. Голикова, Е.П. Ни-
китина. – М.: Металлургия, 1982. – 753 с.
35
СОДЕРЖАНИЕ
1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ…………………………………………… |
3 |
|
1.1 |
Классификация методов экспериментальных исследований ……. |
3 |
1.2 |
Электротепловая аналогия для задач теплопроводности……….. |
4 |
1.3 |
Электрогидродинамическая аналогия……………………………… |
6 |
1.4 |
Диффузионно-тепловая аналогия…………………………………… |
7 |
2. ЭЛЕМЕНТЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА………………….. |
9 |
|
2.1 |
Характеристики объектов исследования и решаемых задач ……… |
9 |
2.2 |
Полный и дробный факторные эксперименты……………………. |
11 |
2.3 |
Планирование экстремальных экспериментов…………………….. |
19 |
2.4 |
Планирование эксперимента второго порядка…………………… |
26 |
2.5 |
Специальные экспериментальные планы………………………….. |
31 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ |
|
|
РАБОТЫ………………………………………………..……………….……… |
33 |
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………… |
34 |
|
Дыскин Лев Матвеевич
Морозов Максим Сергеевич
Болдин Владимир Петрович
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ИНЖЕНЕРНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным занятиям
(включая рекомендации по организации самостоятельной работы) по дисциплине «Теория и практика инженерного исследования» для обучающихся по направлению подготовки
13.04.01 Теплотехника и теплоэнергетика направленность (профиль) Тепломассообменные процессы и установки
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru