7701

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

N 1, то есть

, начиная с которого все последующие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

3		0		3
2	2
			2	2

Рис. 46

г) y ctg x , D R \ n,n Z , E R.

		0			3
	2		2		2

Рис. 47

IV. Обратные тригонометрические функции

		;
а) y arcsin x , D 1;1 , E		;	.
	2		2

-1

2 Рис. 48

б) y arccos x , D 1;1 , E 0; .

-1 0	1		x	Рис. 49
		;
в) y arctg x , D R , E		;
	2		2

Рис. 50

г) y arcctg x , D R , E 0;

0	x
Рис. 51
Предел числовой последовательности
Функция y f n , заданная на множестве	всех натуральных

чисел n называется числовой последовательностью и обозначается xn ,

где элемент xn								f n соответствует номеру n . Будем задавать числовую
последовательность x															формулой своего общего члена x													n	.
													n															n
															1
			Пример.																				–		числовая		последовательность
			Пример.																				–		числовая		последовательность
											n					1
1		1			1			1																	1
	,			,		, ,			,						,	так			как xn							– формула общего				члена
	,			,		, ,		n	,						,	так			как xn						n 1	– формула общего				члена
2 3 4							1	n																	n 1
последовательности.
			При n 1: x												1			1			.
			При n 1: x																		.
									1			1 1					2
												1 1					2
			При n 2 :						x						1					1			.
			При n 2 :						x	2					2 1								.
										2							3
																	3
			При				n 3:		x						1				1			и т.д.
			При				n 3:		x					3 1								и т.д.
									3								4
																	4
			Пределом числовой последовательности xn называется конечное
действительное число															a , если для любого сколь угодно малого числа
0 существует									такое							натуральное								число		N ,	что для всех			членов
																	12

последовательности с номерами n N выполняется неравенство xn a . В краткой записи это выглядит так:

0 N n N xn a

и обозначается: lim xn a .

Определим – окрестность точки a как множество всех x ,

удовлетворяющих условию: x a , что эквивалентно двойному неравенству: a x a .

Тогда понятие предела геометрически означает, что какую бы малую– окрестность точки a не взяли, найдется такой номер N , начиная с которого все последующие члены последовательности будут находиться в этой окрестности (См. рис. 52).

x1	xN 1	xN 2 xn	x2
a	a		a
		Рис. 52

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся или стремящейся к этому пределу, а неимеющая конечного предела – расходящейся. «Стремление» последовательности xn к своему

пределу a будем обозначать как xn a .

Пример. Доказать по определению, что lim

0 .

n n

Решение.

Возьмем любое

сколь угодно

малое

0 .

Имеем:

, когда

или

. Значит существует такой номер

N ,

равный целой

части числа

то есть такое

целое

число

N ,

что

члены с номерами

N ,

N 1, N 2, N 3, ... будут находиться в –

окрестности точки

x 0,

то есть в интервале ; . (См. рис.53). При

0,2

при 0,01

100 .

0,2

0,01

N 2

N 3

N 1

Рис. 53

Замечание.

lim xn означает, что 0

N ,

n N xn

;

lim xn

означает, что 0

N ,

n N xn

При

вычислении

пределов числовой последовательности полезно

использовать следующие их свойства, если существуют конечные пределы

lim xn a	и lim yn b, то
n	n

lim c c , c const ;

lim

c xn c lim xn

c a ,

c const ;

lim

yn lim xn

lim yn

a b;

lim

yn lim xn lim yn a b ;

lim xn

, если b 0;

lim

lim y

lim

0, если lim x a .

n x

Пусть требуется найти предел	lim	xn		отношения		двух
Пусть требуется найти предел	lim	y		отношения		двух
	n	y	n
			n
последовательностей, сходящихся к бесконечности,				то есть	lim xn	и
					n

lim yn .

Непосредственно применить свойство о пределе частного двух последовательностей нельзя. Предварительно необходимо преобразовать

выражение	xn	к виду, допускающему применение указанных свойств. В
выражение	yn	к виду, допускающему применение указанных свойств. В
	yn
связи с этим		выражение	называется неопределенностью, а его
связи с этим		выражение	называется неопределенностью, а его

преобразование к виду, позволяющему найти предел – раскрытие неопределенности.

Заметим, что выражение , когда последовательности в числителе

и знаменателе стремятся к нулю, также называются неопределенностью.

Решение. Разделим числитель и знаменатель на n3 – наибольшую из степеней n в числителе и знаменателе:

		n2					2n			3						1			2			3
lim		n3					n3			n3		lim			n				n2			n3
		n3					n3			n3					n				n2			n3
				n		3	1											1 1
n				n			1							n				1 1



																				n3
				n3				n3												n3
	lim		1		2 lim						1		3lim				1
	lim				2 lim								3lim								0 2 0 3 0			0
	n n							n n2						n n3							0 2 0 3 0			0	0 .
												1											1 0	1	0 .
							1 lim					1											1 0	1
							1 lim
									n n3

Предел функции.

Пределом функции y f x в точке x x0 называется такое число

A, что для	любой последовательности		xn значений		аргумента x ,
сходящейся	к	числу x0 , последовательность		yn ,	yn f xn
соответствующих значений функции y			стремится	к этому числу A и
обозначается:	lim	f x A .
	x x0

При нахождении пределов функций нужно использовать следующие

свойства предела функции: если существуют конечные пределы lim f x

x a

и lim g x , то

x a

lim c f x c lim

f x , c const ;

x a

lim

f x g x lim

f x lim g x ;

x a

lim

f x g x lim

f x lim g x ;

x a

lim

0 (или ), если lim f x (или 0);

f x

x a

f x

x a

f x

lim

x a

, если lim g x 0 .

g x

lim g x

x a

Пример. Вычислить lim

n 3x2

Решение: Разделим числитель и знаменатель на x2 , получим:

x2 1

lim

3x x

	lim 1 lim		1
	lim 1 lim		x2		1 0		1
	x	x	x2		1 0		1	.
					3 0			.
	lim 3 lim		1		3 0	3
	lim 3 lim
	x	x x
При нахождении				пределов функций также полезно знать первый

замечательный предел: lim sin x 1 и следствия из него:

x 0 x

lim

tg x

lim

arcsin x

lim

arctg x

x 0

и второй замечательный предел: lim 1

lim 1 x

e .

Пример. Вычислить предел

lim

sin 2x

x 0

arctg 3x

Решение.

lim

sin 2x

lim

sin 2x

arctg 3x

x 0

arctg3x

lim

sin 2x

lim

3 x 0

x 0

arctg3x

t 2x

sin t

lim

1 1

y 3x

3 t 0

y 0

arctgy

Пример. Вычислить предел lim 1 3x

x 0

Решение.

3 x

lim 3 x

lim 1 3x

1 lim

3 x

ex 0

x e 6

x 0

Общий метод (правило Лопиталя) вычисления пределов в случаях

неопределенности

рассматривается

в дифференциальном

исчислении.

Пусть y f x функция от x ,

имеющая пределом число

A, когда

x стремится к числу

a . Предположим, что все значения величины x

меньше, чем число a ,

то есть x a . Символически это выражается очень

удобной

записью:

x a 0

(вместо

x a, x a).

Тогда

предел

lim f x A1

называют пределом функции

f x

в точке x a слева

x a 0

или левосторонним пределом.

Аналогично, при x a, x a , то	есть	x a 0 предел
lim f x A2 называют пределом функции	f x	в точке x a справа
x a 0

или правосторонним пределом.

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке называются односторонними пределами.

Дадим определение непрерывности функции в точке.

Функция y f x называется непрерывной в точке x x0 , если:

1)функция f x определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности, содержащей эту точку x0 ;

2)функция f x имеет одинаковые односторонние пределы в этой

точке x0 , то есть lim	f x lim	f x ;
x x0 0	x x0 0
3) эти односторонние пределы должны быть равны значению
функции f x в этой точке x0 : lim		f x f x0 .
	x x0
Функция y f x называется разрывной в точке			x x0 , если она
определена в сколь угодно малой окрестности точки x0 ,			но в самой точке

x0 не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Точки разрыва функции можно разделить на два типа.

Точка разрыва x0 функции y f x называется точкой разрыва 1-

го рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в этой точке, которые не равны между собой или равны между собой, но не равны значению функции в этой точке. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x0 не существует или равен бесконечности, то x0 – точка разрыва функции 2-го рода.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и построить ее

		1	, при x 0
			, при x 0
		x
		x

график y x2 , при 0 x 1.
	2 x, при x 1

Решение. Областью определения данной функции y является вся числовая ось, то есть D R . Точками «подозрительными» на точки разрыва являются точки x1 0 и x2 1, так как при переходе через эти точки функция y меняет свое аналитическое выражение с дробно –

рациональной на квадратичную и с квадратичной на линейную, соответственно.

Исследуем непрерывность функции y в точке x1 0 :

lim	y lim			1		1
				x		0
x 0 0	x 0
lim	y lim x2				0 2 0
x 0 0	x 0

y 0 x2					02		0
		x 0
Поскольку			условие				непрерывности функции	y в точке x1 0
нарушается, то			x1	0 –			точка разрыва функции y ,	т.к. левосторонний

предел функции y в точке x1 0 равен бесконечности, то x1 0 – точка

разрыва 2-го рода.

Исследуем непрерывность функции y в точке x2 1:

lim y lim x2		1 0 2	1
x 1 0	x 1 0
lim y lim x2		2 x 2	2 1 0 1
x 1 0	x 1 0

y 1 2 x x 1 2 1 1

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.20231.21 Mб07698.pdf
#
23.11.20231.21 Mб07699.pdf
#
21.11.202388.03 Кб077.pdf
#
21.11.2023150.83 Кб0770.pdf
#
23.11.20231.21 Mб07700.pdf
#
23.11.20231.21 Mб07701.pdf
#
23.11.20231.21 Mб07702.pdf
#
23.11.20231.21 Mб07703.pdf
#
23.11.20231.21 Mб07704.pdf
#
23.11.20231.21 Mб07705.pdf
#
23.11.20231.21 Mб07706.pdf