6372
.pdf
11
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
Положение центра тяжести некоторого объема, состоящего из нескольких частей, можно найти по формулам:
|
n |
i |
|
n |
i |
|
|
|
n |
i i |
|||
|
∑ i |
|
∑ i |
|
|
|
∑ |
||||||
|
xV |
|
yV |
|
|
|
|
zV |
|||||
x = |
i=1 |
|
, |
y = |
i=1 |
|
, |
z |
C |
= |
i=1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
C |
V |
|
|
C |
V |
|
|
|
|
V |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Координаты центра тяжести однородной тонкой пластины постоянной толщины
определяются через площади отдельных ее частей Ai и общую площадь
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
x = |
∑xi Ai |
|
y = |
∑yi Ai |
|
z = |
∑zi Ai |
|
i=1 |
, |
i=1 |
, |
i=1 |
. |
|||
|
|
|
||||||
C |
A |
|
C |
A |
|
C |
A |
|
|
|
|
|
|
|
n
A = ∑ Ai :
i=1
Центр тяжести однородного (имеющего одинаковую по длине площадь поперечного сечения и удельную плотность материала) длинного тонкого тела определя-
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
ется через длины его участков Li |
и общую длину L = ∑Li |
: |
|
|||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
x = |
∑xiLi |
, y = |
∑yiLi |
|
z = |
∑ziLi |
||
i=1 |
i=1 |
, |
i=1 |
. |
||||
|
|
|
||||||
C |
L |
C |
L |
|
C |
L |
||
|
|
|
|
|
||||
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЗАДАЧА 1
|
|
Решение |
|
y |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
Центр тяжести такой пластины находится |
|
|
|
на пересечении диагоналей прямоугольника, по- |
|
4 |
x |
этому в показанной на рисунке системе координат |
|
O |
координаты центра тяжести пластины будут рав- |
||
|
yC |
ны xC = −4, yC = −1. |
|
|
|
|
|
6 |
|
Ответ: |
Верным является четвертый ответ. |
|
|
||
xC |
|
|
|
12
ЗАДАЧА 2
y |
|
|
|
YA |
RA |
Ответ: |
Верным является третий ответ. |
|
|
||
|
|
Другое |
|
|
|
обозначение |
|
A |
|
x |
|
|
ЗАДАЧА 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XA |
|
|
Решение
Определяем проекции главного вектора на координатные оси:
|
n |
Rx |
= ∑Xi = −F1 cos45° + F2 cos45° + F5 − F6 = 0; |
|
i=1 |
|
n |
Ry |
= ∑Yi = +F1 cos45° − F2 cos45° + F3 = F; |
i=1
n
Rz = ∑Zi = +F4 = F .
i=1
Определяем модуль главного вектора:
R = 
R2x +R2y +R2z = 
02 + F2 + F2 = F
2.
Ответ: Верным является третий ответ.
13
ЗАДАЧА 4
Решение
Спроектируем силу на плоскость перпендикулярную указанной оси. Умножив модуль полученной проекции на плечо, получим модуль момента. Знак момента укажем, руководствуясь правилом правого винта.
MZ = +Fa sinα.
Ответ: Верным является четвертый ответ.
ЗАДАЧА 5
Решение
Система, изображенная на рисунке, представляет собой геометрически неизменяемую ферму (диск), которая закреплена на опорах неподвижно. Любые формы движения для нее невозможны.
Ответ: Верным является третий ответ.
14
ЗАДАЧА 6
Решение
Координату xС центра тяжести ломаного стержня определим по формуле:
|
n |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
∑xiLi |
|
x L + x L |
|
0 L+ |
L |
|
L |
|
||
x = |
= |
= |
2 |
|
= |
|
|||||
i=1 |
1 1 2 2 |
|
|
|
|
. |
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
|||||
C |
|
L1 + L2 |
|
L+ L |
|
|
4 |
|
|||
|
∑Li |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1
Ответ: Верным является второй ответ.
ЗАДАЧА 7
Решение
Проекция главного момента системы сил на ось Z равна сумме моментов сил системы относительно этой оси. Моменты первой и второй сил равны нулю, поскольку их линии действия пересекают ось (равны нулю плечи). Для вычисления момента третьей силы можно использовать теорему Вариньона о моменте
15
равнодействующей, разбив силу F3 на составляющие по осям x и y. Модули полученных составляющих умножим на соответствующие плечи, выбрав знаки произведений в соответствии с правилом правого винта:
Mz = ∑Mz (Fi )= Mz (F1 )+ Mz (F2 )+ Mz (F3 )= 0 + 0 + cF3 sinα −bF3 cosα.
i=1n
Ответ: Верным является третий ответ.
ЗАДАЧА 8
Решение
Вектора моментов пар М1 и М2 направлены перпендикулярно плоскостям, в которых расположены пары, а направление моментов определяется правилом
правого винта. Таким образом, результирующий вектор-момент
M геометрически совпадает с диагональю прямоугольника, стороны
1
которого равны 3 Нм и 4 Нм. Модуль этого момента равен
|
|
M = M |
2 |
+ M |
2 |
= 32 + 42 |
= 5 Нм |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
Ответ: Верным является третий ответ. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
M1 |
ЗАДАЧА 9 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
16
Решение
Вектор-момент перпендикулярен плоскости, в которой лежат точка О
|
|
|
|
и вектора |
F4 |
и F6 |
. Однако, в соответствии с правилом правого винта, направ- |
ление вектор момента силы F6 не будет совпадать с направлением показанного на рисунке вектора m0 . Следовательно вектор-момент m0 является мо-
ментом силы F4 .
Ответ: Верным является второй ответ.
ЗАДАЧА 10
Решение
Проекции главного момента MO относительно центра О на координатные оси, как известно, можно получить, просуммировав моменты всех сил системы относительно этих координатных осей:
n
MX = ∑MX (Fi ). i=1
n
MY = ∑MY (Fi ). i=1
n
MZ = ∑MZ (Fi ). i=1
Чтобы вычислить момент силы относительно оси z, надо:
1.Спроектировать силу F на плоскость, перпендикулярную оси.
2.Найти модуль момента, для чего следует перемножить модуль проекции силыFxy на ее плечо hxy относительно точки пересечения оси с плоскостью.
3.Выбрать знак в соответствии с правилом правого винта.
Вычислим три проекции главного момента:
n
MX = ∑MX (Fi )= +F1 cosα a + F2 cos β c.
i=1
n
MY = ∑MY (Fi )= −F1 cosα b + F2 sin β c.
i=1
n
MZ = ∑MZ (Fi )= +F1 sinα a − F2 sin β a.
i=1
17
Ответ: Значение проекции главного момента на ось x приведено во второй строке ответа, на ось y – в третьей строке ответа, на ось z – в первой строке ответа.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ
ЗАДАЧА 11
Решение
Найдем проекции на координатные оси главного вектора:
n |
n |
n |
Rx = ∑Xi = P + P − 2P = 0, |
Ry = ∑Yi = P − P = 0, |
Rz = ∑Zi = P + P − 2P = 0. |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
Модуль главного вектора также равен нулю (3-й, 4-й и 5-й ответы неверны).
Найдем проекции на координатные оси главного момента:
n
MX = ∑MX (Fi )= +Pa + Pa − 2Pa = 0,
i=1
n
MY = ∑MY (Fi )= Pa + Pa − Pa + 2Pa = 3Pa,
i=1
n
MZ = ∑MZ (Fi )= −Pa − Pa + Pa = −Pa.
i=1
Модуль главного момента не равен нулю (6-й ответ неверен). При этом результирующая пара не дает момента относительно оси х (1-й ответ неверен).
Ответ: Верным является второй ответ.
18
ЗАДАЧА 12
Решение
Как известно, система из двух сил, приложенных в одной точке, имеет равнодействующую, равную их векторной сумме, и приложенную в той же точке.
Модуль этой равнодействующей можно определить с помощью теоремы косинусов по формуле
R = F 2 |
+ F 2 |
+ 2 F F cosϕ . |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
где φ – угол меду исходными векторами.
Пусть, некая сила, модуль которой равен R, является равнодействующей двух приложенных в одной точке сил, модули которых равны Р.
Тогда
R = 
P2 + P2 + 2 P P cosϕ или 12 = 1002 + 1002 + 2 1002 cosϕ.
Отсюда следует, что
cosϕ = − 1999920000 = −0.99995, и следовательно ϕ = 179°26'
Ответ: Верным является четвертый ответ.
ЗАДАЧА 13
Решение |
|
|
|
N1 − ? |
Рассечем три стержня фермы так, как показано на |
y |
рисунке. Отбросим правую часть фермы, заменив |
N2 − ? ее действие неизвестными силами, возникающими
встержнях. Будем считать, что все три стержня
A |
60° x растянуты. |
F |
N3 − ? |
|
|
P |
|
19
Оставшаяся в рассмотрении часть конструкции (так же как и вся конструкция в целом) должна находиться в равновесии.
Как известно, условие равновесия произвольной плоской системы сил включает в себя три уравнения:
n |
n |
n |
|
|
|
∑Fix = 0, ∑Fiy = 0, ∑MA (Fi )= 0. |
||
i=1 |
i=1 |
i=1 |
Искомую силу N2 легко найти из второго уравнения этой системы:
N |
|
sin60° − P = 0, откуда |
N |
|
= |
P |
= |
2P 3 |
. |
|
2 |
2 |
sin60° |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Ответ: Верным является второй ответ.
ЗАДАЧА 14
Решение
y
1 P
1
x
B
α
q1 |
QÏ Ð |
|
E
QTÐ
q2
1 3
1
2 C 90°
α A
1
Для определения веса груза Р составим
уравнение равновесия в виде ∑MА(F)=0:
· sin · 3 ПР · ТР · =0,
где ПР и ТР – равнодействующие прямоугольной и треугольной составляющих
распределенной нагрузки:
ПР · 1м 10 Н,ТР 12 · # $ · 1м 5 Н.
20
Учитывая, что α = 600, получим следующее уравнение:
· √23 · 3 10 · 32 5 · 43 0,
решая которое, получим:
3√23 · )302 * 203 + 3√23 · 1306 913√03 . 8.34 Н.
Ответ: Верным является четвертый ответ.
ЗАДАЧА 15
Решение
Равнодействующая и уравновешивающая силы образуют уравновешенную систему сил, поэтому по аксиоме о равновесии двух сил они равны по модулю, действуют вдоль одной линии действия и направлены в противоположные стороны.
Ответ: Верными являются четвертое, пятое и шестое суждения.
ЗАДАЧА 16