Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7923

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

1.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Стенка разделяет две жидкости с различной температурой: Тж1 иТж2; Тж1>Тж2. Известны коэффициенты теплоотдачи от нагретой жидкости к стенке α1 и от стенки к холодной жидкости α2. Величины λ, α1, α2, Тж1, Тж2 являются постоянными во времени и не изменяются вдоль поверхности стенки.

Плотность теплового потока, проходящего через однослойную стенку:

(3.15)

где: К – коэффициент теплопередачи, Вт/(м2 ·К):

(3.16)

Величину обратную коэффициенту теплопередачи называют тепловым (термическим) сопротивлением теплопередачи Rт:

(3.17)

3.4 Теплопередача через многослойную плоскую стенку

Для случая теплопередачи через многослойную плоскую стенку:

(3.18)

(3.19)

где: δí – толщина отдельных слоев стенки; λí - коэффициент теплопроводности каждого из n слоев.

Значения температуры на внешних поверхностях стенки Тс1 иТс2 :

(3.20)

(3.21)

3.5 Стационарная теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку

Стационарная теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку при граничные условиях 1 рода (внутренние источники тепла отсутствуют).

Зададим геометрические условия

T
l
r1	TС2
r1	r
	r2

Рис. 3.4. Геометрические условия стационарной теплопроводности через однослойную

Дано: при	X X ; T TŽ	цилиндрическую стенку
	]X X ; T TŽ _		3 = ? линейная плотность потока
Следует определить: T = T (r); Q= ?; ql =
теплоты, Вт/м; q1= ?, Вт/м2; q2= ?, Вт/м2 –			•неизвестны.
Температура меняется только по одной координате (по радиусу). По другим
она постоянна T =const.
Линейная плотность		потока теплоты ql – это количество теплоты,

которое переносится за единицу времени через цилиндрическую стенку любых диаметров, но длиною 1м.

q1 – плотность теплового потока на внутренней поверхности, Вт/м2. q2 – плотность теплового потока на наружной поверхности, Вт/м2.

Q = const, q1 = q2 ≠ ql
Для решения используем дифференциальное уравнение (2.41):
`p
`	τ	= a Ñ2 T

Так как коэффициент температуропроводности a = Ryxz ≠ 0, тогда

	53
a Ñ2 T = 0	(3.22)

Перейдем от декартовой системы координат к цилиндрической системе координат.

Ось 0z совпадает с осью цилиндра.

y r

y	0	x
	0
	r
	x

Рис. 3.5. Однослойная цилиндрическая стенка.

От декартовой системы координат x,y → r, φ к полярным координатам. x = r · cos φ

y = r · sin φ			` 5	`5	M	` 5	` 5
		Ñ2 T =	` 5	`5		` 5	` 5	= 0	(3.23)
			`•	M • `•		• `‘ M	`6
Так как в нашей задаче температура зависит только от r, то
φ=	`p	= 0,
`p	`p
`	`c

то есть на любом радиусе будем иметь изотермические поверхности. Тогда
`φ5	= `	5 = 0

`	`c			``•5	M • `5`• = 0
От уравнения (3.23) остается:				``•5	M • `5`• = 0
Заменим частные производные полными, так как они равны:
		† 5	+ †5	= 0	(3.24)
		†’	• †•

Решим его, введя новую переменную:

54
†5†• = U	† 5		(3.25)
Тогда первое слагаемое (3.24) примет вид:	† 5	=	*“
и подставим его в уравнение (3.24):	†’		*•
†“†• + “• = 0.	““ = - •• .
Перенесём по переменным интегрирования:	““ = - •• .

По табличным интегралам первообразной будет логарифмическая функция:

ln r + ln U = ln C1 .
Согласно свойствам логарифмов имеем: U · r = C1 .
По (3.25):			U = †5†• = Ž• ,		(3.26)
тогда	dT = C1 · *••
Проинтегрируем левую и правую части:
			T = C1 · ln r + C2		(3.27)
(3.27) есть решение дифференциального уравнения (3.24).
Подставим граничные условия из дано в (3.27):
1СС	”	·	ln X	M ”	(3.28)
] 1	”		· ln X	M ” _

Имеем систему из 2-х уравнений с 2-я неизвестными C1 и C2.
Вычитая из 1-го уравнения (3.28) 2-е, получим:
TC1 – TC2 = C1 · ln						• , отсюда
C1 =		5‰Š 5‰				•

		• ––
Из первого уравнения (3.28) C2 будет равно:
C2 = TC1 –			5‰Š 5‰			· ln r1
					• ––
Подставим эти константы в формулу (3.27):
T =	5‰Š 5‰			· ln r + TC1 –			5‰Š 5‰		· ln r1 , отсюда
		• ––					• ––			ln	•
								• ––
						T = TC1 –		5‰Š 5‰			•

(3.29)

(3.30)

(3.30) – выражение для поля температуры цилиндрической стенки.

Для того, чтобы найти поток тепла Q используем закон Фурье:

Q = q· F = λ |grad1| · F Q = – λ *5*• 2πr·l

Используя соотношения (3.26) и (3.29), поток теплоты будет равен:
Q = – λ Ž 2πr·l = λ	-5‰Š 5‰. · π·•
•		• ––
	Q =	π-5‰	Š 5‰. · •	,
			• i
где d = 2r		— i
где d = 2r

Соответственно линейная плотность потока теплоты будет равна:
	ql =	3	π-5‰Š 5‰.
		•		• i
			—	i
или	ql	5‰Š 5‰
		— • ii
		π

(3.31)

(3.32)

(3.33)

При расчетах цилиндрических стенок, как правило пользуются линейной плотностью теплового потока, а не плотностью теплового потока (через м2), так как объёмная плотность при расчётах цилиндрических стенок непостоянна.

Плотность теплового потока на внутренней поверхности рассчитывается по

соотношению:		π3		= 5‰Š 5‰ ,
	q1 =	π3		= 5‰Š 5‰ ,		(3.34)
			* •		i—• ii
подставив выражение Q из (3.31).
Плотность теплового потока на наружной поверхности определяется
аналогично:			π3		= 5‰Š 5‰
	q2 =		π3		= 5‰Š 5‰	(3.35)
Rl = x ˜&			* •		i—• ii
Rl = x ˜&	** – линейное				термическое сопротивление	теплопроводности

цилиндрической стенки.

Анализируя формулы (3.32) – (3.35) можно записать соотношение, то есть связь между ql, q1 и q2.

ql = πd1·q1 = πd2·q2

(3.36)

Выше были рассмотрены случаи, когда коэффициент теплопроводности ˆ

постоянная величина. Если коэффициент теплопроводности будет зависеть от температуры:

ˆ ˆ>-1 M š1.
		(3.38)

то надо определить среднеинтегральное значение

ˆ› (5‰ ˆ>-1 M š1.$1

= 5‰ Š 5‰ 5‰

и подставить в формулу для линейного потока
ql =	π-5‰ Š 5‰ .
	œ• i
	—	i

Для определения поля температуры в этом случае используем закон Фурье:
						– λ 5• · 2ž · X			(3.39)
				ql	=	– λ 5• · 2ž · X			(3.39)
ql	= const
Если в соотношении (3.39) разделить переменные:
	h•		-1 M š1.$1
ql	· *•	= – λ0
Проинтегрируем
mhŸ (•• *•• = – λ0 (55‰ -1 M š1.$1
h	•		-1Ž € 1Ž .
mŸ	ln •	= – λ0			Šx! (T2 – T C12)
T2 + x! · T – TC12 – x! TC1 + mhŸ · ln •• = 0
Решая это квадратное уравнение, получим поле температур:
				T = – x!+ L-x!. M 1Ž M x!			TŽ mhŸ	ln ••	(3.40)

3.6 Стационарная теплопроводность через многослойную цилиндрическую стенку (граничные условия 1 рода)

Зададим краевые условия:

	57
T
l	TC1
		TCn+1
	d1	x
	d2
	dn+1
	Рис. 3.6. Граничные условия.

Дано: n – число слоёв; i = 1, 2, …, n

1.при d = d1; T = TC1

2.d = dn+1; T = TCn+1

Определить: ql = ?; TCi+1 = ?

Если формально для каждого слоя стенки, т.к. ql = const выписать выражение для

1-го слоя (3.32):
		= h-5‰ 5‰.
	ql	= h-5‰ 5‰.
			¡¢i
		—	i

для 2-го слоя:
ql = h-5‰ 5‰V.
		¡¢iV
—		i

для любого		i	-го слоя записываем по аналогии:
				= h-5‰ 5‰£ .

			ql
						¡¢i £
				—			i


	Для последнего слоя:				5‰ 5‰£ .
				= h-
			ql	= h-
							¡¢i £
				—			i

(3.41)

(3.42)

				58
Если переписать эти равенства так, чтобы справа остались температурные
разности:	x ln **£ · mhŸ	1Ž M 1Ž
	x ln **£ · mhŸ	1Ž M 1Ž			,	(3.43)
а затем, сложить левые и правые части, то все температуры, кроме первой 1Ž и
последней	1Ž сократятся, то мы получим окончательно линейное уравнение для
плотности теплового потока:
	ql = h-5‰ 5‰£ .					(3.44)
	∑¤¤		¡¢i £
	—		i

Конечная температура по слоям:
TC2 = TC1	– mŸ ·		*
	h	x ln *
TC3 = TC1	– mhŸ [ x ln + x ln V]
			1Ž = TC1–

mhŸ ∑ x ln ** £

(3.45)

3.7 Стационарная теплопроводность через однослойную цилиндрическую

	стенку (граничные условия 3 рода)
T
	TЖ1
l	о1
l	TC1
	TC1	TC2
		TC2
		TЖ2
	d	о2	r
	1	d2	r
		d2
	Рис. 3.7. Граничные условия 3-го рода

Дано. Граничные условия:

1.при d = d1; ql = α1 (TЖ1 – T C1)

2.d = d2; ql = α1 (TC2 – T Ж2) Определить: ql = ?; TC1 = ?; TC2 = ?

Используя связь между линейной плотностью потока тепла и объёмными

плотностями потока тепла перепишем граничные условия таким образом:

1α1 (TЖ1 – T

(3.46)

= π

2α2 (T

2 – T Ж2)

(3.47)

= π

Добавим к этим соотношения, соотношения которые мы ранее выводили:

= h-5‰ 5‰.

(3.48)

¡¢i

—

mŸ

¥ *

x · h

€ TŽ

· ln *

· h

T € T

(3.49)

mŸ

¥ *

· h

TŽ € T

mŸ

Сложим

уравнения в системе

(3.49):

i —

¡¢ii ¦

h-5Ж 5Ж .

(3.50)

α1= ¥ *

– линейное термическое сопротивление теплоотдаче на левой

поверхности стенки

α2 = ¥ *

– линейное термическое сопротивление теплоотдаче на правой

поверхности стенки

α1 +

cт +

α2 –

линейное термическое сопротивление теплопередаче.

= Ÿ

– линейный коэффициент теплопередачи.

(TЖ1 – T Ж1)

(3.50)

= π

Температуру T

1 можно определить из первого уравнения системы (3.49):

mhŸ

1 = TЖ1

–

(3.51)

¥ *

TŽ €

¥ * M x · ln

2 = TЖ2

–

mŸ

(3.52)

Внутри стенки распределение логарифмическое.

3.8 Стационарная теплопередача через многослойную цилиндрическую

стенку (граничные условия 3 рода)

T
	TЖ1
l	о1
l	TC1
	TC1
	d1	r
	d1	TЖ2,о2
		d2
		dn+1
	Рис. 3.8. Граничные условия 3 рода.

Дано: n; i = 1, 2, …, n

1.при d = d1; ql = α1 (TЖ1 – TC1)

2.d = d2; ql = α1 (TC2 – TЖ2)

Определить: ql = ?; TC1 = ?; TCn+1 = ?; TCi+1 = ? ql = const

ql = πd1·α1 · (TЖ1 – TC1)

ql = πd2·α2 · (TC2 – TЖ2)

Если к граничным условиям формально добавить следующую систему

равенств:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.20231.27 Mб07919.pdf
#
21.11.2023152.63 Кб0792.pdf
#
23.11.20231.27 Mб07920.pdf
#
23.11.20231.27 Mб07921.pdf
#
23.11.20231.27 Mб07922.pdf
#
23.11.20231.27 Mб07923.pdf
#
23.11.20231.27 Mб07924.pdf
#
23.11.20231.28 Mб07925.pdf
#
23.11.20231.28 Mб07926.pdf
#
23.11.20231.28 Mб07927.pdf
#
23.11.20231.28 Mб17928.pdf