7205

10

Различные виды экспериментов схематично представлены на рис.1.

Однофакторный пассивный эксперимент проводится путем выполнения n пар измерений в дискретные моменты времени единственного входного па-

раметра х и соответствующих значений выходного параметра у (рис. 1, а). Ана-

литическая зависимость между этими параметрами вследствие случайного ха-

рактера возмущающих воздействий рассматривается в виде зависимости мате-

матического ожидания у от значения х, носящей название регрессионной. Це-

лью однофакторного пассивного эксперимента является построение регресси-

онной модели – установление зависимости y f (x) [5].

Многофакторный пассивный эксперимент проводится при контроле зна-

чений нескольких входных параметров xi (рис. 1, б) и его целью является уста-

новление зависимости выходного параметра от двух или более переменных y f (x1, x2 , ..., xi ) .

Полный факторный эксперимент предполагает возможность управлять объектом по одному или нескольким независимым каналам (рис. 1, в).

11

В общем случае, схема эксперимента может быть представлена в виде,

представленном на рисунке 1, в. В схеме используются следующие группы па-

раметров:

1.управляющие (входные xi );

2.параметры состояния (выходные Y );

3.возмущающие воздействия (Wi ).

При многофакторном и полном факторном эксперименте выходных па-

раметров может быть несколько.

Управляющие параметры xi представляют собой независимые перемен-

ные, которые можно изменять для управления выходными параметрами.

Управляющие параметры называют факторами. Если i 1 (один управляющий параметр), то эксперимент однофакторный. Многофакторный эксперимент со-

ответствует конечному числу управляющих параметров. Полный факторный эксперимент соответствует наличию возмущающих воздействий в многофак-

торном эксперименте.

Диапазон изменения факторов xi или число значений, которое они могут принимать называется уровнем фактора.

Полный факторный эксперимент характеризуется тем, что при фиксиро-

ванных возмущающих воздействиях Wi минимальное число уровней каждого фактора равно двум. В этом случае, зафиксировав все факторы xi кроме одного,

необходимо провести два измерения, соответствующих двум уровням этого фактора. Последовательно осуществляя такую процедуру для каждого из фак-

торов xi , получим необходимое число N опытов в полном факторном экспери-

менте для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов N 2k , где k – число факторов [5].

12

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТА И ПЛАНИРОВАНИЕ

ЭКСПЕРИМЕНТА

3.1 Моделирование и экспериментальные измерения

Одной из главных задач эксперимента, как уже отмечалось, является по-

лучение и проверка математической модели объекта, описывающей в количе-

ственной форме взаимосвязи между входными и выходными параметрами объ-

екта. Входные параметры, которые могут быть изменены, называют фактора-

ми. Для каждого фактора до измерения устанавливается область определения,

которая может быть непрерывной и дискретной. Часто непрерывная область определения искусственно дискретизируется. В теории планирования экспери-

мента объект исследований принято представлять в виде «черного ящика», а

его математическая модель описывает функциональные связи между входными и выходными параметрами. Главными требованиями, предъявляемыми к мате-

матическим моделям объектов, являются удобство математического использо-

вания и интерпретируемость модели. Кроме того, всегда должны быть обозна-

чены пределы применимости модели. Если эти требования не выполняются, то при использовании и экспериментальной проверке моделей неизбежно возни-

кают методические погрешности, и погрешности адекватности [6].

Можно выделить следующие задачи проверки моделей (рис. 2):

1. Построить «черный ящик», который будет нужным образом откликать-

ся на заданное входное воздействие.

2. Имея «черный ящик», зная входные и выходные сигналы, получить

(смоделировать) его содержимое.

Рис. 2

13

Суть процесса моделирования можно пояснить на примере анализа элек-

тронной схемы, в результате которого будут получены определенные выходные сигналы. Можно проверить модель, собрав экспериментальную схему и сняв реальные выходные сигналы. При этом неизбежны расхождения между сигна-

лами модельными и реальными. Чтобы выяснить причины расхождения, необ-

ходимы эксперименты с отдельными элементами схемы [6].

Необходимая корректировка модели может быть выполнена следующим образом:

1.Проверка расхождений – экспериментальная проверка характеристик всех элементов и их сравнение с модельными;

2.Исправление характеристик отдельных элементов в исходной модели;

3.Сопоставление полученных зависимостей с экспериментальными (ис-

ходными).

Таким образом, построение и проверка модели, адекватно описывающей работу электронной схемы, в общем случае требует очень большого количества экспериментальных измерений. Планирование эксперимента позволяет опти-

мизировать число измерений [6].

Например, электронная схема состоит из транзисторов, резисторов, кон-

денсаторов и катушек индуктивности. Если номинальные значения пассивных электронных элементов (резисторов, конденсаторов и т. д.) совпадают с их ре-

альными значениями с необходимой точностью, то несовпадение между мо-

дельными и реальными сигналами чаще всего возникает из-за несоответствия реальных рабочих характеристик активных элементов (транзисторов, микро-

схем и т. д.). Поэтому опытные схемотехники подвергают проверке лишь от-

дельные узлы схемы, по сути, интуитивно планируя эксперимент исходя из своего опыта и используя априорную информацию.

Рассмотрим пример моделирования простейшего четырехполюсника, осу-

ществляющего выделение огибающей (детектирование) радиосигнала (рис. 3).

14

Рис. 3

Четырехполюсник состоит из двух простейших схем:

1.детектора на диоде Д с выходным резистором R1;

2.интегрирующей цепи R1C.

Сигналы на выходе детектора АВ и выходе интегрирующей цепи показа-

ны на рис. 4. Здесь кривые 1 и 2 соответствуют различным вольтамперным ха-

рактеристикам (ВАХ) диода. Детектор отрезает отрицательные полупериоды сигнала, а интегрирующая цепь – выделяет его огибающую. Качество выделе-

ния огибающей будет определяться отклонением ∆ от «идеального» сигнала.

Рис. 4

Величина ∆ в свою очередь зависит от характеристик, как детектора, так и интегрирующей цепи. В детекторе она будет определяться вольтамперной ха-

15

рактеристикой (ВАХ) диода Д, а в интегрирующей цепи – соотношением между емкостью конденсатора С и сопротивлением R2.

Как видно из рис. 4, амплитуда выходного сигнала детектора, соответ-

ствующая ВАХ-1, выше, что неизбежно приведет к увеличению ∆ в результи-

рующем сигнале. С другой стороны, уменьшение емкости конденсатора инте-

грирующей цепи также приводит к увеличению ∆. При моделировании схемы несовпадение между расчетными и реальными сигналами требует внесения корректировки в характеристики, задаваемые в модели.

В общем случае четырехполюсник может рассматриваться как объект,

схема которого показана на рис. 5. Характеристики отдельных элементов схемы

(ВАХ диода и величины остальных пассивных элементов) могут считаться фиксированными параметрами (управляющими). В зависимости от плана экс-

перимента эти параметры можно рассматривать и как входные факторы, кото-

рые задаются дискретно.

Рис. 5

Экспериментальные измерения принято разделять на три основных вида:

1. прямые измерения, при которых непосредственно регистрируются зна-

чения измеряемой величины (например, измерение напряжения U вольтмет-

ром);

2. косвенные измерения (например, измерения силы тока I амперметром,

активного сопротивления R омметром и расчет U IR );

То есть косвенные измерения – это получение величины y f (x1, x2 , ...)

по измеренным значениям ( x1, x2 , ...).

16

3. совместные измерения (например, измерения напряжения U и силы то-

ка I при разных значениях I и построение результирующей зависимости

U U (I ) );

То есть совместные измерения – это измерения двух или нескольких неодноименных величин для построения зависимости между ними.

Планирование эксперимента предполагает не только оптимизацию числа измерений, но и уменьшение экспериментальных погрешностей. Поэтому зна-

чительную часть математического аппарата теории планирования эксперимента составляют теория ошибок, теория вероятностей и математическая статистика.

3.2 Планирование эксперимента

При планировании экспериментов чаще всего применяются планы 1-го и

2-го порядков. Планы более высоких порядков применяются редко из-за их большой вычислительной сложности [1].

Планы 1-го порядка – это планы, которые позволяют провести экспери-

мент для отыскания уравнения регрессии, содержащее только первые степени факторов и их произведения

Планы 2-го порядка – это планы, которые позволяют провести экспери-

мент для отыскания уравнения регрессии, содержащие вторые степени факторов

Планирование первого порядка:

-в качестве факторов выбираются только контролируемые и управляемые факторы (переменные);

-обеспечивается возможность независимого изменения каждого из фак-

торов и поддержание его на определенном уровне;

17

- для каждого фактора указывается интервал (+ / –), в пределах которого становится исследование.

Планирование второго порядка:

- применяется, если описание функции отклика первым порядком получа-

ется недостаточным (например, процесс носит нелинейный характер);

- каждый фактор варьируется не менее чем не трех уровнях – полный эксперимент содержит 3k (k – количество факторов) опытов.

Планирование эксперимента применяется при решении следующих типо-

вых исследовательских задач [4].

1.Определение (отсеивание) наиболее значимых факторов;

2.Количественная оценка эффектов влияния отдельных факторов и их взаимодействие на нулевую функцию;

3.Поиск оптимальных условий;

4.Построение математической модели исследуемого объекта;

5.Уточнение коэффициентов, констант, теоретических моделей, описыва-

ющих механизм явлений, и выбор наилучшей модели из ряда конкурирующих.

Приведем классический простейший пример планирования эксперимента.

Пусть нам необходимо взвесить на весах три тела разной массы А, В, С при условии, что нулевое положение весов не отрегулировано. При составлении плана эксперимента принято строить матрицу планирования. В таблице 3 при-

веден план первый план взвешивания. «1» и «-1» соответствуют наличию или отсутствию объекта на весах.

Эксперимент состоит из четырех опытов. При первом опыте снимаются

показания пустых весов и выставляется их нулевое положение, затем отдельно

19

Этот пример на простейшем случае показывает возможный выигрыш от изменения плана эксперимента, т. е. планирование эксперимента позволяет ли-

бо уменьшить число измерений, либо увеличить их точность.

3.2.1 Основы планирования многофакторного эксперимента

Как уже отмечалось, в общем случае объект исследования можно пред-

ставить в виде структурной схемы, показанной на рис. 6 [2].

Рис. 6

Представление объекта в виде такой схемы основано на принципе «чер-

ного ящика». Имеем следующие группы параметров:

1)управляющие (входные) xi, которые называются факторами;

2)выходные параметры yi, которые называются параметрами состояния;

3)wi – возмущающие воздействия.

Предполагается, что возмущающие воздействия не поддаются контролю и либо являются случайными, либо меняются во времени.

Каждый фактор xi имеет область определения, которая должна быть уста-

новлена до проведения эксперимента.

Комбинацию факторов можно представить как точку в многомерном про-

странстве, характеризующую состояние системы [2].

На практике целью многофакторного эксперимента является установле-

ние зависимости:

описывающей поведение объекта. Чаще всего функция (5) строится в виде по-

линома: