7588

Учитывая структуру организации ВГМ, можно обобщить данный подход к смещению пространства ВГМ до многомерного случая. Сдвиг в многомерном пространстве выглядит как композиция последовательных смещений вдоль осей координат, при которых изменению подлежит одновременное изменение положения массива значений и изменение значений самой ВГМ. Характеристики ВГМ в данном случае будут определяться как:

характеристики нормали будут рассматриваться на геометрической модели поворота вокруг заданной оси (рис. 5). Исходные данные при воксельном подходе к повороту соответствуют исходным данным при воксельном сдвиге с условием, что нормаль N 3 , вращаясь вокруг оси OZ, переходит в нормаль N 3 ' . Необходимо установить зависимость значений компонентов нормалей между собой с учётом угла поворота о.

1

Рис. 5. Геометрическая модель поворота прямой в двумерном пространстве

11

Для нахождения ЛГХ после поворота, необходимо воспользоваться следующими преобразованиями по аналогии матричного в декартовом пространстве:

где An ,Bn ,Cn выражается из ВГМ.

Поворот ВГМ в пространстве соответствует композиции поворотов вокруг осей координат. Преобразование характеристик ВГМ заключаются в нахождении новых величин компонентов нормали (параметров формы), в плоскости которых происходит вращение при сохранении параметра положения.

При повороте нормали N 3 вокруг оси OZ на угол о значения будут менять только две компоненты, соответственно An A'n , Bn B'n , при Cn const .

На рисунке 6 представлена исходная ВГМ для функции поверхности с нулевым значением в виде контура квадрата (далее по тексту «функция квадрата»). Результат поворота пространства ВГМ вокруг оси OZ тремя подходами соответствует базовым графическим образам рисунка 7.

Cx Cy Cz Ct

Рис. 7. Поворот пространства ВГМ вокруг оси OZ

12

Поворот вокруг третьей оси в n -мерном пространстве на угол о представим как:

При масштабировании пространства ВГМ локальные геометрические характеристики нормали будут находиться с помощью специальной геометрической модели масштабирования вдоль заданной оси (рис. 8).

1

Рис. 8. Геометрическая модель масштабирования вдоль оси OX в пространстве E 2

Исходные условия для воксельного масштабирования соответствуют исходным условиям для воксельного сдвига и поворота с тем различием, что требуется установить зависимость значений компонентов нормали до и после масштабирования с учетом масштабных коэффициентов M x и M y вдоль осей ОХ и OY соответственно.

Для нахождения ЛГХ после масштабирования, можно воспользоваться следующим преобразованием по аналогии с матричным в декартовом пространстве:

13

В отличие от рассмотренных преобразований в преобразовании

масштабирования меняются и наклон, и удаленность окрестности точки от начала координат. Таким образом, конечное значение компонентов нормали N 3 ' зависит от изменения всех трёх величин C, A и B.

На рисунке 9 представлена исходная ВГМ функции окружности, смещенной относительно начала координат на определённую величину. На рисунке 10 представлен результат масштабирования пространства ВГМ, содержащего данную функцию, вдоль оси OY.

Рис. 9. Исходная форма функции смещенной относительно центра окружности

Рис. 10. Результат масштабирования пространства ВГМ вдоль оси OY , содержащего функцию смещенной окружности

14

Ниже представлено обобщение преобразования пространства на

многомерный случай для масштабирования:

n1 nn и nnn выражаются из ВГМ.

Вчетвёртой главе проиллюстрирован принцип R-функционального моделирования пространства геометрических объектов сложной формы. Реализованы теоретико-множественные операции над пространствами ВГМ на основе R-функционального моделирования. Отражена тройственность вычислительного подхода к множественным операциям над пространствами ВГМ. В качестве примера моделирования пространства ВГМ выполнена комплексная компоновка функций на основе предложенных геометрических преобразований, а так же произведено сравнение времени выполнения операций компоновки пространства ВГМ, содержащего функции различной сложности. Приведено экспериментальное применение результатов диссертационной работы.

Основные теоретико-множественные операции, такие как объединение и пересечение, реализуются с помощью R-функционального моделирования. Особенностью предикатного принципа построения R-функциональной конструкции является применение пространства увеличенной размерности. Данная особенность удачно коррелируется с функционально-воксельным представлением модели.

Втеории Рвачёва полная α-система R-функций, применяемая в аналитическом моделировании представлена системой уравнений:

где 1;1 - функция, влияющая на форму поверхности функции, применяемая при решении краевых задач.

ВГМ позволяет применять операции R-функций для конструирования сложной ВГМ как результата синтеза из нескольких ВГМ.

15

Функциональный подход теоретико-множественных операций для метода ФВМ характерен использованием значения аналитического выражения функции как одного из предикатов в выражении (1), для создания ВГМ как результата синтеза нескольких функции, описанных в едином пространстве.

Функционально-воксельный подход использует ранее созданные ВГМ для последующего моделирования. Выражение линейной аппроксимации xi F( n1 ,n2 ,...,ni 1 ,x1 ,x2 ,...,xi 1 ) формирует поле значений для каждой из функцийпредикатов, достаточное для R-функциональной процедуры и последующего

Коэффициенты n1 ,n2 ,n3 ,n4 вычисляются для каждой точки предиката исходя из числового значения пикселя ВГМ. Результатом является ВГМ: Cx1 ,Cx 2 ,Cx3 ,Cx 4 как результат объединения двух ВГМ: ВГМ1: Cx11 ,Cx12 ,Cx13 ,Cx14 , ВГМ1: Cx21 ,Cx22 ,Cx23 ,Cx24 .

Реализация воксельного подхода к моделированию множественных операций на тех же принципах, что и арифметические операции с применением ВГМ или геометрические преобразования пространства ВГМ не представляется возможной, поскольку аргументами операции выступают непосредственно значения самих функций. Однако к воксельному подходу решения можно прийти через имеющиеся в арсенале метода воксельные арифметические операции. Для этого уравнения (2) необходимо разложить на составляющие: определить

современном этапе не разработано воксельных операций решения подкорневых выражений. Вместе с тем, в теории Рвачёва значение 1 в выражении (1) приводит систему к упрощённому виду:

x3 12 x31 x32 x31 x32 .

Тогда воксельный подход с применением имеющихся в арсенале метода математических конструкций при теоретико-множественных операциях сводится к определению новых коэффициентов уравнения касательной в точке через последовательность отдельно выполненных арифметических операций.

В качестве примера R-функционального моделирования пространств ВГМ на рисунке 12 проиллюстрирован результат сложения и пересечения функций окружностей, представленных на рисунке 11.

16

Рис. 11. Задание ВГМ двух окружностей, подлежащих теоретико-множественным преобразованиям

а) б)

Рис. 12 Сложение и пересечение окружностей W1 и W2 а) W1 W2 б) W1 W2

В работе был выполнен анализ по времени выполнения алгоритмов компьютерного расчёта для процедур: сдвига, поворота и масштабирования

предложенными подходами: функциональным (F), функционально-воксельным

(FV) и воксельным (V). Для FV и V подходов в качестве исходных данных были использованы образы, полученные функциональным способом (Fисх). Для сравнения было выбрано шесть функций различной сложности.

Три функции аналитического описания:

Шестая функция представляет результат R-функционального объединения одиннадцати функций по аналогии с функциями 4 и 5.

Время работы алгоритмов представлено в таблице 1.

Анализ результатов показал, что наибольшую эффективность по времени расчёта разработанные подходы к преобразованию пространства в ФВМ показывают при работе со сложными функциями. Это позволяет повышать эффективность пространственных преобразований, многократно ускоряя их расчёт с применением метода функционально-воксельного моделирования.

Таблица 1 Время работы алгоритмов компьютерного расчёта для процедур преобразования пространства

в ФВМ в секундах

Разработанные подходы в функционально-воксельном моделировании были применены в работах, связанных с технологиями прототипирования. Воксельное представление компьютерных геометрических моделей изделий в аддитивном производстве открывает новые возможности в управлении и контроле модели в части создания сложнопрофильных тонкостенных структур с внутренними полостями. ВГМ представляет дополнительные возможности в автоматизированных инженерных расчетах и топографической оптимизации. Результаты настоящей работы апробированы для создания геометрических моделей образцов сложной геометрической формы, изготовленных методом селективного лазерного плавления порошков функциональных композитных материалов. Так же разработанные алгоритмы преобразования пространства функционально-воксельной модели были применены в качестве программного модуля для создания геометрических объектов, необходимых для 3D печати методом послойной засветки жидкого полимера в установке быстрого прототипирования.

Основные результаты и выводы

1. Разработаны алгоритмы преобразования пространства аналитической модели, представленной ВГМ на основе локальных геометрических

18

характеристик. Такие алгоритмы рассчитывают преобразование простыми алгебраическими зависимостями между характеристиками ВГМ в обход зачастую сложному пересчёту самого аналитического объекта.

2.Приведены к матричному представлению геометрические преобразования пространства функционально-воксельной модели, представленной локальными геометрическими характеристиками, что позволяет строить любые сложные преобразования на основе традиционных подходов в компьютерной графике.

3.Разработан тройственный вычислительный подход к построению алгоритмов преобразования пространства ФВМ, позволяющий расширить инструментальные средства обработки модели, повышая эффективность расчётов для различных условий задания модели.

4.Применение описания функции нормальным полем в пространстве увеличенной размерности позволяет иметь достаточную информацию для построения геометрических преобразований, что позволяет эффективно использовать такую модель в расчётах и строить различные математические конструкции, включая R-функциональное моделирование для построения сложных геометрических объектов.

5.Разработанные функционально-воксельный и воксельный подходы к геометрическим преобразованиям ВГМ по аналогии с традиционным функциональным подходом применимы к работе с многомерным воксельным пространством, что обеспечивает возможность использования воксельных моделей в построении многомерных задач геометрического моделирования.

Публикации по теме диссертационной работы

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК:

1.Лоторевич, Е.А. Автоматизация графического способа решения некоторых математических задач/ С.Н. Григорьев, Е.А. Лоторевич, С.А. Пушкарев, Д.А. Силантьев, А.В. Толок // Прикладная информатика. – 2012. – № 5 (41). – С. 44-50.

2.Лоторевич, Е.А. Принципы пространственной визуальной компоновки аналитических моделей, отображённых в воксельном графическом пространстве/ Е.А. Лоторевич // Технология машиностроения. – 2013. – № 11. – С. 59-63.

3.Лоторевич, Е.А. Визуализация математического моделирования при определении рабочих поверхностей деталей / С.Н. Григорьев, Е.А. Лоторевич, С.А. Пушкарев, Д.А. Силантьев, А.В. Толок // Технология машиностроения. –

2013. – № 2. – С. 57-60.

19

4.Лоторевич, Е.А. Воксельно-математическое моделирование при решении задач определения площади для поверхностей деталей / Е.А. Лоторевич, С.А. Пушкарев, Д.А. Силантьев, А.В. Толок // Информационные технологии в проектировании и производстве. – 2013. – № 3 (151). – С. 29-33.

5.Лоторевич, Е.А. Определение метода прототипирования для разработки офисного 3D принтера / Е.А. Лоторевич, С.А. Пушкарев, Д.А. Силантьев, А.В. Толок, А.Н. Феофанов // Технология машиностроения. – 2014. – № 2. – С. 58-63.

Статьи в сборниках научных трудов и сборниках конференций:

6.Лоторевич, Е.А. Применение воксельных геометрических моделей для решения задач компоновки функции / Е.А. Лоторевич, А.В. Толок // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта CAD/CAM/PDM-2015: тр. 15-ой междунар. конф. – М.: ООО Аналитик, 2015. – С. 47-51.

7.Лоторевич, Е.А. Разработка геометрических принципов воксельного моделирования / Е.А. Лоторевич, А.В. Толок // XII всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014: сб. докл. – М., 2014. – С. 9301-9308.

8.Лоторевич, Е.А. Воксельное графическое 3D-моделирование / Е.А. Лоторевич, А.В. Толок // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта CAD/CAM/PDM-2013: тр. 13-ой междунар. конф. – М.: ООО Аналитик, 2013. – С.

205-209.

9.Лоторевич, Е.А. Растровое представление геометрической модели / С.Н. Григорьев, Е.А. Лоторевич, С.А. Пушкарев, Д.А. Силантьев, А.В. Толок // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта CAD/CAM/PDM-2012: тр. 12-ой междунар. конф. – М.: ООО Аналитик, 2012. – С. 47-50.

10.Лоторевич Е.А. Тройственность подхода к задачам преобразования пространства функционально-воксельной модели / Е.А. Лоторевич, А.В. Толок // GraphiCon2016: тр. 26-й Междунар. конф. по компьютерной графике и зрению. – Нижний Новгород, 2016. – С. 81-84.

20